4. 如图，已知在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ a $，$ b $ 分别是 $ ∠ A $，$ ∠ B $ 的对边，$ c $ 为斜边，如果已知两个元素 $ a $ 和 $ ∠ B $ 就可以求出其余三个未知元素 $ b $，$ c $，$ ∠ A $。
(1) 求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程。
(2) 请你分别给出 $ a $，$ ∠ B $ 的一个具体数值，然后按照 (1) 中的思路，求出 $ b $，$ c $，$ ∠ A $。
(1) 求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程。
(2) 请你分别给出 $ a $，$ ∠ B $ 的一个具体数值，然后按照 (1) 中的思路，求出 $ b $，$ c $，$ ∠ A $。
答案：(1)第一步：∠A=90°-∠B，∠A；第二步：b=a·tan∠B，b；第三步：c=a/cos∠B，c；(2)∠A=45°，b=1，c=√2。
解析：
(1)第一步：关系式∠A=90°-∠B，求出∠A；第二步：关系式b=a·tan∠B，求出b；第三步：关系式c=a/cos∠B，求出c。
(2)设a=1，∠B=45°，则∠A=90°-45°=45°；b=1·tan45°=1；c=1/cos45°=√2。
(2)设a=1，∠B=45°，则∠A=90°-45°=45°；b=1·tan45°=1；c=1/cos45°=√2。
自主探究
问题 如图，已知在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 3 $，$ AC = 2 $，$ \cos B = \dfrac{\sqrt{6}}{3} $，求 $ ∠ C $。
名师指导
由 $ \cos B = \dfrac{\sqrt{6}}{3} $ 可知，$ ∠ B $ 必须在直角三角形中，为此需通过作三角形的高达到“化斜为直”的目的。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，已知在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 3 $，$ AC = 2 $，$ \cos B = \dfrac{\sqrt{6}}{3} $，求 $ ∠ C $。
名师指导
由 $ \cos B = \dfrac{\sqrt{6}}{3} $ 可知，$ ∠ B $ 必须在直角三角形中，为此需通过作三角形的高达到“化斜为直”的目的。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：∠C=60°
解析：
过点A作AD⊥BC于D。
在Rt△ABD中，cosB=BD/AB，AB=3，cosB=√6/3，
∴BD=AB·cosB=3×(√6/3)=√6。
由勾股定理得：AD=√(AB²-BD²)=√(3²-(√6)²)=√(9-6)=√3。
在Rt△ACD中，AC=2，AD=√3，
由勾股定理得：CD=√(AC²-AD²)=√(2²-(√3)²)=√(4-3)=1。
cosC=CD/AC=1/2，
∴∠C=60°。
在Rt△ABD中，cosB=BD/AB，AB=3，cosB=√6/3，
∴BD=AB·cosB=3×(√6/3)=√6。
由勾股定理得：AD=√(AB²-BD²)=√(3²-(√6)²)=√(9-6)=√3。
在Rt△ACD中，AC=2，AD=√3，
由勾股定理得：CD=√(AC²-AD²)=√(2²-(√3)²)=√(4-3)=1。
cosC=CD/AC=1/2，
∴∠C=60°。
1. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3 $，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $。若 $ BC = a $，则 $ AD $ 等于(
A.$ \dfrac{1}{2}a $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2}a $
C.$ \dfrac{3}{2}a $
D.$ \sqrt{3}a $
C
)A.$ \dfrac{1}{2}a $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2}a $
C.$ \dfrac{3}{2}a $
D.$ \sqrt{3}a $
答案：1. C.
解析：
解：设$∠A = x$，则$∠B = 2x$，$∠C = 3x$。
因为$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x = 30°$。
故$∠A = 30°$，$∠B = 60°$，$∠C = 90°$，即$△ABC$是直角三角形，$AB$为斜边。
在$Rt△ABC$中，$∠A = 30°$，$BC = a$，所以$AB = 2BC = 2a$，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a$。
因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC = 90°$。
在$Rt△ACD$中，$∠A = 30°$，$AC = \sqrt{3}a$，所以$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{3}{4}a^2} = \sqrt{\frac{9}{4}a^2} = \frac{3}{2}a$。
答案：C
因为$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x = 30°$。
故$∠A = 30°$，$∠B = 60°$，$∠C = 90°$，即$△ABC$是直角三角形，$AB$为斜边。
在$Rt△ABC$中，$∠A = 30°$，$BC = a$，所以$AB = 2BC = 2a$，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a$。
因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC = 90°$。
在$Rt△ACD$中，$∠A = 30°$，$AC = \sqrt{3}a$，所以$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{3}{4}a^2} = \sqrt{\frac{9}{4}a^2} = \frac{3}{2}a$。
答案：C
2. 等腰三角形一腰上的高为 $ \sqrt{3} $，这条高与底边夹角为 $ 60^{\circ} $，则此三角形面积为
$ \sqrt{3} $
。答案：2. $ \sqrt{3} $.
解析：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，$BD=\sqrt{3}$，$∠ DBC = 60^{\circ}$。
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC = 90^{\circ}$，$∠ DBC = 60^{\circ}$，则$∠ C=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\cos∠ DBC=\frac{BD}{BC}$，即$\cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{BC}$，$BC=\frac{\sqrt{3}}{\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$。
因为$AB = AC$，所以$∠ ABC=∠ C = 30^{\circ}$，$∠ A=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
$\sin∠ A=\frac{BD}{AB}$，即$\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$，$AB=\frac{\sqrt{3}}{\sin120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}× AB× BD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC = 90^{\circ}$，$∠ DBC = 60^{\circ}$，则$∠ C=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\cos∠ DBC=\frac{BD}{BC}$，即$\cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{BC}$，$BC=\frac{\sqrt{3}}{\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$。
因为$AB = AC$，所以$∠ ABC=∠ C = 30^{\circ}$，$∠ A=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
$\sin∠ A=\frac{BD}{AB}$，即$\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$，$AB=\frac{\sqrt{3}}{\sin120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}× AB× BD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$