9. 如图,把三角形ABC沿平行于BC的直线DE折叠,使点A落在边BC上的点F处.若$∠B=50^{\circ }$,则$∠BDF$的度数为
80°
.答案：9. 80°
解析：
证明：由折叠性质得，$AD=FD$，$\angle ADE=\angle FDE$。
因为$DE// BC$，所以$\angle ADE=\angle B=50^{\circ}$，则$\angle FDE=50^{\circ}$。
$\angle BDF=180^{\circ}-\angle ADE-\angle FDE=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
$80^{\circ}$
因为$DE// BC$，所以$\angle ADE=\angle B=50^{\circ}$，则$\angle FDE=50^{\circ}$。
$\angle BDF=180^{\circ}-\angle ADE-\angle FDE=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
$80^{\circ}$
10. (2025·如皋期末)如图,把一个含$45^{\circ }$角的直角三角尺放在两条平行线$m,n$上.若$∠α=132^{\circ }$,则$∠β$的度数是
]
87°
.]
答案：10. 87°
解析：
解：过三角尺的直角顶点作直线$l // m$，
因为$m // n$，所以$l // n$。
$\angle \alpha$与三角尺的$45^{\circ}$角的邻补角之和为$180^{\circ}$，
则三角尺的$45^{\circ}$角的邻补角为$180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$，
所以三角尺的$45^{\circ}$角与该邻补角的差为$48^{\circ} - 45^{\circ} = 3^{\circ}$，
$\angle \beta = 90^{\circ} - 3^{\circ} = 87^{\circ}$。
$87^{\circ}$
因为$m // n$，所以$l // n$。
$\angle \alpha$与三角尺的$45^{\circ}$角的邻补角之和为$180^{\circ}$，
则三角尺的$45^{\circ}$角的邻补角为$180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$，
所以三角尺的$45^{\circ}$角与该邻补角的差为$48^{\circ} - 45^{\circ} = 3^{\circ}$，
$\angle \beta = 90^{\circ} - 3^{\circ} = 87^{\circ}$。
$87^{\circ}$
11. (教材P19习题7.2第3题变式)(2025·湖南)如图,一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向,若第一次转弯时$∠CAB=145^{\circ }$,则$∠ABD$的度数为
]
145°
.]
答案：11. 145°
解析：
解：因为排水管两次转弯后方向相同，所以CA//BD。
又因为∠CAB与∠ABD是CA、BD被AB所截形成的内错角，
所以∠ABD=∠CAB=145°。
145°
又因为∠CAB与∠ABD是CA、BD被AB所截形成的内错角，
所以∠ABD=∠CAB=145°。
145°
12. 如图,$l_{1}// l_{2}$,且分别与$l_{3},l_{4}$相交,$∠1$与$∠2$互余,$∠3=115^{\circ }$,求$∠4$的度数.
答案：12.
∵ l₁//l₂，
∴ ∠3 + ∠1 = 180°，∠4 + ∠2 = 180°.
∵ ∠3 = 115°，
∴ ∠1 = 180°－115° = 65°.
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠2 = 90°－65° = 25°.
∴ ∠4 = 180°－∠2 = 155°
∵ l₁//l₂，
∴ ∠3 + ∠1 = 180°，∠4 + ∠2 = 180°.
∵ ∠3 = 115°，
∴ ∠1 = 180°－115° = 65°.
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠2 = 90°－65° = 25°.
∴ ∠4 = 180°－∠2 = 155°
13. (新情境·日常生活)国庆期间,小明家正在装修,他看到家里有一个两组对边分别平行的四边形框架ABCD(如图).装修师傅告诉他这个四边形框架的两组对角分别相等,即$∠A=∠C,∠B=∠D$.小明百思不得其解.你能告诉他原因吗?
]
]答案：13. 由题意，知AB//CD，AD//BC，
∴ ∠A + ∠D = 180°，∠A + ∠B = 180°.
∴ ∠B = ∠D. 同理，可得∠A = ∠C
∴ ∠A + ∠D = 180°，∠A + ∠B = 180°.
∴ ∠B = ∠D. 同理，可得∠A = ∠C
14. 如图,$AB// CD$.
(1) 如图①,若$∠CMN=90^{\circ }$,点B在射线MN上,$∠ABM=120^{\circ }$,求$∠C$的度数;
(2) 如图②,若$∠CMN=150^{\circ }$,试猜想$∠ABM$与$∠C$的数量关系,并说明理由.
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(1) 如图①,若$∠CMN=90^{\circ }$,点B在射线MN上,$∠ABM=120^{\circ }$,求$∠C$的度数;
(2) 如图②,若$∠CMN=150^{\circ }$,试猜想$∠ABM$与$∠C$的数量关系,并说明理由.
]答案：
14. (1) 如图①，过点M作MK//AB，则∠ABM + ∠KMB = 180°.
∴ ∠KMB = 180°－∠ABM = 60°.
∵ ∠CMN = 90°，
∴ ∠CMK = 90°－∠KMB = 30°.
∵ AB//CD，MK//AB，
∴ MK//CD.
∴ ∠C = ∠CMK = 30° (2) ∠ABM－∠C = 30°
理由：如图②，过点M作ME//AB，则∠ABM + ∠EMB = 180°，
∴ ∠EMB = 180°－∠ABM.
∵ AB//CD，ME//AB，
∴ ME//CD.
∴ ∠C = ∠CME.
∵ ∠CMN = ∠CME + ∠EMB = 150°，
∴ ∠C + 180°－∠ABM = 150°.
∴ ∠ABM－∠C = 30°.
14. (1) 如图①，过点M作MK//AB，则∠ABM + ∠KMB = 180°.
∴ ∠KMB = 180°－∠ABM = 60°.
∵ ∠CMN = 90°，
∴ ∠CMK = 90°－∠KMB = 30°.
∵ AB//CD，MK//AB，
∴ MK//CD.
∴ ∠C = ∠CMK = 30° (2) ∠ABM－∠C = 30°
理由：如图②，过点M作ME//AB，则∠ABM + ∠EMB = 180°，
∴ ∠EMB = 180°－∠ABM.
∵ AB//CD，ME//AB，
∴ ME//CD.
∴ ∠C = ∠CME.
∵ ∠CMN = ∠CME + ∠EMB = 150°，
∴ ∠C + 180°－∠ABM = 150°.
∴ ∠ABM－∠C = 30°.