8. 小明和同学做影子游戏时发现，对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关. 因此，他们认为可以借助物体影子的长度计算光源到物体的位置.
(1) 如图①，垂直于地面放置的正方形框架 $ ABCD $，$ AB $ 为 $ 30$ cm，在其正上方点 $ P $ 处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为 $ 6$ cm. 灯泡离地面的高度为多少?
(2) 不改变图①中灯泡的位置，将两个边长为 $ 30$ cm 的正方形框架按图②摆放，请计算此时横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为多少.
(3) 有 $ n $ 个边长为 $ a $ 的正方形按图③摆放，测得横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为 $ b $，求灯泡离地面的距离. (写出解题过程，结果用含 $ a、b、n $ 的代数式表示)
(1) 如图①，垂直于地面放置的正方形框架 $ ABCD $，$ AB $ 为 $ 30$ cm，在其正上方点 $ P $ 处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为 $ 6$ cm. 灯泡离地面的高度为多少?
(2) 不改变图①中灯泡的位置，将两个边长为 $ 30$ cm 的正方形框架按图②摆放，请计算此时横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为多少.
(3) 有 $ n $ 个边长为 $ a $ 的正方形按图③摆放，测得横向影子 $ A'B、D'C $ 长度的和为 $ b $，求灯泡离地面的距离. (写出解题过程，结果用含 $ a、b、n $ 的代数式表示)
答案：
解:(1)如图，
∵AB∥OM，
∴△A′AB∽△A′OM，
∴$\frac{A′B}{A′M}=\frac{AB}{OM}，$
即$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{30}{OM}①，$
∵DC∥OM，
∴△D′DC∽△D′OM，
∴$\frac{D′C}{D′M}=\frac{CD}{OM}，$
即$\frac{D′C}{D′C+CM}=\frac{30}{OM}②，$
由①②得$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{D′C}{D′C+CM}，$
∴$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{D′C}{D′C+CM}=\frac{A′B+D′C}{A′B+BM+CM+D′C}=\frac{6}{30+6}=\frac{1}{6}，$
∴$\frac{30}{OM}=\frac{1}{6}，$
∴$OM=180（\ \mathrm {cm}）$
解：(2)设横向影子A'B，D'C的长度和为$y\ \mathrm {cm}，$
同理可得$\frac {60}{60+y}=\frac {150}{180}，$
解得$y=12\ \mathrm {cm}.$
解:(3)记灯泡为点P，如图：
∵AD//A'D'，
∴∠PAD=∠PA'D'，∠PDA=∠PD'A'.
∴△PAD∽△PA'D'.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，
可得$\frac {AD}{A'D'}=\frac {PN}{PM}，$
设灯泡离地面距离为x，
由题意得PM=x，PN=x-a，AD=na，A'D'=na+b，
∴$\frac {na}{na+b}=\frac {x-a}x=1-\frac ax$
$\frac ax=1-\frac {na}{na+b}$
$x=\frac {na^2+ab}b.$
解:(1)如图，
∵AB∥OM，
∴△A′AB∽△A′OM，
∴$\frac{A′B}{A′M}=\frac{AB}{OM}，$
即$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{30}{OM}①，$
∵DC∥OM，
∴△D′DC∽△D′OM，
∴$\frac{D′C}{D′M}=\frac{CD}{OM}，$
即$\frac{D′C}{D′C+CM}=\frac{30}{OM}②，$
由①②得$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{D′C}{D′C+CM}，$
∴$\frac{A′B}{A′B+BM}=\frac{D′C}{D′C+CM}=\frac{A′B+D′C}{A′B+BM+CM+D′C}=\frac{6}{30+6}=\frac{1}{6}，$
∴$\frac{30}{OM}=\frac{1}{6}，$
∴$OM=180（\ \mathrm {cm}）$
解：(2)设横向影子A'B，D'C的长度和为$y\ \mathrm {cm}，$
同理可得$\frac {60}{60+y}=\frac {150}{180}，$
解得$y=12\ \mathrm {cm}.$
解:(3)记灯泡为点P，如图：
∵AD//A'D'，
∴∠PAD=∠PA'D'，∠PDA=∠PD'A'.
