6. 把二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图像向右平移 4 个单位长度。
(1) 请直接写出平移后所得图像相应的函数表达式；
(2) 若(1)中所求得的函数图像的顶点为 $ C $，并与一次函数 $ y = x $ 的图像相交于 $ A $、$ B $ 两点，求 $ \triangle ABC $ 的面积。
(1) 请直接写出平移后所得图像相应的函数表达式；
(2) 若(1)中所求得的函数图像的顶点为 $ C $，并与一次函数 $ y = x $ 的图像相交于 $ A $、$ B $ 两点，求 $ \triangle ABC $ 的面积。
答案：解：$(1)y=\frac {1}{2}(x-4)²$
(2)因为$y=\frac {1}{2}(x-4)²$图像的顶点为C
所以C(4 ， 0)
由题意得，$\frac {1}{2}(x-4)²=x$
解得，${x}_1=2，$${x}_2=8$
所以A(2，2)，B(8，8)或A(8，8)，B(2，2)；
$S_{△ABC}=\frac {1}{2}×(2+8)×6-\frac {1}{2}×2×2-\frac {1}{2}×4×8= 12$
(2)因为$y=\frac {1}{2}(x-4)²$图像的顶点为C
所以C(4 ， 0)
由题意得，$\frac {1}{2}(x-4)²=x$
解得，${x}_1=2，$${x}_2=8$
所以A(2，2)，B(8，8)或A(8，8)，B(2，2)；
$S_{△ABC}=\frac {1}{2}×(2+8)×6-\frac {1}{2}×2×2-\frac {1}{2}×4×8= 12$
7. 若二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图像与 $ y $ 轴相交于点 $ (0,-1) $，且它的对称轴与二次函数 $ y = (x - 1)^2 $ 的图像的对称轴关于 $ y $ 轴对称，则 $ a = $
-1
，$ h = $-1
。答案：-1
-1
-1
8. 如图，已知二次函数 $ y = ax^2(a ＞ 0) $ 的图像与直线 $ AB $ 相交于 $ B $、$ C $ 两点，且点 $ A $ 的坐标是 $ (2,0) $，点 $ B $ 的坐标是 $ (1,1) $。
(1) 求 $ a $ 的值，并直接写出将二次函数 $ y = ax^2(a ＞ 0) $ 的图像向左平移 2 个单位长度所得的图像相应的函数表达式。
(2) 在二次函数 $ y = ax^2(a ＞ 0) $ 的图像上是否存在点 $ D $，使得 $ \triangle OAD $ 的面积等于 $ \triangle OBC $ 的面积？若存在，请求出所有符合题意的点 $ D $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 求 $ a $ 的值，并直接写出将二次函数 $ y = ax^2(a ＞ 0) $ 的图像向左平移 2 个单位长度所得的图像相应的函数表达式。
(2) 在二次函数 $ y = ax^2(a ＞ 0) $ 的图像上是否存在点 $ D $，使得 $ \triangle OAD $ 的面积等于 $ \triangle OBC $ 的面积？若存在，请求出所有符合题意的点 $ D $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：解：(1)二次函数y =a(x+2)²向右平移2个单位长度后为y = ax²
将点B(1 ， 1)代入二次函数y= ax²，
得a=1
所以二次函数y= a(x + 2)²的图像平移后所得
的图像相应的函数表达式为y=x²
(2)设直线AB的解析式为y = kx+b
将A(2， 0)， B(1， 1)代入,得
$\begin{cases}{0=2k+b }\\{1=k+b} \end{cases}$
解得k=-1，b=2
所以直线AB的解析式为y= -x+2
因为二次函数y =x²的图像与直线y= -x+2交于B、C两点
x²=-x+2
解得，x=-2，x= 1
所以C(-2 ， 4)
所以$S_{△OBC}=\frac {1}{2}×2×3=3$
因为△OAD的面积等于△OBC的面积
所以$S_{△OAD}=\frac {1}{2}×OA×{y}_{P}=\frac {1}{2}×2×{y}_{P}=3$
所以点D的纵坐标yp= 3
令y=3，得3=x²
解得，$x=±\sqrt{3} $
所以点D的坐标为$(\sqrt{3}，$ 3)或$(-\sqrt{3}，$3)
将点B(1 ， 1)代入二次函数y= ax²，
得a=1
所以二次函数y= a(x + 2)²的图像平移后所得
的图像相应的函数表达式为y=x²
(2)设直线AB的解析式为y = kx+b
将A(2， 0)， B(1， 1)代入,得
$\begin{cases}{0=2k+b }\\{1=k+b} \end{cases}$
解得k=-1，b=2
所以直线AB的解析式为y= -x+2
因为二次函数y =x²的图像与直线y= -x+2交于B、C两点
x²=-x+2
解得，x=-2，x= 1
所以C(-2 ， 4)
所以$S_{△OBC}=\frac {1}{2}×2×3=3$
因为△OAD的面积等于△OBC的面积
所以$S_{△OAD}=\frac {1}{2}×OA×{y}_{P}=\frac {1}{2}×2×{y}_{P}=3$
所以点D的纵坐标yp= 3
令y=3，得3=x²
解得，$x=±\sqrt{3} $
所以点D的坐标为$(\sqrt{3}，$ 3)或$(-\sqrt{3}，$3)