6. 已知 $ A(m + 2,2) $ 和 $ B(3,\frac{m}{3}) $ 是同一个反比例函数图象上的两个点.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）画出这个反比例函数的图象；
（3）求 $ △ AOB $ 的面积.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）画出这个反比例函数的图象；
（3）求 $ △ AOB $ 的面积.
答案：6. (1) -4；(2) 略；(3) $ \dfrac{5}{3} $.
解析：
（1）设反比例函数解析式为$y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$，因为点$A(m + 2,2)$和$B(3,\dfrac{m}{3})$在该函数图象上，所以$k = 2(m + 2) = 3×\dfrac{m}{3}$，即$2m + 4 = m$，解得$m = -4$。
（2）略
（3）由（1）知$m = -4$，则$A(-2,2)$，$B(3,-\dfrac{4}{3})$。设直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，将$A$、$B$两点坐标代入可得$\begin{cases}-2a + b = 2 \\ 3a + b = -\dfrac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\dfrac{2}{3} \\ b = \dfrac{2}{3}\end{cases}$，所以直线$AB$与$x$轴交点坐标为$(1,0)$。$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2}×1×2 + \dfrac{1}{2}×1×\dfrac{4}{3} = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$。
（2）略
（3）由（1）知$m = -4$，则$A(-2,2)$，$B(3,-\dfrac{4}{3})$。设直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，将$A$、$B$两点坐标代入可得$\begin{cases}-2a + b = 2 \\ 3a + b = -\dfrac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\dfrac{2}{3} \\ b = \dfrac{2}{3}\end{cases}$，所以直线$AB$与$x$轴交点坐标为$(1,0)$。$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2}×1×2 + \dfrac{1}{2}×1×\dfrac{4}{3} = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$。
7. 如图，四边形 $ ABCO $ 是平行四边形，$ OA = 2 $，$ AB = 6 $，点 $ C $ 在 $ x $ 轴的负半轴上，将 $ □ ABCO $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转得到 $ □ ADEF $，$ AD $ 经过点 $ O $，点 $ F $ 恰好落在 $ x $ 轴的正半轴上.若点 $ D $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，求 $ k $ 的值.
答案：7. $ 4\sqrt{3} $.
8. 如图，已知点 $ A(3,1) $，$ B(-1,n) $ 是一次函数 $ y_1 = ax + b $ 和反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 图象的交点.
（1）求两个函数的解析式；
（2）观察图象直接写出 $ y_1 ≥ y_2 $ 时自变量 $ x $ 的取值范围；
（3）在平面内求点 $ M $，使 $ △ AOM $ 是以 $ OA $ 为直角边的等腰直角三角形.
（1）求两个函数的解析式；
（2）观察图象直接写出 $ y_1 ≥ y_2 $ 时自变量 $ x $ 的取值范围；
（3）在平面内求点 $ M $，使 $ △ AOM $ 是以 $ OA $ 为直角边的等腰直角三角形.
答案：8. (1) $ y_{1} = x - 2 $；$ y_{2} = \dfrac{3}{x} $. (2) $ -1 ≤ x ＜ 0 $ 或 $ x ≥ 3 $；(3) $ (1,-3) $，$ (4,-2) $，$ (-1,3) $，$ (2,4) $.
解析：
（1）解：因为点$A(3,1)$在反比例函数$y_{2}=\frac{k}{x}$上，所以$1 = \frac{k}{3}$，解得$k = 3$，则$y_{2}=\frac{3}{x}$。
点$B(-1,n)$在$y_{2}=\frac{3}{x}$上，所以$n=\frac{3}{-1}=-3$，即$B(-1,-3)$。
将$A(3,1)$，$B(-1,-3)$代入$y_{1}=ax + b$，得$\begin{cases}3a + b=1\\-a + b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-2\end{cases}$，所以$y_{1}=x - 2$。
（2）$-1≤ x＜0$或$x≥3$
（3）$(1,-3)$，$(4,-2)$，$(-1,3)$，$(2,4)$
点$B(-1,n)$在$y_{2}=\frac{3}{x}$上，所以$n=\frac{3}{-1}=-3$，即$B(-1,-3)$。
将$A(3,1)$，$B(-1,-3)$代入$y_{1}=ax + b$，得$\begin{cases}3a + b=1\\-a + b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-2\end{cases}$，所以$y_{1}=x - 2$。
（2）$-1≤ x＜0$或$x≥3$
（3）$(1,-3)$，$(4,-2)$，$(-1,3)$，$(2,4)$