新知梳理
1. 一般地，当两条直线 $a$，$b$ 相交所成的四个角中，有一个角是
2. 关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
4. 直线外一点到这条直线的
1. 一般地，当两条直线 $a$，$b$ 相交所成的四个角中，有一个角是
直角
时，我们说 $a$ 与 $b$ 互相垂直，记作“$a⊥ b$”。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足
。2. 关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点
有且只有一条直线
与已知直线垂直。3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段
最短。简单说成：垂线段最短
。4. 直线外一点到这条直线的
垂线段
的长度，叫作点到直线的距离。答案：1. 直角 垂足 2. 有且只有一条直线 3. 垂线段 垂线段最短 4. 垂线段
1. 如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE⊥ AB$。若 $\angle AOD = 150^{\circ}$，则 $\angle COE$ 的度数为(
A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
B
)A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：1. B
解析：
解：
∵直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$\angle AOD = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC = 180^{\circ}-\angle AOD = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$。
∵$OE⊥ AB$，
$\therefore \angle AOE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle COE=\angle AOE-\angle AOC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
答案：B
∵直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$\angle AOD = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC = 180^{\circ}-\angle AOD = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$。
∵$OE⊥ AB$，
$\therefore \angle AOE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle COE=\angle AOE-\angle AOC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
答案：B
2. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一家超市，现要建一个汽车站，且有点 $A$，$B$，$C$，$D$ 四处可供选择。若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在(
A.点 $A$ 处
B.点 $B$ 处
C.点 $C$ 处
D.点 $D$ 处
C
)A.点 $A$ 处
B.点 $B$ 处
C.点 $C$ 处
D.点 $D$ 处
答案：2. C
解析：
根据“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”，超市到公路的垂线段为线段$C$所在的线段，故汽车站应建在点$C$处。
C
C
3. 如图，$OA⊥ OB$，$OC⊥ OD$，垂足为 $O$，$\angle AOD = 120^{\circ}$，则 $\angle COB$ 的度数为
60°
。答案：3. 60°
解析：
解：因为 $OA ⊥ OB$，所以 $\angle AOB = 90°$。
因为 $OC ⊥ OD$，所以 $\angle COD = 90°$。
已知 $\angle AOD = 120°$，且 $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOD$，则 $\angle BOD = \angle AOD - \angle AOB = 120° - 90° = 30°$。
又因为 $\angle COD = \angle COB + \angle BOD$，所以 $\angle COB = \angle COD - \angle BOD = 90° - 30° = 60°$。
$60°$
因为 $OC ⊥ OD$，所以 $\angle COD = 90°$。
已知 $\angle AOD = 120°$，且 $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOD$，则 $\angle BOD = \angle AOD - \angle AOB = 120° - 90° = 30°$。
又因为 $\angle COD = \angle COB + \angle BOD$，所以 $\angle COB = \angle COD - \angle BOD = 90° - 30° = 60°$。
$60°$
4. 如图，$P$ 是直线 $a$ 外一点，$A$，$B$，$C$，$D$ 为直线 $a$ 上的点，$PA = 5$，$PB = 4$，$PC = 3$，$PD = 7$，则点 $P$ 到直线 $a$ 的距离的最大值为
3
。答案：4. 3
解析：
解：根据点到直线的距离定义，点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，且垂线段最短。
已知点$P$是直线$a$外一点，$A$，$B$，$C$，$D$为直线$a$上的点，$PA = 5$，$PB = 4$，$PC = 3$，$PD = 7$。
因为垂线段最短，所以点$P$到直线$a$的距离小于或等于点$P$到直线$a$上任意一点的距离。
在给出的距离中，$PC = 3$是最小的，所以点$P$到直线$a$的距离的最大值为$3$（当$PC$为垂线段时）。
故答案为：$3$
已知点$P$是直线$a$外一点，$A$，$B$，$C$，$D$为直线$a$上的点，$PA = 5$，$PB = 4$，$PC = 3$，$PD = 7$。
因为垂线段最短，所以点$P$到直线$a$的距离小于或等于点$P$到直线$a$上任意一点的距离。
在给出的距离中，$PC = 3$是最小的，所以点$P$到直线$a$的距离的最大值为$3$（当$PC$为垂线段时）。
故答案为：$3$
5. 如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OA$ 平分 $\angle EOC$，$\angle EOC = 70^{\circ}$，$OF⊥ OE$。求：
（1）$\angle BOD$ 的度数；
（2）$\angle DOF$ 的度数。
（1）$\angle BOD$ 的度数；
（2）$\angle DOF$ 的度数。
答案：5. (1) 因为 $OA$ 平分 $\angle EOC$, $\angle EOC = 70^{\circ}$, 所以 $\angle AOC = \frac{1}{2} \angle EOC = 35^{\circ}$. 所以 $\angle BOD = \angle AOC = 35^{\circ}$ (2) 因为 $OF ⊥ OE$, 所以 $\angle EOF = 90^{\circ}$. 因为 $\angle EOC = 70^{\circ}$, 所以 $\angle DOF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$
解析：
(1) 因为 $OA$ 平分 $\angle EOC$，$\angle EOC = 70°$，所以 $\angle AOC = \frac{1}{2}\angle EOC = 35°$。又因为 $\angle BOD$ 与 $\angle AOC$ 是对顶角，所以 $\angle BOD = \angle AOC = 35°$。
(2) 因为 $OF ⊥ OE$，所以 $\angle EOF = 90°$。直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，所以 $\angle EOC + \angle EOF + \angle DOF = 180°$（平角定义）。因为 $\angle EOC = 70°$，所以 $\angle DOF = 180° - \angle EOC - \angle EOF = 180° - 70° - 90° = 20°$。
(2) 因为 $OF ⊥ OE$，所以 $\angle EOF = 90°$。直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，所以 $\angle EOC + \angle EOF + \angle DOF = 180°$（平角定义）。因为 $\angle EOC = 70°$，所以 $\angle DOF = 180° - \angle EOC - \angle EOF = 180° - 70° - 90° = 20°$。