10. 如图，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$\angle AOC = 80^{\circ}$，射线$OE$把$\angle BOD$分成两个角，且$\angle BOE:\angle EOD = 3:5$。
（1）求$\angle BOE$的度数；
（2）若过点$O$作$OF⊥ OE$，求$\angle BOF$的度数。
（1）求$\angle BOE$的度数；
（2）若过点$O$作$OF⊥ OE$，求$\angle BOF$的度数。
答案：
10.(1)
∵∠AOC = 80°,∠BOD = ∠AOC,
∴∠BOD = 80°.
∵∠BOE:∠EOD = 3:5,
∴∠BOE = $\frac{3}{3 + 5}$×80° = 30°
(2)如图,
∵OF⊥OE,
∴∠EOF = 90°.当OF在∠AOD的内部时,∠BOF = ∠EOF + ∠BOE = 90° + 30° = 120°.当OF在∠BOC的内部(即OF'处)时,∠BOF' = ∠EOF' - ∠BOE = 90° - 30° = 60°.综上所述,∠BOF的度数为60°或120°
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10.(1)
∵∠AOC = 80°,∠BOD = ∠AOC,
∴∠BOD = 80°.
∵∠BOE:∠EOD = 3:5,
∴∠BOE = $\frac{3}{3 + 5}$×80° = 30°
(2)如图,
∵OF⊥OE,
∴∠EOF = 90°.当OF在∠AOD的内部时,∠BOF = ∠EOF + ∠BOE = 90° + 30° = 120°.当OF在∠BOC的内部(即OF'处)时,∠BOF' = ∠EOF' - ∠BOE = 90° - 30° = 60°.综上所述,∠BOF的度数为60°或120°
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11. 如图，直线$AB$，$CD$，$EF$相交于点$O$，$OG⊥ CD$，$\angle BOD = 24^{\circ}$。
（1）求$\angle AOG$的度数。
（2）如果$OC$是$\angle AOE$的平分线，那么$OG$是$\angle AOF$的平分线吗？请判断并说明理由。
（1）求$\angle AOG$的度数。
（2）如果$OC$是$\angle AOE$的平分线，那么$OG$是$\angle AOF$的平分线吗？请判断并说明理由。
答案：11.(1)
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC = ∠BOD = 24°.
∵OG⊥CD,
∴∠COG = 90°,即∠AOC + ∠AOG = 90°.
∴∠AOG = 90° - ∠AOC = 90° - 24° = 66°
(2)OG是∠AOF的平分线 理由:
∵OC是∠AOE的平分线,
∴∠AOC = ∠COE.又
∵∠DOF = ∠COE,
∴∠AOC = ∠DOF.
∵OG⊥CD,
∴∠COG = ∠DOG = 90°.
∴∠COG - ∠AOC = ∠DOG - ∠DOF,即∠AOG = ∠FOG.
∴OG是∠AOF的平分线.
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC = ∠BOD = 24°.
∵OG⊥CD,
∴∠COG = 90°,即∠AOC + ∠AOG = 90°.
∴∠AOG = 90° - ∠AOC = 90° - 24° = 66°
(2)OG是∠AOF的平分线 理由:
∵OC是∠AOE的平分线,
∴∠AOC = ∠COE.又
∵∠DOF = ∠COE,
∴∠AOC = ∠DOF.
∵OG⊥CD,
∴∠COG = ∠DOG = 90°.
∴∠COG - ∠AOC = ∠DOG - ∠DOF,即∠AOG = ∠FOG.
∴OG是∠AOF的平分线.
