19. （7 分）如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ B $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 图象上一点。
（1）若 $ k = 32 $，作面积为 24 的 $ □ OABC $，其中点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上，且 $ BC = 2\sqrt{5} $，求点 $ B $ 的坐标。
（2）若点 $ B $ 的横坐标为 2，连接 $ OB $，将 $ OB $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90° $，点 $ O $ 的对应点 $ P $ 恰好落在该函数图象上，求 $ k $ 的值。
（1）若 $ k = 32 $，作面积为 24 的 $ □ OABC $，其中点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上，且 $ BC = 2\sqrt{5} $，求点 $ B $ 的坐标。
（2）若点 $ B $ 的横坐标为 2，连接 $ OB $，将 $ OB $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90° $，点 $ O $ 的对应点 $ P $ 恰好落在该函数图象上，求 $ k $ 的值。
答案：19. (1) $ B(8, 4) $ 或 $ (16, 2) $; (2) $ k = 2 + 2\sqrt{5} $.
解析：
（1）设点$ B $的坐标为$ (m, \frac{32}{m}) $，$ m ＞ 0 $。
因为四边形$ OABC $是平行四边形，所以$ OC = AB $，$ BC = OA $，且$ BC // OA $。
点$ C $在$ x $轴正半轴上，设点$ C $的坐标为$ (n, 0) $，则向量$ \overrightarrow{BC} = (n - m, -\frac{32}{m}) $。
已知$ BC = 2\sqrt{5} $，所以$ \sqrt{(n - m)^2 + (\frac{32}{m})^2} = 2\sqrt{5} $，即$ (n - m)^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $ ①。
平行四边形$ OABC $的面积为$ 24 $，以$ OC $为底，高为点$ B $的纵坐标$ \frac{32}{m} $，所以$ n × \frac{32}{m} = 24 $，解得$ n = \frac{24m}{32} = \frac{3m}{4} $。
将$ n = \frac{3m}{4} $代入①得：$ (\frac{3m}{4} - m)^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $，即$ (-\frac{m}{4})^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $，$ \frac{m^2}{16} + \frac{1024}{m^2} = 20 $。
设$ t = m^2 $，则$ \frac{t}{16} + \frac{1024}{t} = 20 $，$ t^2 - 320t + 16384 = 0 $，$ (t - 64)(t - 256) = 0 $，解得$ t = 64 $或$ t = 256 $，即$ m = 8 $或$ m = 16 $。
当$ m = 8 $时，$ \frac{32}{m} = 4 $；当$ m = 16 $时，$ \frac{32}{m} = 2 $。所以点$ B $的坐标为$ (8, 4) $或$ (16, 2) $。
（2）因为点$ B $的横坐标为$ 2 $，所以点$ B $的坐标为$ (2, \frac{k}{2}) $。
将$ OB $绕点$ B $逆时针旋转$ 90° $得到$ BP $，过点$ B $作$ BD ⊥ x $轴于点$ D $，过点$ P $作$ PE ⊥ BD $于点$ E $。
因为$ ∠ OBP = 90° $，所以$ ∠ OBD + ∠ PBE = 90° $，又$ ∠ OBD + ∠ BOD = 90° $，所以$ ∠ PBE = ∠ BOD $。
在$ △ OBD $和$ △ BPE $中，$ ∠ BOD = ∠ PBE $，$ ∠ ODB = ∠ BEP = 90° $，$ OB = BP $，所以$ △ OBD ≌ △ BPE $（AAS）。
所以$ PE = BD = \frac{k}{2} $，$ BE = OD = 2 $。
点$ P $的坐标为$ (2 + \frac{k}{2}, \frac{k}{2} - 2) $，因为点$ P $在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象上，所以$ (2 + \frac{k}{2})(\frac{k}{2} - 2) = k $。
整理得$ (\frac{k}{2})^2 - 4 = k $，$ \frac{k^2}{4} - k - 4 = 0 $，$ k^2 - 4k - 16 = 0 $，解得$ k = 2 + 2\sqrt{5} $（$ k ＞ 0 $，舍去负根）。
综上，（1）点$ B $的坐标为$ (8, 4) $或$ (16, 2) $；（2）$ k = 2 + 2\sqrt{5} $。
因为四边形$ OABC $是平行四边形，所以$ OC = AB $，$ BC = OA $，且$ BC // OA $。
点$ C $在$ x $轴正半轴上，设点$ C $的坐标为$ (n, 0) $，则向量$ \overrightarrow{BC} = (n - m, -\frac{32}{m}) $。
已知$ BC = 2\sqrt{5} $，所以$ \sqrt{(n - m)^2 + (\frac{32}{m})^2} = 2\sqrt{5} $，即$ (n - m)^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $ ①。
平行四边形$ OABC $的面积为$ 24 $，以$ OC $为底，高为点$ B $的纵坐标$ \frac{32}{m} $，所以$ n × \frac{32}{m} = 24 $，解得$ n = \frac{24m}{32} = \frac{3m}{4} $。
将$ n = \frac{3m}{4} $代入①得：$ (\frac{3m}{4} - m)^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $，即$ (-\frac{m}{4})^2 + (\frac{32}{m})^2 = 20 $，$ \frac{m^2}{16} + \frac{1024}{m^2} = 20 $。
设$ t = m^2 $，则$ \frac{t}{16} + \frac{1024}{t} = 20 $，$ t^2 - 320t + 16384 = 0 $，$ (t - 64)(t - 256) = 0 $，解得$ t = 64 $或$ t = 256 $，即$ m = 8 $或$ m = 16 $。
当$ m = 8 $时，$ \frac{32}{m} = 4 $；当$ m = 16 $时，$ \frac{32}{m} = 2 $。所以点$ B $的坐标为$ (8, 4) $或$ (16, 2) $。
（2）因为点$ B $的横坐标为$ 2 $，所以点$ B $的坐标为$ (2, \frac{k}{2}) $。
将$ OB $绕点$ B $逆时针旋转$ 90° $得到$ BP $，过点$ B $作$ BD ⊥ x $轴于点$ D $，过点$ P $作$ PE ⊥ BD $于点$ E $。
