新知梳理
1. 含有
2. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行
1. 含有
三
个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三
个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.2. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行
消元
，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次
方程组，进而转化为解一元一次方程.答案：1.三 三 2.消元 二元一次
1. 方程组$\begin{cases}3x + 4z = 7,\\2x + y + z = 9,\\3x - 3y + 7z = - 2\end{cases}$的解是( )
A.$\begin{cases}x = 5,\\y = - 1,\\z = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 5,\\y = 1,\\z = - 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = - 5,\\y = 1,\\z = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 0,\\z = 3\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 5,\\y = - 1,\\z = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 5,\\y = 1,\\z = - 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = - 5,\\y = 1,\\z = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 0,\\z = 3\end{cases}$
答案：1.B
解析：
解：
$\begin{cases}3x + 4z = 7 \quad①\\2x + y + z = 9 \quad②\\3x - 3y + 7z = - 2 \quad③\end{cases}$
由②得：$y=9-2x-z \quad④$
将④代入③：$3x - 3(9-2x-z) + 7z = -2$
化简得：$9x + 10z = 25 \quad⑤$
①×3：$9x + 12z = 21 \quad⑥$
⑥-⑤：$2z=-4$，解得$z=-2$
将$z=-2$代入①：$3x + 4(-2)=7$，解得$x=5$
将$x=5,z=-2$代入④：$y=9-2×5-(-2)=1$
方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\\z=-2\end{cases}$
答案：B
$\begin{cases}3x + 4z = 7 \quad①\\2x + y + z = 9 \quad②\\3x - 3y + 7z = - 2 \quad③\end{cases}$
由②得：$y=9-2x-z \quad④$
将④代入③：$3x - 3(9-2x-z) + 7z = -2$
化简得：$9x + 10z = 25 \quad⑤$
①×3：$9x + 12z = 21 \quad⑥$
⑥-⑤：$2z=-4$，解得$z=-2$
将$z=-2$代入①：$3x + 4(-2)=7$，解得$x=5$
将$x=5,z=-2$代入④：$y=9-2×5-(-2)=1$
方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\\z=-2\end{cases}$
答案：B
2. 在等式$y = ax^{2} + bx + c$中，当$x = 0$时，$y = 2$，当$x = - 1$时，$y = 0$，当$x = 2$时，$y = 12$，则$a + b + c$的值为(
A.4
B.5
C.6
D.8
C
)A.4
B.5
C.6
D.8
答案：2.C
解析：
当$x = 0$时，$y = 2$，代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$c = 2$；
当$x=-1$时，$y = 0$，代入得：$a×(-1)^{2}+b×(-1)+c=0$，即$a - b + c=0$；
当$x = 2$时，$y = 12$，代入得：$a×2^{2}+b×2 + c=12$，即$4a + 2b + c=12$；
将$c = 2$代入$a - b + c=0$，得$a - b=-2$；
将$c = 2$代入$4a + 2b + c=12$，得$4a + 2b=10$，化简为$2a + b=5$；
联立$\begin{cases}a - b=-2\\2a + b=5\end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a = 1$；
将$a = 1$代入$a - b=-2$，得$1 - b=-2$，解得$b = 3$；
所以$a=1$，$b = 3$，$c=2$，则$a + b + c=1 + 3 + 2=6$。
C
当$x=-1$时，$y = 0$，代入得：$a×(-1)^{2}+b×(-1)+c=0$，即$a - b + c=0$；
当$x = 2$时，$y = 12$，代入得：$a×2^{2}+b×2 + c=12$，即$4a + 2b + c=12$；
将$c = 2$代入$a - b + c=0$，得$a - b=-2$；
将$c = 2$代入$4a + 2b + c=12$，得$4a + 2b=10$，化简为$2a + b=5$；
联立$\begin{cases}a - b=-2\\2a + b=5\end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a = 1$；
将$a = 1$代入$a - b=-2$，得$1 - b=-2$，解得$b = 3$；
所以$a=1$，$b = 3$，$c=2$，则$a + b + c=1 + 3 + 2=6$。
C
3. 已知$a$，$b$，$c$满足$\begin{cases}a + 2b + 3c = 10,\\3a + 2b + c = 70,\end{cases}$则$a + b + c=$ ______ .
答案：3.20
解析：
解：已知$\begin{cases}a + 2b + 3c = 10,\\3a + 2b + c = 70,\end{cases}$
将两式相加得：$(a + 2b + 3c) + (3a + 2b + c) = 10 + 70$
即$4a + 4b + 4c = 80$
两边同时除以$4$得：$a + b + c = 20$
20
将两式相加得：$(a + 2b + 3c) + (3a + 2b + c) = 10 + 70$
即$4a + 4b + 4c = 80$
两边同时除以$4$得：$a + b + c = 20$
20
4. 方程组$\begin{cases}x + y - z = 11,\\y + z - x = 5,\\z + x - y = 1\end{cases}$的解为 ______ .
答案：4.$\begin{cases} x = 6, \\ y = 8, \\ z = 3 \end{cases}$
解析：
解：将三个方程相加得：$x + y - z + y + z - x + z + x - y = 11 + 5 + 1$，化简得$x + y + z = 17$。
用$x + y + z = 17$分别减去原方程组中的每个方程：
$x + y + z - (x + y - z) = 17 - 11$，得$2z = 6$，解得$z = 3$；
$x + y + z - (y + z - x) = 17 - 5$，得$2x = 12$，解得$x = 6$；
$x + y + z - (z + x - y) = 17 - 1$，得$2y = 16$，解得$y = 8$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 6, \\ y = 8, \\ z = 3 \end{cases}$。
用$x + y + z = 17$分别减去原方程组中的每个方程：
$x + y + z - (x + y - z) = 17 - 11$，得$2z = 6$，解得$z = 3$；
$x + y + z - (y + z - x) = 17 - 5$，得$2x = 12$，解得$x = 6$；
$x + y + z - (z + x - y) = 17 - 1$，得$2y = 16$，解得$y = 8$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 6, \\ y = 8, \\ z = 3 \end{cases}$。
5. 解方程组：$\begin{cases}a - 2b + 4c = 12,\\3a + 2b + c = 1,\\4a - c = 7.\end{cases}$
答案：5.$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1 \end{cases}$
解析：
解：$\begin{cases}a - 2b + 4c = 12, \quad①\\3a + 2b + c = 1, \quad②\\4a - c = 7. \quad③\end{cases}$
由③得$c = 4a - 7$，④
①+②得$4a + 5c = 13$，⑤
将④代入⑤：$4a + 5(4a - 7) = 13$
$4a + 20a - 35 = 13$
$24a = 48$
$a = 2$
将$a = 2$代入④：$c = 4×2 - 7 = 1$
将$a = 2$，$c = 1$代入②：$3×2 + 2b + 1 = 1$
$6 + 2b + 1 = 1$
$2b = -6$
$b = -3$
$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1 \end{cases}$
由③得$c = 4a - 7$，④
①+②得$4a + 5c = 13$，⑤
将④代入⑤：$4a + 5(4a - 7) = 13$
$4a + 20a - 35 = 13$
$24a = 48$
$a = 2$
将$a = 2$代入④：$c = 4×2 - 7 = 1$
将$a = 2$，$c = 1$代入②：$3×2 + 2b + 1 = 1$
$6 + 2b + 1 = 1$
$2b = -6$
$b = -3$
$\begin{cases} a = 2, \\ b = -3, \\ c = 1 \end{cases}$