10. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}2(x - 1) - 3(x + 2) ＞ - 6,\\\dfrac{x + a}{2} ＞ 1\end{cases}$ 恰有 2 个整数解，求 $ a $ 的取值范围。
答案：10. 解不等式$2(x - 1) - 3(x + 2) ＞ -6$，得$x ＜ -2$；解不等式$\frac{x + a}{2} ＞ 1$，得$x ＞ 2 - a$. $\because$不等式组恰有$2$个整数解，$\therefore$不等式组的整数解为$-3$，$-4$. $\therefore -5\leqslant 2 - a ＜ -4$，解得$6 ＜ a\leqslant 7$
解析：
解不等式$2(x - 1) - 3(x + 2) ＞ -6$，得：
$\begin{aligned}2x - 2 - 3x - 6 &＞ -6 \\-x - 8 &＞ -6 \\-x &＞ 2 \\x &＜ -2\end{aligned}$
解不等式$\frac{x + a}{2} ＞ 1$，得：
$\begin{aligned}x + a &＞ 2 \\x &＞ 2 - a\end{aligned}$
因为不等式组恰有2个整数解，所以不等式组的解集为$2 - a ＜ x ＜ -2$，其整数解为$-3$，$-4$。
则$-5\leqslant 2 - a ＜ -4$，解得：
$\begin{aligned}-5 &\leqslant 2 - a \\a &\leqslant 7 \\2 - a &＜ -4 \\a &＞ 6\end{aligned}$
综上，$6 ＜ a\leqslant 7$。
$\begin{aligned}2x - 2 - 3x - 6 &＞ -6 \\-x - 8 &＞ -6 \\-x &＞ 2 \\x &＜ -2\end{aligned}$
解不等式$\frac{x + a}{2} ＞ 1$，得：
$\begin{aligned}x + a &＞ 2 \\x &＞ 2 - a\end{aligned}$
因为不等式组恰有2个整数解，所以不等式组的解集为$2 - a ＜ x ＜ -2$，其整数解为$-3$，$-4$。
则$-5\leqslant 2 - a ＜ -4$，解得：
$\begin{aligned}-5 &\leqslant 2 - a \\a &\leqslant 7 \\2 - a &＜ -4 \\a &＞ 6\end{aligned}$
综上，$6 ＜ a\leqslant 7$。
11. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - m ＞ 0,\\x - m ＜ 1\end{cases}$ 有解，且它的每一个解都不在 $ 2 \leqslant x \leqslant 5 $ 的范围内，则 $ m $ 的取值范围是( )
A.$ m ＜ 1 $ 或 $ m ＞ 5 $
B.$ m \leqslant 1 $ 或 $ m \geqslant 5 $
C.$ 1 ＜ m ＜ 5 $
D.$ m \leqslant 1 $
A.$ m ＜ 1 $ 或 $ m ＞ 5 $
B.$ m \leqslant 1 $ 或 $ m \geqslant 5 $
C.$ 1 ＜ m ＜ 5 $
D.$ m \leqslant 1 $
答案：11.B
解析：
解不等式组$\begin{cases}x - m ＞ 0 \\ x - m ＜ 1\end{cases}$，得$m ＜ x ＜ m + 1$。
因为不等式组有解，所以解集$m ＜ x ＜ m + 1$存在。
又因为每一个解都不在$2 \leqslant x \leqslant 5$范围内，所以分两种情况：
情况一：$m + 1 \leqslant 2$，解得$m \leqslant 1$；
情况二：$m \geqslant 5$。
综上，$m$的取值范围是$m \leqslant 1$或$m \geqslant 5$。
B
因为不等式组有解，所以解集$m ＜ x ＜ m + 1$存在。
又因为每一个解都不在$2 \leqslant x \leqslant 5$范围内，所以分两种情况：
情况一：$m + 1 \leqslant 2$，解得$m \leqslant 1$；
情况二：$m \geqslant 5$。
综上，$m$的取值范围是$m \leqslant 1$或$m \geqslant 5$。
B
12. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - a \geqslant 0,\\5 - 2x ＞ 1\end{cases}$ 无解，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______ 。
答案：12.$a\geqslant 2$
解析：
解不等式组：
1. 解$x - a \geqslant 0$，得$x \geqslant a$；
2. 解$5 - 2x ＞ 1$，移项得$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 2$；
因为不等式组无解，所以$a \geqslant 2$。
$a\geqslant 2$
1. 解$x - a \geqslant 0$，得$x \geqslant a$；
2. 解$5 - 2x ＞ 1$，移项得$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 2$；
因为不等式组无解，所以$a \geqslant 2$。
$a\geqslant 2$
13. 已知不等式组 $\begin{cases}- 3(x - 2) \leqslant a - x ①,\\\dfrac{2x + 1}{3} \geqslant x - 1 ②.\end{cases}$
（1）若该不等式组的解集为 $ 2 \leqslant x \leqslant 4 $，求 $ a $ 的值；
（2）若该不等式组无解，求 $ a $ 的取值范围。
（1）若该不等式组的解集为 $ 2 \leqslant x \leqslant 4 $，求 $ a $ 的值；
（2）若该不等式组无解，求 $ a $ 的取值范围。
