13. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据下列条件，求$\sin A$、$\cos A$：
(1) $AC = 2$，$BC = 3$；
(2) $3BC = \sqrt{3}AB$；
(3) $\tan B = \frac{3}{5}$.
(1) $AC = 2$，$BC = 3$；
(2) $3BC = \sqrt{3}AB$；
(3) $\tan B = \frac{3}{5}$.
答案：解：(1)在Rt△ABC中，∵AC=2，BC=3，∠C=90°
∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {13}$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 3{\sqrt {13}}=\frac {3\sqrt {13}}3，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 2{\sqrt {13}}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$
(2)不妨设BC=1，则$AB=\sqrt 3$
在Rt△ABC中，∵BC=1，$AB=\sqrt 3，$∠C=90°
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 2$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 1{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3，$$cos A=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 6}3$
$(3)tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 35$
不妨设AC=3x，则BC=5x
在Rt△ABC中，∵AC=3x，BC=5x
∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {34}x$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {5x}{\sqrt {34}x}=\frac {5\sqrt {34}}{34}，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3x}{\sqrt {34}x}=\frac {3\sqrt {34}}{34}$
∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {13}$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 3{\sqrt {13}}=\frac {3\sqrt {13}}3，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 2{\sqrt {13}}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$
(2)不妨设BC=1，则$AB=\sqrt 3$
在Rt△ABC中，∵BC=1，$AB=\sqrt 3，$∠C=90°
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 2$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 1{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3，$$cos A=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 6}3$
$(3)tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 35$
不妨设AC=3x，则BC=5x
在Rt△ABC中，∵AC=3x，BC=5x
∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {34}x$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {5x}{\sqrt {34}x}=\frac {5\sqrt {34}}{34}，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3x}{\sqrt {34}x}=\frac {3\sqrt {34}}{34}$
14. 如图，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，点$P$在$BC$的延长线上，$PA$与$\odot O$相切，且$PA ⊥ PB$. 若$BC = 8$，$CP = 1$，求$\angle ABC$的正弦值.
答案：
解：连接OA、OC，过点O作OD⊥BC，垂足为点D
∵PA与$\odot O$相切
∴OA⊥PA
∵OD⊥BC，PA⊥PB
∴四边形OAPD是矩形
∴OA=DP，OD=AP
∵BC=8，OD⊥BC
∴$CD=\frac 12BC=4$
∵CP=1
∴OA=DP=5
在Rt△OCD中，∵OC=OA=5，CD=4
∴$OD=\sqrt {OC^2-CD^2}=3$
∴AP=OD=3
在Rt△APB中，
∵AP=3，BP=BC+CP=9
∴$AB=\sqrt {AP^2+BP^2}=3\sqrt {10}$
∴$sin ∠ABC=\frac {AP}{AB}=\frac 3{3\sqrt {10}}=\frac {\sqrt {10}}{10}$
解：连接OA、OC，过点O作OD⊥BC，垂足为点D
∵PA与$\odot O$相切
∴OA⊥PA
∵OD⊥BC，PA⊥PB
∴四边形OAPD是矩形
∴OA=DP，OD=AP
∵BC=8，OD⊥BC
∴$CD=\frac 12BC=4$
∵CP=1
∴OA=DP=5
在Rt△OCD中，∵OC=OA=5，CD=4
∴$OD=\sqrt {OC^2-CD^2}=3$
∴AP=OD=3
在Rt△APB中，
∵AP=3，BP=BC+CP=9
∴$AB=\sqrt {AP^2+BP^2}=3\sqrt {10}$
∴$sin ∠ABC=\frac {AP}{AB}=\frac 3{3\sqrt {10}}=\frac {\sqrt {10}}{10}$
15. 在平面直角坐标系中，已知一条直线经过$A(2,0)$、$B(0,2)$、$C(-1,m)$，连接$OC$($O$为坐标原点). 求$\angle ACO$的正弦值.
答案：
解：过点O作OD⊥AC，垂足为点D
设直线AC的函数表达式为y=kx+b
将点A(2，0)、B(0，2)代入得$\begin{cases}{2k+b=0}\\{b=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=2}\end{cases}$
∴直线AC的表达式为y=-x+2
将点C(-1，m)代入得m=3
∴点C的坐标为(-1，3)
∴$OC=\sqrt {(-1)^2+3^2}=\sqrt {10}$
∵OA=OB=2
∴∠OAB=45°
∵OD⊥AC
∴△OAD为等腰直角三角形
∴$OD=\frac {OA}{\sqrt 2}=\sqrt 2$
在Rt△OCD中，∵$OD=\sqrt 2，$$OC=\sqrt {10}$
∴$sin ∠ACO=\frac {OD}{OC}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt {10}}=\frac {\sqrt 5}5$
解：过点O作OD⊥AC，垂足为点D
设直线AC的函数表达式为y=kx+b
将点A(2，0)、B(0，2)代入得$\begin{cases}{2k+b=0}\\{b=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=2}\end{cases}$
∴直线AC的表达式为y=-x+2
将点C(-1，m)代入得m=3
∴点C的坐标为(-1，3)
∴$OC=\sqrt {(-1)^2+3^2}=\sqrt {10}$
∵OA=OB=2
∴∠OAB=45°
∵OD⊥AC
∴△OAD为等腰直角三角形
∴$OD=\frac {OA}{\sqrt 2}=\sqrt 2$
在Rt△OCD中，∵$OD=\sqrt 2，$$OC=\sqrt {10}$
∴$sin ∠ACO=\frac {OD}{OC}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt {10}}=\frac {\sqrt 5}5$