例1 已知数 $ a_{1}、a_{2}、a_{3}、a_{4}······ $ 满足下列条件： $ a_{1}=0 $， $ a_{2}=-\vert a_{1}+1\vert $， $ a_{3}=-\vert a_{2}+2\vert $， $ a_{4}=-\vert a_{3}+3\vert ······ $ 依次类推.
(1) $ a_{n} $ 的值是多少?
(2) $ a_{120} $ 的值是多少?
(1) $ a_{n} $ 的值是多少?
(2) $ a_{120} $ 的值是多少?
答案：分析：据条件求出前几个数的值，寻找规律.
解： $ \because a_{1}=0 $， $ a_{2}=-\vert a_{1}+1\vert =-1 $，
$ a_{3}=-\vert a_{2}+2\vert =-\vert -1+2\vert =-1 $， $ a_{4}=-\vert a_{3}+3\vert =-\vert -1+3\vert =-2 $，
$ a_{5}=-\vert a_{4}+4\vert =-\vert -2+4\vert =-2 $， $ a_{6}=-\vert a_{5}+5\vert =-\vert -2+5\vert =-3 $，
$ a_{7}=-\vert a_{6}+6\vert =-\vert -3+6\vert =-3 $， $ a_{8}=-\vert a_{7}+7\vert =-\vert -3+7\vert =-4 $，
$······$
$ \therefore $ 当 $ n $ 为奇数时， $ a_{n}=-\frac{n - 1}{2} $；
当 $ n $ 为偶数时， $ a_{n}=-\frac{n}{2} $.
$ \therefore a_{120}=-\frac{120}{2}=-60 $.
解： $ \because a_{1}=0 $， $ a_{2}=-\vert a_{1}+1\vert =-1 $，
$ a_{3}=-\vert a_{2}+2\vert =-\vert -1+2\vert =-1 $， $ a_{4}=-\vert a_{3}+3\vert =-\vert -1+3\vert =-2 $，
$ a_{5}=-\vert a_{4}+4\vert =-\vert -2+4\vert =-2 $， $ a_{6}=-\vert a_{5}+5\vert =-\vert -2+5\vert =-3 $，
$ a_{7}=-\vert a_{6}+6\vert =-\vert -3+6\vert =-3 $， $ a_{8}=-\vert a_{7}+7\vert =-\vert -3+7\vert =-4 $，
$······$
$ \therefore $ 当 $ n $ 为奇数时， $ a_{n}=-\frac{n - 1}{2} $；
当 $ n $ 为偶数时， $ a_{n}=-\frac{n}{2} $.
$ \therefore a_{120}=-\frac{120}{2}=-60 $.
例2 如图①，在平面直角坐标系中，点 $ A_{1}、A_{2}、A_{3}······ $ 和点 $ B_{1}、B_{2}、B_{3}······ $ 分别在函数 $ y = kx + b $ 的图像和 $ x $ 轴上， $ \triangle OA_{1}B_{1}、\triangle B_{1}A_{2}B_{2}、\triangle B_{2}A_{3}B_{3}······ $ 都是等腰直角三角形.如果点 $ A_{1} $ 的坐标为 $ (1,1) $，点 $ A_{2} $ 的坐标为 $ (\frac{7}{2},\frac{3}{2}) $，那么点 $ A_{n} $ 的纵坐标是多少?
答案：
分析：可按如下过程探索：
(1) 由点 $ A_{1}、A_{2} $ 的坐标确定 $ y = kx + b $ 中 $ k、b $ 的值，进而确定该直线与坐标轴的交点坐标；
(2) 利用相似三角形和等腰直角三角形的性质，可依次求得点 $ B_{1}、B_{2}、B_{3} $ 的坐标，进而可求得点 $ A_{3} $ 的坐标；
(3) 观察点 $ A_{1}、A_{2}、A_{3}、A_{4} $ 坐标的规律.
解：由 $ A_{1}(1,1)、A_{2}(\frac{7}{2},\frac{3}{2}) $ 在 $ y = kx + b $ 的图像上，
可求得该函数的表达式为 $ y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5} $.
如图②，设该函数的图像与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴的交点分别为点 $ A、D $.
当 $ x = 0 $ 时， $ y=\frac{4}{5} $；当 $ y = 0 $ 时， $ x = -4 $.
$ \therefore $ 点 $ A、D $ 的坐标分别为 $ (-4,0)、(0,\frac{4}{5}) $.
$ \therefore \tan\angle DAO=\frac{DO}{AO}=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5} $.
分别过点 $ A_{1}、A_{2}、A_{3} $ 作 $ x $ 轴的垂线，垂足分别为 $ C_{1}、C_{2}、C_{3} $.
$ \therefore OB_{2}=OB_{1}+B_{1}B_{2}=2×1 + 2×\frac{3}{2}=2 + 3 = 5 $，
$ \tan\angle DAO=\frac{A_{3}C_{3}}{AC_{3}}=\frac{A_{3}C_{3}}{4 + 5 + B_{2}C_{3}}=\frac{1}{5} $.
$ \because \triangle B_{2}A_{3}B_{3} $ 是等腰直角三角形，
$ \therefore A_{3}C_{3}=B_{2}C_{3} $.
$ \therefore A_{3}C_{3}=\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^{2} $.
同理 $ A_{4}C_{4}=\frac{27}{8}=(\frac{3}{2})^{3} $.
依次类推，点 $ A_{n} $ 的纵坐标是 $ (\frac{3}{2})^{n - 1} $.
分析：可按如下过程探索：
(1) 由点 $ A_{1}、A_{2} $ 的坐标确定 $ y = kx + b $ 中 $ k、b $ 的值，进而确定该直线与坐标轴的交点坐标；
(2) 利用相似三角形和等腰直角三角形的性质，可依次求得点 $ B_{1}、B_{2}、B_{3} $ 的坐标，进而可求得点 $ A_{3} $ 的坐标；
(3) 观察点 $ A_{1}、A_{2}、A_{3}、A_{4} $ 坐标的规律.
解：由 $ A_{1}(1,1)、A_{2}(\frac{7}{2},\frac{3}{2}) $ 在 $ y = kx + b $ 的图像上，
可求得该函数的表达式为 $ y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5} $.
如图②，设该函数的图像与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴的交点分别为点 $ A、D $.
当 $ x = 0 $ 时， $ y=\frac{4}{5} $；当 $ y = 0 $ 时， $ x = -4 $.
$ \therefore $ 点 $ A、D $ 的坐标分别为 $ (-4,0)、(0,\frac{4}{5}) $.
$ \therefore \tan\angle DAO=\frac{DO}{AO}=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5} $.
分别过点 $ A_{1}、A_{2}、A_{3} $ 作 $ x $ 轴的垂线，垂足分别为 $ C_{1}、C_{2}、C_{3} $.
$ \therefore OB_{2}=OB_{1}+B_{1}B_{2}=2×1 + 2×\frac{3}{2}=2 + 3 = 5 $，
$ \tan\angle DAO=\frac{A_{3}C_{3}}{AC_{3}}=\frac{A_{3}C_{3}}{4 + 5 + B_{2}C_{3}}=\frac{1}{5} $.
$ \because \triangle B_{2}A_{3}B_{3} $ 是等腰直角三角形，
$ \therefore A_{3}C_{3}=B_{2}C_{3} $.
$ \therefore A_{3}C_{3}=\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^{2} $.
同理 $ A_{4}C_{4}=\frac{27}{8}=(\frac{3}{2})^{3} $.
依次类推，点 $ A_{n} $ 的纵坐标是 $ (\frac{3}{2})^{n - 1} $.