∴△PAD∽△PA'D'.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，
可得$\frac {AD}{A'D'}=\frac {PN}{PM}，$
设灯泡离地面距离为x，
由题意得PM=x，PN=x-a，AD=na，A'D'=na+b，
∴$\frac {na}{na+b}=\frac {x-a}x=1-\frac ax$
$\frac ax=1-\frac {na}{na+b}$
$x=\frac {na^2+ab}b.$
9. 如图①，小明晚上在路灯下散步. 已知小明的身高 $ AB = h $，灯柱的高 $ OP = O'P' = l $，两灯柱之间的距离 $ OO' = m $.
(1) 若小明距灯柱 $ OP $ 的水平距离 $ OA = a $，则他的影长 $ AC = $
(2) 若小明在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和($ AC + AD $)是否不断改变? 为什么?
(3) 若小明在点 $ A $ 朝着影子的方向以 $ v_1 $ 的速度匀速行走(图②)，试求他影子的顶端在地面上移动的平均速度 $ v_2 $.
(1) 若小明距灯柱 $ OP $ 的水平距离 $ OA = a $，则他的影长 $ AC = $
$\frac{ah}{l - h}$
.(2) 若小明在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和($ AC + AD $)是否不断改变? 为什么?
(3) 若小明在点 $ A $ 朝着影子的方向以 $ v_1 $ 的速度匀速行走(图②)，试求他影子的顶端在地面上移动的平均速度 $ v_2 $.
答案：$\frac {ah}{l-h}$
解：(2)AC+AD为定值，理由如下：
由题意得AB//OP//O'P'
∵AB//OP
∴△ABC∽△OPC
∴$\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$
∵AB=h，OP=O'P'=l，OA=a
∴$\frac h{l}=\frac {AC}{a+AC}$
∴$AC=\frac {ah}{l-h}$
同理可得$AD=\frac {(m-a)h}{l-h}$
∴$AC+AD=\frac {mh}{l-h}$
∴AC+AD为定值
(3)设点A到点O的距离为$S_{1}，$点A到影子顶端C的距离为$S_{2}$
∵AB//OP
∴△ABC∽△OPC
∴$\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$
∵AB=h，OP=l，$AC=S_{2}，$$OC=OA+AC=S_{1}+S_{2}$
∴$\frac h{l}=\frac {S_{2}}{S_{1}+S_{2}}$
∴$\frac l{h}-1=\frac {S_{1}}{S_{2}}$
∴$\frac {S_{1}}{S_{2}}=\frac {v_{1}}{v_{2}}=\frac {l-h}h$
∴$v_{2}=\frac {hv_{1}}{l-h}$
解：(2)AC+AD为定值，理由如下：
由题意得AB//OP//O'P'
∵AB//OP
∴△ABC∽△OPC
∴$\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$
∵AB=h，OP=O'P'=l，OA=a
∴$\frac h{l}=\frac {AC}{a+AC}$
∴$AC=\frac {ah}{l-h}$
同理可得$AD=\frac {(m-a)h}{l-h}$
∴$AC+AD=\frac {mh}{l-h}$
∴AC+AD为定值
(3)设点A到点O的距离为$S_{1}，$点A到影子顶端C的距离为$S_{2}$
∵AB//OP
∴△ABC∽△OPC
∴$\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$
∵AB=h，OP=l，$AC=S_{2}，$$OC=OA+AC=S_{1}+S_{2}$
∴$\frac h{l}=\frac {S_{2}}{S_{1}+S_{2}}$
∴$\frac l{h}-1=\frac {S_{1}}{S_{2}}$
∴$\frac {S_{1}}{S_{2}}=\frac {v_{1}}{v_{2}}=\frac {l-h}h$
∴$v_{2}=\frac {hv_{1}}{l-h}$