自主探究
如图，在边长均为 1 的小正方形网格中，$ △ OAB $ 的顶点 $ O $，$ A $，$ B $ 均在格点上，且 $ O $ 是平面直角坐标系的原点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上.
（1）以 $ O $ 为位似中心，将 $ △ OAB $ 放大，使得放大后的 $ △ OA_1B_1 $ 与 $ △ OAB $ 对应线段的比为 $ 2:1 $，画出 $ △ OA_1B_1 $（所画 $ △ OA_1B_1 $ 与 $ △ OAB $ 在原点两侧）；
（2）求出线段 $ A_1B_1 $ 所在直线的函数解析式.
名师指导
（1）中可根据位似性质画图，也可先求出 $ A_1 $，$ B_1 $ 坐标，再画图.
（2）由（1）中得出的 $ A_1 $，$ B_1 $ 坐标，根据待定系数法可求直线 $ A_1B_1 $ 的解析式.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
如图，在边长均为 1 的小正方形网格中，$ △ OAB $ 的顶点 $ O $，$ A $，$ B $ 均在格点上，且 $ O $ 是平面直角坐标系的原点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上.
（1）以 $ O $ 为位似中心，将 $ △ OAB $ 放大，使得放大后的 $ △ OA_1B_1 $ 与 $ △ OAB $ 对应线段的比为 $ 2:1 $，画出 $ △ OA_1B_1 $（所画 $ △ OA_1B_1 $ 与 $ △ OAB $ 在原点两侧）；
（2）求出线段 $ A_1B_1 $ 所在直线的函数解析式.
名师指导
（1）中可根据位似性质画图，也可先求出 $ A_1 $，$ B_1 $ 坐标，再画图.
（2）由（1）中得出的 $ A_1 $，$ B_1 $ 坐标，根据待定系数法可求直线 $ A_1B_1 $ 的解析式.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：1. （1）
已知$A(-2,0)$，$B(-1,2)$。
因为以$O$为位似中心，$△ OA_{1}B_{1}$与$△ OAB$对应线段的比为$2:1$，且$△ OA_{1}B_{1}$与$△ OAB$在原点两侧，根据位似变换的坐标变化规律：若原图形上点的坐标为$(x,y)$，位似中心为原点，位似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为$(-kx,-ky)$（$k＞0$），这里$k = 2$。
所以$A_{1}(4,0)$，$B_{1}(2,-4)$。
连接$OA_{1}$，$OB_{1}$，$A_{1}B_{1}$，得到$△ OA_{1}B_{1}$。
2. （2）
设直线$A_{1}B_{1}$的函数解析式为$y=kx + b$（$k≠0$）。
把$A_{1}(4,0)$，$B_{1}(2,-4)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}4k + b=0\\2k + b=-4\end{cases}$。
用第一个方程$4k + b = 0$减去第二个方程$2k + b=-4$：
$(4k + b)-(2k + b)=0-(-4)$。
去括号得$4k + b-2k - b = 4$。
合并同类项得$2k=4$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$4k + b = 0$，即$4×2 + b = 0$，$8 + b = 0$，解得$b=-8$。
所以线段$A_{1}B_{1}$所在直线的函数解析式为$y = 2x-8$。
已知$A(-2,0)$，$B(-1,2)$。
因为以$O$为位似中心，$△ OA_{1}B_{1}$与$△ OAB$对应线段的比为$2:1$，且$△ OA_{1}B_{1}$与$△ OAB$在原点两侧，根据位似变换的坐标变化规律：若原图形上点的坐标为$(x,y)$，位似中心为原点，位似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为$(-kx,-ky)$（$k＞0$），这里$k = 2$。
所以$A_{1}(4,0)$，$B_{1}(2,-4)$。
连接$OA_{1}$，$OB_{1}$，$A_{1}B_{1}$，得到$△ OA_{1}B_{1}$。
2. （2）
设直线$A_{1}B_{1}$的函数解析式为$y=kx + b$（$k≠0$）。
把$A_{1}(4,0)$，$B_{1}(2,-4)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}4k + b=0\\2k + b=-4\end{cases}$。
用第一个方程$4k + b = 0$减去第二个方程$2k + b=-4$：
$(4k + b)-(2k + b)=0-(-4)$。
去括号得$4k + b-2k - b = 4$。
合并同类项得$2k=4$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$4k + b = 0$，即$4×2 + b = 0$，$8 + b = 0$，解得$b=-8$。
所以线段$A_{1}B_{1}$所在直线的函数解析式为$y = 2x-8$。
1. 在平面直角坐标系中有两点 $ A(6,2) $，$ B(6,0) $，以原点 $ O $ 为位似中心，相似比为 $ 1:3 $，把线段 $ AB $ 缩小，则过 $ A $ 点的对应点的反比例函数的解析式为(
A.$ y = \frac{4}{x} $
B.$ y = \frac{4}{3x} $
C.$ y = -\frac{4}{3x} $
D.$ y = \frac{13}{x} $
B
)A.$ y = \frac{4}{x} $
B.$ y = \frac{4}{3x} $
C.$ y = -\frac{4}{3x} $
D.$ y = \frac{13}{x} $
答案：1. B.
