1. 2024年南通海门区举办以“相聚张謇故里，尽享激情海马”赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是
9.5
米(结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000).答案：1. 9.5
解析：
在矩形ABCD中，AD=BC=20米，DC=AB=1.5米。
在Rt△ADE中，∠EAD=21.8°，AD=20米，tan∠EAD=DE/AD，
则DE=AD·tan21.8°≈20×0.4000=8米。
EC=DE+DC=8+1.5=9.5米。
9.5
在Rt△ADE中，∠EAD=21.8°，AD=20米，tan∠EAD=DE/AD，
则DE=AD·tan21.8°≈20×0.4000=8米。
EC=DE+DC=8+1.5=9.5米。
9.5
2. 如图，在高h m的山顶处测得地面C处俯角为45°，地面D处的俯角为30°，则：
(1)∠CAE=
(2)在Rt△ABC中，BC=
(3)CD=
(1)∠CAE=
45°
，∠DAE=30°
；(2)在Rt△ABC中，BC=
h
m，在Rt△ABD中，BD=√3h
m；(3)CD=
(√3 - 1)h
m.答案：2. (1) $45^{\circ},30^{\circ}$；(2) $h,\sqrt{3}h$；(3) $(\sqrt{3}-1)h$
3. 如图，小亮在操场上距离旗杆AB 9 m远的C处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为30°，测角仪的高CD为1.2 m，那么旗杆AB的高为
1.2 + 3√3
m(结果保留根号).答案：3. $1.2 + 3\sqrt{3}$
解析：
解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，
∴BE=CD=1.2m，DE=BC=9m，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，DE=9m，
∵tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，
∴AE=DE·tan30°=9×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$m，
∴AB=AE+BE=（1.2+3$\sqrt{3}$）m.
∴BE=CD=1.2m，DE=BC=9m，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，DE=9m，
∵tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，
∴AE=DE·tan30°=9×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$m，
∴AB=AE+BE=（1.2+3$\sqrt{3}$）m.
4. 如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120 m，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
答案：4. 两座建筑物的地面距离 $DC$ 为 $(180 - 60\sqrt{3})$ m
解析：
解：过点A作AE⊥BC于点E，则四边形ADCE为矩形，所以AE=DC，AD=EC。
设DC = x m，则AE = x m。
在Rt△AEC中，∠EAC=45°，所以EC = AE·tan45° = x·1 = x m。
因为BC=120 m，所以BE = BC - EC = (120 - x) m。
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，tan∠BAE = BE/AE，即tan30° = (120 - x)/x。
因为tan30° = √3/3，所以√3/3 = (120 - x)/x，解得x = 180 - 60√3。
答：两座建筑物的地面距离DC为(180 - 60√3) m。
设DC = x m，则AE = x m。
在Rt△AEC中，∠EAC=45°，所以EC = AE·tan45° = x·1 = x m。
因为BC=120 m，所以BE = BC - EC = (120 - x) m。
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，tan∠BAE = BE/AE，即tan30° = (120 - x)/x。
因为tan30° = √3/3，所以√3/3 = (120 - x)/x，解得x = 180 - 60√3。
答：两座建筑物的地面距离DC为(180 - 60√3) m。
5. 下表是小明同学填写实习报告的部分内容，请你根据以下的条件，计算出河宽CD（结果保留根号）.
答案：5. $(30 + 10\sqrt{3})$ m
解析：
解：设河宽$CD = x$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD = 45°$，$∠ BDC = 90°$，
$\therefore BD = CD = x$米。
$\because AB = 20$米，
$\therefore AD = BD - AB = (x - 20)$米。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 60°$，
$\tan∠ CAD = \frac{CD}{AD}$，即$\tan60° = \frac{x}{x - 20}$。
$\because \tan60° = \sqrt{3}$，
$\therefore \sqrt{3} = \frac{x}{x - 20}$，
$\sqrt{3}(x - 20) = x$，
$\sqrt{3}x - 20\sqrt{3} = x$，
$\sqrt{3}x - x = 20\sqrt{3}$，
$x(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3}$，
$x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2}$
$= 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$
$= 10×3 + 10\sqrt{3}$
$= 30 + 10\sqrt{3}$。
答：河宽$CD$为$(30 + 10\sqrt{3})$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD = 45°$，$∠ BDC = 90°$，
$\therefore BD = CD = x$米。
$\because AB = 20$米，
$\therefore AD = BD - AB = (x - 20)$米。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 60°$，
$\tan∠ CAD = \frac{CD}{AD}$，即$\tan60° = \frac{x}{x - 20}$。
$\because \tan60° = \sqrt{3}$，
$\therefore \sqrt{3} = \frac{x}{x - 20}$，
$\sqrt{3}(x - 20) = x$，
$\sqrt{3}x - 20\sqrt{3} = x$，
$\sqrt{3}x - x = 20\sqrt{3}$，
$x(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3}$，
$x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$
$= \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2}$
$= 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$
$= 10×3 + 10\sqrt{3}$
$= 30 + 10\sqrt{3}$。
答：河宽$CD$为$(30 + 10\sqrt{3})$米。