12. 数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题： $ 1 + 2 + 3 + ··· + 10 =? $
经过研究，这个问题的一般性结论是 $ 1 + 2 + 3 + ··· + n=\frac{1}{2}n(n + 1) $(其中 $ n $ 为正整数).现在我们来研究一个类似的问题： $ 1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1) =? $
观察下面三个特殊的等式：
$ 1×2=\frac{1}{3}(1×2×3 - 0×1×2) $； $ 2×3=\frac{1}{3}(2×3×4 - 1×2×3) $； $ 3×4=\frac{1}{3}(3×4×5 - 2×3×4) $.
将这三个等式的两边相加，可以得到 $ 1×2 + 2×3 + 3×4=\frac{1}{3}×3×4×5 = 20 $.
读完这段材料，请你计算：
(1) $ 1×2 + 2×3 + ··· + 100×101 $；
(2) $ 1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1) $；
(3) $ 1×2×3 + 2×3×4 + ··· + n(n + 1)(n + 2) $.
经过研究，这个问题的一般性结论是 $ 1 + 2 + 3 + ··· + n=\frac{1}{2}n(n + 1) $(其中 $ n $ 为正整数).现在我们来研究一个类似的问题： $ 1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1) =? $
观察下面三个特殊的等式：
$ 1×2=\frac{1}{3}(1×2×3 - 0×1×2) $； $ 2×3=\frac{1}{3}(2×3×4 - 1×2×3) $； $ 3×4=\frac{1}{3}(3×4×5 - 2×3×4) $.
将这三个等式的两边相加，可以得到 $ 1×2 + 2×3 + 3×4=\frac{1}{3}×3×4×5 = 20 $.
读完这段材料，请你计算：
(1) $ 1×2 + 2×3 + ··· + 100×101 $；
(2) $ 1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1) $；
(3) $ 1×2×3 + 2×3×4 + ··· + n(n + 1)(n + 2) $.
答案： 解：$(1) \frac {1}{3} ×100×101×102=343400 $
(2)∵$1×2=\frac {1}{3} (1×2×3-0×1×2)，$$2×3=\frac {1}{3} (2×3×4-1×2×3)，$
$3×4=\frac {1}{3} (3×4×5-2×3×4)，$···，$n(n+1)=\frac {1}{3} ([n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
∴1×2+2×3+···+n(n+1)
$=\frac {1}{3} [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-4×3×4+···+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
$=\frac {1}{3}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)$
(3)根据(2)的计算方法，$1×2×3=\frac {1}{4} (1×2×3×4-0×1×2×3)，$
$2×3×4=\frac {1}{4} (2×3×4×5-1×2×3×4)，$···，
$n(n+1)(n+2)=\frac {1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
∴1×2×3+2×3×4+···+n(n+1)(n+2)
$=\frac {1}{4} [1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+···+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
$=\frac {1}{4}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)(n+3)$
(2)∵$1×2=\frac {1}{3} (1×2×3-0×1×2)，$$2×3=\frac {1}{3} (2×3×4-1×2×3)，$
$3×4=\frac {1}{3} (3×4×5-2×3×4)，$···，$n(n+1)=\frac {1}{3} ([n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
∴1×2+2×3+···+n(n+1)
$=\frac {1}{3} [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-4×3×4+···+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
$=\frac {1}{3}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)$
(3)根据(2)的计算方法，$1×2×3=\frac {1}{4} (1×2×3×4-0×1×2×3)，$
$2×3×4=\frac {1}{4} (2×3×4×5-1×2×3×4)，$···，
$n(n+1)(n+2)=\frac {1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
∴1×2×3+2×3×4+···+n(n+1)(n+2)
$=\frac {1}{4} [1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+···+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
$=\frac {1}{4}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)(n+3)$