例1
如图，反比例函数$ y = -\dfrac{8}{x} $与一次函数$ y = -x + 2 $的图像交于$ A、B $两点.
(1) 求$ A、B $两点的坐标；
(2) 求$ \triangle AOB $的面积.
如图，反比例函数$ y = -\dfrac{8}{x} $与一次函数$ y = -x + 2 $的图像交于$ A、B $两点.
(1) 求$ A、B $两点的坐标；
(2) 求$ \triangle AOB $的面积.
答案：分析：若两个函数的图像相交，则交点的横坐标和纵坐标的关系，既满足第一个函数表达式，又满足第二个函数表达式，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标.
解：(1) 解方程组$ \begin{cases} y = -\dfrac{8}{x}, \\ y = -x + 2, \end{cases} $得$ \begin{cases} x_1 = 4, \\ y_1 = -2, \end{cases} \begin{cases} x_2 = -2, \\ y_2 = 4. \end{cases} $
所以$ A、B $两点的坐标分别为$ (-2,4)、(4,-2) $
(2) 因为函数$ y = -x + 2 $的图像与$ y $轴交点$ D $的坐标是$ (0,2) $，
所以$ S_{\triangle AOD} = \dfrac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $，$ S_{\triangle BOD} = \dfrac{1}{2} × 2 × 4 = 4 $，$ S_{\triangle AOB} = 2 + 4 = 6 $.
解：(1) 解方程组$ \begin{cases} y = -\dfrac{8}{x}, \\ y = -x + 2, \end{cases} $得$ \begin{cases} x_1 = 4, \\ y_1 = -2, \end{cases} \begin{cases} x_2 = -2, \\ y_2 = 4. \end{cases} $
所以$ A、B $两点的坐标分别为$ (-2,4)、(4,-2) $
(2) 因为函数$ y = -x + 2 $的图像与$ y $轴交点$ D $的坐标是$ (0,2) $，
所以$ S_{\triangle AOD} = \dfrac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $，$ S_{\triangle BOD} = \dfrac{1}{2} × 2 × 4 = 4 $，$ S_{\triangle AOB} = 2 + 4 = 6 $.
例2
如图，在$ \triangle ABC $中，$ BC = 4 $，$ AC = 2\sqrt{3} $，$ \angle ACB = 60^{\circ} $，点$ P $在$ BC $上，$ PD // AB $，交$ AC $于点$ D $. 点$ P $在$ BC $的什么位置时，$ \triangle APD $面积最大？
如图，在$ \triangle ABC $中，$ BC = 4 $，$ AC = 2\sqrt{3} $，$ \angle ACB = 60^{\circ} $，点$ P $在$ BC $上，$ PD // AB $，交$ AC $于点$ D $. 点$ P $在$ BC $的什么位置时，$ \triangle APD $面积最大？
答案：分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键；为了完成这种转化，需要把题中的位置关系转化为数量关系，求得函数表达式.
解：设$ BP = x $，$ \triangle APD $的面积为$ y $.
作$ AH ⊥ BC $，垂足为$ H $，
则$ AH = AC · \sin C = 2\sqrt{3} · \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3 $.
$ S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} BC · AH = \dfrac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $，
$ S_{\triangle ABP} = \dfrac{1}{2} BP · AH = \dfrac{3}{2} x $.
$ \because PD // AB $，
$ \therefore \triangle DPC \backsim \triangle ABC $，$ \dfrac{S_{\triangle DPC}}{S_{\triangle ABC}} = \left( \dfrac{CP}{CB} \right)^2 $.
$ \therefore S_{\triangle DPC} = \left( \dfrac{CP}{4} \right)^2 · S_{\triangle ABC} = \dfrac{3}{8} (4 - x)^2 $.
$ \because S_{\triangle APD} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABP} - S_{\triangle DPC} $，
$ \therefore y = 6 - \dfrac{3}{2} x - \dfrac{3}{8} (4 - x)^2 $.
化简，得$ y = -\dfrac{3}{8} x^2 + \dfrac{3}{2} x $.
配方，得$ y = -\dfrac{3}{8} (x - 2)^2 + \dfrac{3}{2} $.
$ \therefore x = 2 $，即$ P $是$ BC $的中点时，$ \triangle APD $的面积最大，最大值为$ \dfrac{3}{2} $.
解：设$ BP = x $，$ \triangle APD $的面积为$ y $.
作$ AH ⊥ BC $，垂足为$ H $，
则$ AH = AC · \sin C = 2\sqrt{3} · \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3 $.
$ S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} BC · AH = \dfrac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $，
$ S_{\triangle ABP} = \dfrac{1}{2} BP · AH = \dfrac{3}{2} x $.
$ \because PD // AB $，
$ \therefore \triangle DPC \backsim \triangle ABC $，$ \dfrac{S_{\triangle DPC}}{S_{\triangle ABC}} = \left( \dfrac{CP}{CB} \right)^2 $.
$ \therefore S_{\triangle DPC} = \left( \dfrac{CP}{4} \right)^2 · S_{\triangle ABC} = \dfrac{3}{8} (4 - x)^2 $.
$ \because S_{\triangle APD} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABP} - S_{\triangle DPC} $，
$ \therefore y = 6 - \dfrac{3}{2} x - \dfrac{3}{8} (4 - x)^2 $.
化简，得$ y = -\dfrac{3}{8} x^2 + \dfrac{3}{2} x $.
配方，得$ y = -\dfrac{3}{8} (x - 2)^2 + \dfrac{3}{2} $.
$ \therefore x = 2 $，即$ P $是$ BC $的中点时，$ \triangle APD $的面积最大，最大值为$ \dfrac{3}{2} $.