答案：13.（1）解不等式①，得$x\geqslant \frac{6 - a}{2}$；解不等式②，得$x\leqslant 4$. $\because$该不等式组的解集是$2\leqslant x\leqslant 4$，$\therefore \frac{6 - a}{2} = 2$，解得$a = 2$ （2）$\because$不等式组无解，$\therefore \frac{6 - a}{2} ＞ 4$，解得$a ＜ -2$
解析：
（1）解不等式①：$-3(x - 2) \leqslant a - x$，
$-3x + 6 \leqslant a - x$，
$-3x + x \leqslant a - 6$，
$-2x \leqslant a - 6$，
$x \geqslant \frac{6 - a}{2}$。
解不等式②：$\frac{2x + 1}{3} \geqslant x - 1$，
$2x + 1 \geqslant 3(x - 1)$，
$2x + 1 \geqslant 3x - 3$，
$2x - 3x \geqslant -3 - 1$，
$-x \geqslant -4$，
$x \leqslant 4$。
因为不等式组的解集为$2 \leqslant x \leqslant 4$，所以$\frac{6 - a}{2} = 2$，解得$a = 2$。
（2）由（1）知不等式①的解集为$x \geqslant \frac{6 - a}{2}$，不等式②的解集为$x \leqslant 4$。因为不等式组无解，所以$\frac{6 - a}{2} ＞ 4$，
$6 - a ＞ 8$，
$-a ＞ 2$，
$a ＜ -2$。
$-3x + 6 \leqslant a - x$，
$-3x + x \leqslant a - 6$，
$-2x \leqslant a - 6$，
$x \geqslant \frac{6 - a}{2}$。
解不等式②：$\frac{2x + 1}{3} \geqslant x - 1$，
$2x + 1 \geqslant 3(x - 1)$，
$2x + 1 \geqslant 3x - 3$，
$2x - 3x \geqslant -3 - 1$，
$-x \geqslant -4$，
$x \leqslant 4$。
因为不等式组的解集为$2 \leqslant x \leqslant 4$，所以$\frac{6 - a}{2} = 2$，解得$a = 2$。
（2）由（1）知不等式①的解集为$x \geqslant \frac{6 - a}{2}$，不等式②的解集为$x \leqslant 4$。因为不等式组无解，所以$\frac{6 - a}{2} ＞ 4$，
$6 - a ＞ 8$，
$-a ＞ 2$，
$a ＜ -2$。
14. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 3 - 2k,\\3x + y = 1 + k\end{cases}$ 的解满足 $ x + y ＞ 0 $，且关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - 2(x - 1) \leqslant 3,\\\dfrac{2k + x}{3} \geqslant x\end{cases}$ 有解，求符合条件的整数 $ k $ 的值。
答案：14. 对于方程组$\begin{cases}x + 3y = 3 - 2k①\\3x + y = 1 + k②\end{cases}$，
由①+②，得$4x + 4y = 4 - k$. $\therefore x + y = 1 - \frac{1}{4}k$. $\because$关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 3y = 3 - 2k\\3x + y = 1 + k\end{cases}$的解满足$x + y ＞ 0$，$\therefore 1 - \frac{1}{4}k ＞ 0$，解得$k ＜ 4$.
对于不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\leqslant 3③\frac{2k + x}{3}\geqslant x④\end{cases}$，解不等式③，得$x\geqslant -1$；解不等式④，得$x\leqslant k$. $\because$关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\leqslant 3\frac{2k + x}{3}\geqslant x\end{cases}$有解，$\therefore k\geqslant -1$. 综上所述，$-1\leqslant k ＜ 4$. $\therefore$符合条件的整数$k$的值为$-1,0,1,2,3$
由①+②，得$4x + 4y = 4 - k$. $\therefore x + y = 1 - \frac{1}{4}k$. $\because$关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 3y = 3 - 2k\\3x + y = 1 + k\end{cases}$的解满足$x + y ＞ 0$，$\therefore 1 - \frac{1}{4}k ＞ 0$，解得$k ＜ 4$.
对于不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\leqslant 3③\frac{2k + x}{3}\geqslant x④\end{cases}$，解不等式③，得$x\geqslant -1$；解不等式④，得$x\leqslant k$. $\because$关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\leqslant 3\frac{2k + x}{3}\geqslant x\end{cases}$有解，$\therefore k\geqslant -1$. 综上所述，$-1\leqslant k ＜ 4$. $\therefore$符合条件的整数$k$的值为$-1,0,1,2,3$