1. (2024·南通一模)如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA = OC$，$AB// CD$，则添加下列一个条件能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的为(
A.$AC = BD$
B.$\angle ADB=\angle CDB$
C.$\angle ABC=\angle DCB$
D.$AD = BC$
B
)A.$AC = BD$
B.$\angle ADB=\angle CDB$
C.$\angle ABC=\angle DCB$
D.$AD = BC$
答案：1.B
解析：
证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle OAB = \angle OCD$，$\angle OBA = \angle ODC$。
又
∵ $OA = OC$，
∴ $\triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS），
∴ $AB = CD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
选项B：
∵ $\angle ADB = \angle CDB$，$AB // CD$，
∴ $\angle CDB = \angle ABD$，
∴ $\angle ADB = \angle ABD$，
∴ $AD = AB$，
∴ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
选项A：$AC = BD$ 时，平行四边形 $ABCD$ 是矩形，不符合题意。
选项C：$\angle ABC = \angle DCB$，结合 $AB // CD$ 可得 $\angle ABC = \angle DCB = 90°$，平行四边形 $ABCD$ 是矩形，不符合题意。
选项D：$AD = BC$ 是平行四边形的性质，无法判定为菱形，不符合题意。
综上，能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的条件为B。
答案：B
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle OAB = \angle OCD$，$\angle OBA = \angle ODC$。
又
∵ $OA = OC$，
∴ $\triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS），
∴ $AB = CD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
选项B：
∵ $\angle ADB = \angle CDB$，$AB // CD$，
∴ $\angle CDB = \angle ABD$，
∴ $\angle ADB = \angle ABD$，
∴ $AD = AB$，
∴ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
选项A：$AC = BD$ 时，平行四边形 $ABCD$ 是矩形，不符合题意。
选项C：$\angle ABC = \angle DCB$，结合 $AB // CD$ 可得 $\angle ABC = \angle DCB = 90°$，平行四边形 $ABCD$ 是矩形，不符合题意。
选项D：$AD = BC$ 是平行四边形的性质，无法判定为菱形，不符合题意。
综上，能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的条件为B。
答案：B
2. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，将 $\triangle ABC$ 沿边 $BC$ 翻折，得到的 $\triangle DBC$ 与原来的 $\triangle ABC$ 拼成四边形 $ABDC$，则能直接判定四边形 $ABDC$ 是菱形的依据为(
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
)A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答案：2.B
解析：
∵在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，将$\triangle ABC$沿边$BC$翻折得到$\triangle DBC$，
∴$DB=AB$，$DC=AC$，
∵$AB = AC$，
∴$AB=AC=DB=DC$，
∴四边形$ABDC$四条边相等，
根据四条边相等的四边形是菱形，可判定四边形$ABDC$是菱形。
B
3. 如图，将 $\triangle ABC$ 沿着 $BC$ 方向平移得到 $\triangle DEF$，只需添加一个条件即可判定四边形 $ABED$ 是菱形，这个条件可以是
答案不唯一,如AB=AD
(写出一个即可).答案：3.答案不唯一,如AB=AD
4. (2025·海门二模)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 5$，$AO = 4$，$BO = 3$. 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
答案：4.
∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB²=AO²+BO².
∴△OAB 是直角三角形，且∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.又
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形
∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB²=AO²+BO².
∴△OAB 是直角三角形，且∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.又
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形
5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是边 $BC$ 上的中线，点 $E$ 在 $DA$ 的延长线上，连接 $BE$，过点 $C$ 作 $CF// BE$，交 $AD$ 的延长线于点 $F$，连接 $BF$，$CE$. 求证：四边形 $BECF$ 是菱形.
答案：5.
∵AB=AC,AD是边BC上的中线，
∴AD垂直平分BC.
∴EB=EC,FB=FC.
∵CF//BE,
∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.
∵DB=DC,
∴△EBD≌△FCD.
∴EB=FC.
∴EB=BF=FC=EC.
∴四边形BECF是菱形
∵AB=AC,AD是边BC上的中线，
∴AD垂直平分BC.
∴EB=EC,FB=FC.
∵CF//BE,
∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.
∵DB=DC,
∴△EBD≌△FCD.
∴EB=FC.
∴EB=BF=FC=EC.
∴四边形BECF是菱形
6. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$CE// BD$，$DE// AC$，$AD = 2\sqrt{3}$，$DE = 2$，则四边形 $OCED$ 的面积为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
A
)A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
答案：6.A
解析：
证明：
∵ $CE // BD$，$DE // AC$，
∴ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。
∵ 矩形 $ABCD$ 对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，
∴ $OC = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，且 $AC = BD$，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形 $OCED$ 是菱形，$OC = OD = DE = 2$，
∴ $AC = 2OC = 4$。
在 $Rt\triangle ADC$ 中，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2$。
过点 $O$ 作 $OF ⊥ CD$ 于 $F$，
∵ $OC = OD$，$OF ⊥ CD$，
∴ $CF = \frac{1}{2}CD = 1$，
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
∴ 菱形 $OCED$ 的面积 $= CD · OF = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
答案：A
∵ $CE // BD$，$DE // AC$，
∴ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。
∵ 矩形 $ABCD$ 对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，
∴ $OC = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，且 $AC = BD$，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形 $OCED$ 是菱形，$OC = OD = DE = 2$，
∴ $AC = 2OC = 4$。
在 $Rt\triangle ADC$ 中，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2$。
过点 $O$ 作 $OF ⊥ CD$ 于 $F$，
∵ $OC = OD$，$OF ⊥ CD$，
∴ $CF = \frac{1}{2}CD = 1$，
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
∴ 菱形 $OCED$ 的面积 $= CD · OF = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
答案：A