25. （16 分）已知 $AD// BC$，$\angle BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $G$，$\angle BCD = 90^{\circ}$。
（1）如图①，求证：$\angle BAG = \angle BGA$。
（2）如图②，点 $F$ 在 $AG$ 的反向延长线上，连接 $CF$ 交 $AD$ 于点 $E$。若 $\angle BAG - \angle F = 45^{\circ}$，求证：$CF$ 平分 $\angle BCD$。
（3）如图③，线段 $AG$ 上有点 $P$，满足 $\angle ABP = 3\angle PBG$，过点 $C$ 作 $CH// AG$，交 $AD$ 于点 $H$。若在直线 $AG$ 上取一点 $M$，使 $\angle PBM = \angle DCH$，求 $\frac{\angle ABM}{\angle GBM}$ 的值。
（1）如图①，求证：$\angle BAG = \angle BGA$。
（2）如图②，点 $F$ 在 $AG$ 的反向延长线上，连接 $CF$ 交 $AD$ 于点 $E$。若 $\angle BAG - \angle F = 45^{\circ}$，求证：$CF$ 平分 $\angle BCD$。
（3）如图③，线段 $AG$ 上有点 $P$，满足 $\angle ABP = 3\angle PBG$，过点 $C$ 作 $CH// AG$，交 $AD$ 于点 $H$。若在直线 $AG$ 上取一点 $M$，使 $\angle PBM = \angle DCH$，求 $\frac{\angle ABM}{\angle GBM}$ 的值。
答案：25.(1)
∵AD//BC，
∴∠GAD=∠BGA.
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD.
∴∠BAG=∠BGA
(2)
∵易得∠BGA=∠F+∠BCF，
∴∠BGA-∠F=∠BCF.
∵∠BAG=∠BGA，
∴∠BAG-∠F=∠BCF.
∵∠BAG-∠F=45°，
∴∠BCF=45°.
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF=∠FCD=45°.
∴CF平分∠BCD
(3)有两种情况：
①当点M在BP的下方时，如图①.
∵∠ABP=3∠PBG，设∠ABP=3x，则∠PBG=x.
∴∠ABC=4x.
∵AG//CH，
∴∠BCH=∠AGB=$\frac{180°-4x}{2}$=90°-2x.
∵∠BCD=90°，
∴∠DCH=∠PBM=90°-(90°-2x)=2x.
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=2x-x=x.
∴$\frac{∠ABM}{∠GBM}$=$\frac{5x}{x}$=5.
②当点M在BP的上方时，如图②，同理，可得∠ABM=∠ABP-∠PBM=3x-2x=x，∠GBM=2x+x=3x，
∴$\frac{∠ABM}{∠GBM}$=$\frac{x}{3x}$=$\frac{1}{3}$.
综上所述，$\frac{∠ABM}{∠GBM}$的值是5或$\frac{1}{3}$.
∵AD//BC，
∴∠GAD=∠BGA.
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD.
∴∠BAG=∠BGA
(2)
∵易得∠BGA=∠F+∠BCF，
∴∠BGA-∠F=∠BCF.
∵∠BAG=∠BGA，
∴∠BAG-∠F=∠BCF.
∵∠BAG-∠F=45°，
∴∠BCF=45°.
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF=∠FCD=45°.
∴CF平分∠BCD
(3)有两种情况：
①当点M在BP的下方时，如图①.
∵∠ABP=3∠PBG，设∠ABP=3x，则∠PBG=x.
∴∠ABC=4x.
∵AG//CH，
∴∠BCH=∠AGB=$\frac{180°-4x}{2}$=90°-2x.
∵∠BCD=90°，
∴∠DCH=∠PBM=90°-(90°-2x)=2x.
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=2x-x=x.
∴$\frac{∠ABM}{∠GBM}$=$\frac{5x}{x}$=5.
②当点M在BP的上方时，如图②，同理，可得∠ABM=∠ABP-∠PBM=3x-2x=x，∠GBM=2x+x=3x，
∴$\frac{∠ABM}{∠GBM}$=$\frac{x}{3x}$=$\frac{1}{3}$.
综上所述，$\frac{∠ABM}{∠GBM}$的值是5或$\frac{1}{3}$.