因为$ ∠ OBP = 90° $，所以$ ∠ OBD + ∠ PBE = 90° $，又$ ∠ OBD + ∠ BOD = 90° $，所以$ ∠ PBE = ∠ BOD $。
在$ △ OBD $和$ △ BPE $中，$ ∠ BOD = ∠ PBE $，$ ∠ ODB = ∠ BEP = 90° $，$ OB = BP $，所以$ △ OBD ≌ △ BPE $（AAS）。
所以$ PE = BD = \frac{k}{2} $，$ BE = OD = 2 $。
点$ P $的坐标为$ (2 + \frac{k}{2}, \frac{k}{2} - 2) $，因为点$ P $在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象上，所以$ (2 + \frac{k}{2})(\frac{k}{2} - 2) = k $。
整理得$ (\frac{k}{2})^2 - 4 = k $，$ \frac{k^2}{4} - k - 4 = 0 $，$ k^2 - 4k - 16 = 0 $，解得$ k = 2 + 2\sqrt{5} $（$ k ＞ 0 $，舍去负根）。
综上，（1）点$ B $的坐标为$ (8, 4) $或$ (16, 2) $；（2）$ k = 2 + 2\sqrt{5} $。
20. （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 与反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象在第二象限交于点 $ A(m,3) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,2) $。
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）直接写出 $ kx + b ≤ -\frac{6}{x} $ 的解集；
（3）点 $ B $ 向上平移 4 个单位得到点 $ C $，点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，当 $ |PA - PC| $ 取得最大值时，求最大值及此时点 $ P $ 的坐标。
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）直接写出 $ kx + b ≤ -\frac{6}{x} $ 的解集；
（3）点 $ B $ 向上平移 4 个单位得到点 $ C $，点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，当 $ |PA - PC| $ 取得最大值时，求最大值及此时点 $ P $ 的坐标。
答案：20. (1) $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $, 图象略; (2) $ -2 ≤ x ＜ 0 $ 或 $ x ≥ 6 $; (3) $ \sqrt{13} $, $ P(-4, 0) $.
21. （8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(8,1) $，$ B(0,-3) $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A $，动直线 $ x = t(0 ＜ t ＜ 8) $ 与反比例函数的图象交于点 $ M $，与直线 $ AB $ 交于点 $ N $。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）求 $ △ BMN $ 面积的最大值。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）求 $ △ BMN $ 面积的最大值。
答案：21. (1) $ k = 8 $; (2) 易求直线 $ AB $ 的解析式 $ y = \frac{1}{2}x - 3 $; 设 $ M(t, \frac{8}{t}) $, $ \therefore △ BMN $ 的面积 $ S = \frac{1}{2}(\frac{8}{t} - \frac{1}{2}t + 3)t = -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t + 4 = -\frac{1}{4}(t - 3)^2 + \frac{25}{4} $, 当 $ t = 3 $ 时, $ △ BMN $ 的面积的最大值为 $ \frac{25}{4} $.
解析：
（1）解：因为反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$A(8,1)$，所以将$A(8,1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{8}$，解得$k = 8$。
（2）解：设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，将$A(8,1)$，$B(0,-3)$代入，得$\begin{cases}8m + n = 1 \\ n = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2} \\ n = -3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 3$。
因为动直线$x = t(0 ＜ t ＜ 8)$与反比例函数$y = \frac{8}{x}$交于点$M$，与直线$AB$交于点$N$，所以$M(t,\frac{8}{t})$，$N(t,\frac{1}{2}t - 3)$。
$MN=\frac{8}{t}-(\frac{1}{2}t - 3)=\frac{8}{t}-\frac{1}{2}t + 3$，$△ BMN$的面积$S=\frac{1}{2} × t × MN=\frac{1}{2}t(\frac{8}{t}-\frac{1}{2}t + 3)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{3}{2}t + 4=-\frac{1}{4}(t - 3)^2+\frac{25}{4}$。
当$t = 3$时，$△ BMN$面积的最大值为$\frac{25}{4}$。
（2）解：设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，将$A(8,1)$，$B(0,-3)$代入，得$\begin{cases}8m + n = 1 \\ n = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2} \\ n = -3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 3$。
因为动直线$x = t(0 ＜ t ＜ 8)$与反比例函数$y = \frac{8}{x}$交于点$M$，与直线$AB$交于点$N$，所以$M(t,\frac{8}{t})$，$N(t,\frac{1}{2}t - 3)$。
$MN=\frac{8}{t}-(\frac{1}{2}t - 3)=\frac{8}{t}-\frac{1}{2}t + 3$，$△ BMN$的面积$S=\frac{1}{2} × t × MN=\frac{1}{2}t(\frac{8}{t}-\frac{1}{2}t + 3)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{3}{2}t + 4=-\frac{1}{4}(t - 3)^2+\frac{25}{4}$。
当$t = 3$时，$△ BMN$面积的最大值为$\frac{25}{4}$。