解析：
解：
∵以原点$O$为位似中心，相似比为$1:3$，把线段$AB$缩小，$A(6,2)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(6×\frac{1}{3},2×\frac{1}{3})$或$(6×(-\frac{1}{3}),2×(-\frac{1}{3}))$，即$(2,\frac{2}{3})$或$(-2,-\frac{2}{3})$。
设过$A'$的反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}$。
当$A'(2,\frac{2}{3})$时，$k=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，解析式为$y=\frac{4}{3x}$；
当$A'(-2,-\frac{2}{3})$时，$k=(-2)×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}$，解析式为$y=\frac{4}{3x}$。
综上，反比例函数解析式为$y = \frac{4}{3x}$。
答案：B
∵以原点$O$为位似中心，相似比为$1:3$，把线段$AB$缩小，$A(6,2)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(6×\frac{1}{3},2×\frac{1}{3})$或$(6×(-\frac{1}{3}),2×(-\frac{1}{3}))$，即$(2,\frac{2}{3})$或$(-2,-\frac{2}{3})$。
设过$A'$的反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}$。
当$A'(2,\frac{2}{3})$时，$k=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，解析式为$y=\frac{4}{3x}$；
当$A'(-2,-\frac{2}{3})$时，$k=(-2)×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}$，解析式为$y=\frac{4}{3x}$。
综上，反比例函数解析式为$y = \frac{4}{3x}$。
答案：B
2. 如图，原点 $ O $ 是 $ △ ABC $ 和 $ △ A'B'C' $ 的位似中心，点 $ A(1,0) $ 与点 $ A'(-2,0) $ 是对应点，$ △ ABC $ 的面积是 4，则 $ △ A'B'C' $ 的面积是(
A.4
B.8
C.12
D.16
D
)A.4
B.8
C.12
D.16
答案：2. D.
解析：
解：
∵原点$O$是位似中心，点$A(1,0)$与$A'(-2,0)$是对应点，
$\therefore$位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{|-2|}{|1|}=2$。
$\because$位似图形面积比等于位似比的平方，$△ ABC$的面积是$4$，
$\therefore△ A'B'C'$的面积为$4×2^{2}=16$。
答案：D
∵原点$O$是位似中心，点$A(1,0)$与$A'(-2,0)$是对应点，
$\therefore$位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{|-2|}{|1|}=2$。
$\because$位似图形面积比等于位似比的平方，$△ ABC$的面积是$4$，
$\therefore△ A'B'C'$的面积为$4×2^{2}=16$。
答案：D
3. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (3,0) $，$ (2,-3) $，$ △ AB'O' $ 是 $ △ ABO $ 关于点 $ A $ 的位似图形，且 $ O' $ 的坐标为 $ (-1,0) $，则点 $ B' $ 的坐标为
$( \frac{5}{3}, -4 )$
.答案：3. $( \frac{5}{3}, -4 )$.
解析：
解：设位似比为$k$。
因为$△ AB'O'$是$△ ABO$关于点$A$的位似图形，点$A(3,0)$，$O(0,0)$，$O'(-1,0)$。
向量$\overrightarrow{AO}=O - A=(0 - 3,0 - 0)=(-3,0)$，向量$\overrightarrow{AO'}=O' - A=(-1 - 3,0 - 0)=(-4,0)$。
位似比$k = \frac{|\overrightarrow{AO'}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{|-4|}{|-3|}=\frac{4}{3}$。
设点$B'(x,y)$，$B(2,-3)$，向量$\overrightarrow{AB}=B - A=(2 - 3,-3 - 0)=(-1,-3)$，向量$\overrightarrow{AB'}=B' - A=(x - 3,y - 0)=(x - 3,y)$。
因为位似图形对应向量共线且位似比为$k$，所以$\overrightarrow{AB'}=k\overrightarrow{AB}$，即$(x - 3,y)=\frac{4}{3}(-1,-3)=(-\frac{4}{3},-4)$。
则$x - 3=-\frac{4}{3}$，解得$x = 3 - \frac{4}{3}=\frac{5}{3}$；$y=-4$。
所以点$B'$的坐标为$(\frac{5}{3}, -4)$。
$(\frac{5}{3}, -4)$
因为$△ AB'O'$是$△ ABO$关于点$A$的位似图形，点$A(3,0)$，$O(0,0)$，$O'(-1,0)$。
向量$\overrightarrow{AO}=O - A=(0 - 3,0 - 0)=(-3,0)$，向量$\overrightarrow{AO'}=O' - A=(-1 - 3,0 - 0)=(-4,0)$。
位似比$k = \frac{|\overrightarrow{AO'}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{|-4|}{|-3|}=\frac{4}{3}$。
设点$B'(x,y)$，$B(2,-3)$，向量$\overrightarrow{AB}=B - A=(2 - 3,-3 - 0)=(-1,-3)$，向量$\overrightarrow{AB'}=B' - A=(x - 3,y - 0)=(x - 3,y)$。
因为位似图形对应向量共线且位似比为$k$，所以$\overrightarrow{AB'}=k\overrightarrow{AB}$，即$(x - 3,y)=\frac{4}{3}(-1,-3)=(-\frac{4}{3},-4)$。
则$x - 3=-\frac{4}{3}$，解得$x = 3 - \frac{4}{3}=\frac{5}{3}$；$y=-4$。
所以点$B'$的坐标为$(\frac{5}{3}, -4)$。
$(\frac{5}{3}, -4)$