6. 已知：如图，在$\triangle ABC$中，$DE // BC$，$EF // CD$。
(1) 写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；
(2) 若$AE = 5$，$EC = 3$，$EF = 4$，$BC = 7$，求$DE$、$CD$的长。
(1) 写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；
(2) 若$AE = 5$，$EC = 3$，$EF = 4$，$BC = 7$，求$DE$、$CD$的长。
答案：解:(2)∵△ADE∽△ABC
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}$
∵AE=5，EC=3，BC=7
∴AC=AE+EC=8
∴$\frac 58=\frac {DE}7$
∴$DE=\frac {35}{8}$
∵EF//CD
∴△AFE∽△ADC
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {EF}{CD}，$即$\frac 58=\frac 4{CD}$
∴$CD=\frac {32}{5}$
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}$
∵AE=5，EC=3，BC=7
∴AC=AE+EC=8
∴$\frac 58=\frac {DE}7$
∴$DE=\frac {35}{8}$
∵EF//CD
∴△AFE∽△ADC
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {EF}{CD}，$即$\frac 58=\frac 4{CD}$
∴$CD=\frac {32}{5}$
7. 如图，$DE // FG // BC$，$DE = 2$，$FG = 3$，$BC = 5$，$AE = 4$，$DG$的延长线交$BC$延长线于点$H$。
(1) $EG =$
(2) 求$CH$的长。
(1) $EG =$
2
，$GC =$4
；(2) 求$CH$的长。
答案：(1)2 4
解：(2)
∵DE//FG//BC
∴△ADE∽△AFG
∴$\frac {DE}{FG}=\frac {AE}{AG}$
∵DE=2，FG=3，AE=4
∴$\frac 23=\frac 4{AG}$
∴AG=6，EG=2
同理可得，CG=4
∵EG=DE
∴∠EGD=∠EDG
∵DE//BC
∴∠EDG=∠H
∵∠EGD=∠CGH
∴∠CGH=∠H
∴CH=CG=4
解：(2)
∵DE//FG//BC
∴△ADE∽△AFG
∴$\frac {DE}{FG}=\frac {AE}{AG}$
∵DE=2，FG=3，AE=4
∴$\frac 23=\frac 4{AG}$
∴AG=6，EG=2
同理可得，CG=4
∵EG=DE
∴∠EGD=∠EDG
∵DE//BC
∴∠EDG=∠H
∵∠EGD=∠CGH
∴∠CGH=∠H
∴CH=CG=4
8. 如图，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$F$是$DE$的中点，$CF$的延长线交$AB$于点$G$。求$AG:GD$。
答案：
解：取CG 的中点H，连接EH
∵DE是△ABC的中位线
∴E是AC的中点
∵H是CG 的中点
∴EH是△ACG的中位线
∴EH//AG，AG=2HE
∴∠GDF=∠HEF
∵F 是DE的中点
∴DF=EF
在△DFG 和△EFH中
$\begin{cases}{∠GDF=∠HEF}\\{DF=EF}\\{∠GFD=∠HFE}\end{cases}$
∴$△DFG≌△EFH(\mathrm {ASA})$
∴GD=HE
∴AG：GD=2HE：HE=2：1
解：取CG 的中点H，连接EH
∵DE是△ABC的中位线
∴E是AC的中点
∵H是CG 的中点
∴EH是△ACG的中位线
∴EH//AG，AG=2HE
∴∠GDF=∠HEF
∵F 是DE的中点
∴DF=EF
在△DFG 和△EFH中
$\begin{cases}{∠GDF=∠HEF}\\{DF=EF}\\{∠GFD=∠HFE}\end{cases}$
∴$△DFG≌△EFH(\mathrm {ASA})$
∴GD=HE
∴AG：GD=2HE：HE=2：1
9. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在$AC$上，点$E$在$BD$上，且$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}$，$\frac{BE}{ED}=\frac{3}{2}$，$AE$的延长线交$BC$于点$F$。求$BF:FC$。
答案：
解：作DG//AF{交}BC于点G
∵DG//AF
∴$\frac {AD}{CD}=\frac {FG}{CG}，$$\frac {BE}{ED}=\frac {BF}{FG}$
∵$\frac {AD}{CD}=\frac 23，$$\frac {BE}{ED}=\frac 32$
∴$\frac {FG}{CG}=\frac 23，$$\frac {BF}{FG}=\frac 32$
设FG=2x，则CG=3x，BF=3x
∴FC=FG+CG=5x
∴BF：FC=3：5
解：作DG//AF{交}BC于点G
∵DG//AF
∴$\frac {AD}{CD}=\frac {FG}{CG}，$$\frac {BE}{ED}=\frac {BF}{FG}$
∵$\frac {AD}{CD}=\frac 23，$$\frac {BE}{ED}=\frac 32$
∴$\frac {FG}{CG}=\frac 23，$$\frac {BF}{FG}=\frac 32$
设FG=2x，则CG=3x，BF=3x
∴FC=FG+CG=5x
∴BF：FC=3：5