12. （2025·海安期中）如图，点$D$，$F$在线段$AB$上，点$E$，$G$分别在线段$BC$和$AC$上，$CD// EF$，$\angle 1 = \angle 2$。
（1）求证：$DG// BC$；
（2）若$DG$是$\angle ADC$的平分线，$\angle DGC = 63^{\circ}$，$\angle DCG = 2\angle BCD + 27^{\circ}$，求$\angle B$的度数。
（1）求证：$DG// BC$；
（2）若$DG$是$\angle ADC$的平分线，$\angle DGC = 63^{\circ}$，$\angle DCG = 2\angle BCD + 27^{\circ}$，求$\angle B$的度数。
答案：12.(1)
∵CD//EF,
∴∠2 = ∠BCD.
∵∠1 = ∠2,
∴∠1 = ∠BCD.
∴DG//BC
(2)
∵DG//BC,
∴∠DGC + ∠BCG = 180°.
∵∠DGC = 63°,
∴∠BCG = 117°,即∠BCD + ∠DCG = 117°.
∵∠DCG = 2∠BCD + 27°,
∴3∠BCD + 27° = 117°.
∴∠BCD = 30°.
∵DG//BC,
∴∠1 = ∠BCD = 30°.
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠1 = ∠ADG = 30°.
∵DG//BC,
∴∠B = ∠ADG = 30°
∵CD//EF,
∴∠2 = ∠BCD.
∵∠1 = ∠2,
∴∠1 = ∠BCD.
∴DG//BC
(2)
∵DG//BC,
∴∠DGC + ∠BCG = 180°.
∵∠DGC = 63°,
∴∠BCG = 117°,即∠BCD + ∠DCG = 117°.
∵∠DCG = 2∠BCD + 27°,
∴3∠BCD + 27° = 117°.
∴∠BCD = 30°.
∵DG//BC,
∴∠1 = ∠BCD = 30°.
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠1 = ∠ADG = 30°.
∵DG//BC,
∴∠B = ∠ADG = 30°
13. （1）如图①，若$AB// DE$，$\angle B = 135^{\circ}$，$\angle D = 145^{\circ}$，求$\angle BCD$的度数。
（2）如图①，在$AB// DE$的条件下，你能得出$\angle B$，$\angle BCD$，$\angle D$之间的数量关系吗？请写出数量关系并说明理由。
（3）如图②，$AB// EF$，根据（2）中的结论，直接写出$\angle B + \angle C + \angle D + \angle E$的度数。
（2）如图①，在$AB// DE$的条件下，你能得出$\angle B$，$\angle BCD$，$\angle D$之间的数量关系吗？请写出数量关系并说明理由。
（3）如图②，$AB// EF$，根据（2）中的结论，直接写出$\angle B + \angle C + \angle D + \angle E$的度数。
答案：
13.(1)如图,过点C作CF//AB,则∠1 + ∠B = 180°.
∴∠1 = 180° - ∠B = 180° - 135° = 45°.
∵CF//AB,AB//DE,
∴CF//DE.同理,可得∠2 = 180° - ∠D = 180° - 145° = 35°.
∴∠BCD = ∠1 + ∠2 = 45° + 35° = 80°
(2)∠B + ∠BCD + ∠D = 360° 理由:如图,由(1)知CF//AB,CF//DE,
∴∠B + ∠1 = 180°,∠D + ∠2 = 180°.
∴∠B + ∠1 + ∠2 + ∠D = 360°,即∠B + ∠BCD + ∠D = 360°.
(3)∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540°
13.(1)如图,过点C作CF//AB,则∠1 + ∠B = 180°.
∴∠1 = 180° - ∠B = 180° - 135° = 45°.
∵CF//AB,AB//DE,
∴CF//DE.同理,可得∠2 = 180° - ∠D = 180° - 145° = 35°.
∴∠BCD = ∠1 + ∠2 = 45° + 35° = 80°
(2)∠B + ∠BCD + ∠D = 360° 理由:如图,由(1)知CF//AB,CF//DE,
∴∠B + ∠1 = 180°,∠D + ∠2 = 180°.
∴∠B + ∠1 + ∠2 + ∠D = 360°,即∠B + ∠BCD + ∠D = 360°.
(3)∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540°