1. 如图，在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上取点 $E$，使得 $AE = AB$，连接 $BE$，则 $\angle CBE$ 的度数为(
A.$22.5^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
A
)A.$22.5^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：1.A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，对角线$AC$平分$\angle BAD$和$\angle BCD$，
∴$\angle BAC=45^{\circ}$。
∵$AE=AB$，
∴$\triangle ABE$是等腰三角形，$\angle ABE=\angle AEB$。
在$\triangle ABE$中，$\angle BAC+\angle ABE+\angle AEB=180^{\circ}$，
即$45^{\circ}+2\angle ABE=180^{\circ}$，
解得$\angle ABE=67.5^{\circ}$。
∵$\angle ABC=90^{\circ}$，
∴$\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。
A
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，对角线$AC$平分$\angle BAD$和$\angle BCD$，
∴$\angle BAC=45^{\circ}$。
∵$AE=AB$，
∴$\triangle ABE$是等腰三角形，$\angle ABE=\angle AEB$。
在$\triangle ABE$中，$\angle BAC+\angle ABE+\angle AEB=180^{\circ}$，
即$45^{\circ}+2\angle ABE=180^{\circ}$，
解得$\angle ABE=67.5^{\circ}$。
∵$\angle ABC=90^{\circ}$，
∴$\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。
A
2. (2025·启东期中)如图，在边长为3的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，以点 $D$ 为圆心，$DC$ 长为半径画弧，交线段 $DE$ 于点 $F$。若 $EF = EB$，则 $CE$ 的长为(
A.2
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{17}{8}$
D.$\dfrac{9}{4}$
D
)A.2
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{17}{8}$
D.$\dfrac{9}{4}$
答案：2.D
解析：
解：设$CE = x$，则$EB = 3 - x$，$EF = EB = 3 - x$。
因为四边形$ABCD$是正方形，边长为$3$，所以$DC = 3$，$BC = 3$，$\angle DCE = 90°$。
以$D$为圆心，$DC$为半径画弧交$DE$于$F$，则$DF = DC = 3$，所以$DE = DF + EF = 3 + (3 - x) = 6 - x$。
在$Rt\triangle DCE$中，由勾股定理得：$DE^2 = DC^2 + CE^2$，即$(6 - x)^2 = 3^2 + x^2$。
展开得：$36 - 12x + x^2 = 9 + x^2$，化简得：$-12x = -27$，解得$x = \dfrac{9}{4}$。
故$CE$的长为$\dfrac{9}{4}$。
答案：D
因为四边形$ABCD$是正方形，边长为$3$，所以$DC = 3$，$BC = 3$，$\angle DCE = 90°$。
以$D$为圆心，$DC$为半径画弧交$DE$于$F$，则$DF = DC = 3$，所以$DE = DF + EF = 3 + (3 - x) = 6 - x$。
在$Rt\triangle DCE$中，由勾股定理得：$DE^2 = DC^2 + CE^2$，即$(6 - x)^2 = 3^2 + x^2$。
展开得：$36 - 12x + x^2 = 9 + x^2$，化简得：$-12x = -27$，解得$x = \dfrac{9}{4}$。
故$CE$的长为$\dfrac{9}{4}$。
答案：D
3. (2024·常州)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于原点 $O$。若点 $A$ 的坐标是 $(2,1)$，则点 $C$ 的坐标是
(-2,-1)
。答案：3.(-2,-1)
解析：
解：
∵正方形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于原点$O$，
∴点$A$与点$C$关于原点对称。
∵点$A$的坐标是$(2,1)$，
∴点$C$的坐标是$(-2,-1)$。
$(-2,-1)$
∵正方形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于原点$O$，
∴点$A$与点$C$关于原点对称。
∵点$A$的坐标是$(2,1)$，
∴点$C$的坐标是$(-2,-1)$。
$(-2,-1)$
4. 如图，在正方形 $ABCD$ 的外侧，作等边三角形 $ADE$，$AC$，$BE$ 相交于点 $F$，则 $\angle AFE=$_________$^{\circ}$。
答案：4.60
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$\angle BAD=90°$，$\angle BAC=45°$。
∵$\triangle ADE$是等边三角形，
∴$AD=AE$，$\angle DAE=60°$。
∴$AB=AE$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE=90°+60°=150°$。
∴$\angle ABE=\angle AEB=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
在$\triangle AFB$中，$\angle AFB=180°-\angle BAC-\angle ABE=180°-45°-15°=120°$。
∵$\angle AFE+\angle AFB=180°$，
∴$\angle AFE=180°-120°=60°$。
$60$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$\angle BAD=90°$，$\angle BAC=45°$。
∵$\triangle ADE$是等边三角形，
∴$AD=AE$，$\angle DAE=60°$。
∴$AB=AE$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE=90°+60°=150°$。
∴$\angle ABE=\angle AEB=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
在$\triangle AFB$中，$\angle AFB=180°-\angle BAC-\angle ABE=180°-45°-15°=120°$。
∵$\angle AFE+\angle AFB=180°$，
∴$\angle AFE=180°-120°=60°$。
$60$
5. 如图，$P$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上一点，连接 $PB$，$PD$，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $PE = PB$。
(1) 求证：$PE = PD$；
(2) 试判断 $PE$ 与 $PD$ 的位置关系，并证明你的结论。
(1) 求证：$PE = PD$；
(2) 试判断 $PE$ 与 $PD$ 的位置关系，并证明你的结论。
答案：5.(1)
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD.在△PBC和△PDC中，$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠PCB=∠PCD, \\ PC=PC, \end{cases}$
∴△PBC≌△PDC.
∴PB=PD.
∵PE=PB，
∴PE=PD (2)PE⊥PD
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°.由(1)知，△PBC≌△PDC，且PE=PB，
∴∠PBC=∠PDC，∠PBC=∠PEB.
∴∠PDC=∠PEB.
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°.
∴∠EPD=360°-(∠PDC+∠PEC)-∠BCD=360°-180°-90°=90°.
∴PE⊥PD
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD.在△PBC和△PDC中，$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠PCB=∠PCD, \\ PC=PC, \end{cases}$
∴△PBC≌△PDC.
∴PB=PD.
∵PE=PB，
∴PE=PD (2)PE⊥PD
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°.由(1)知，△PBC≌△PDC，且PE=PB，
∴∠PBC=∠PDC，∠PBC=∠PEB.
∴∠PDC=∠PEB.
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°.
∴∠EPD=360°-(∠PDC+∠PEC)-∠BCD=360°-180°-90°=90°.
∴PE⊥PD
6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别为 $AO$，$DO$ 上的点，且 $EF// AD$，连接 $AF$，$DE$。若 $\angle FAC = 15^{\circ}$，则 $\angle AED$ 的度数为(
A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$115^{\circ}$
C
)A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$115^{\circ}$
答案：6.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥ BD$，$\angle OAD = 45°$，$AD// BC$，$OA = OD$。
∵$EF// AD$，
∴$\triangle OEF∼\triangle OAD$，$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OD}$，
又
∵$OA = OD$，
∴$OE = OF$，
∴$\angle OEF=\angle OFE = 45°$。
∵$\angle FAC = 15°$，$\angle OAD = 45°$，
∴$\angle FAD=\angle OAD-\angle FAC = 45° - 15°=30°$。
∵$AD// EF$，
∴$\angle AFE=\angle FAD = 30°$。
在$\triangle AEF$中，$\angle AEF = 180°-\angle EAF-\angle AFE=180° - 15° - 30°=135°$。
∵$\angle OEF = 45°$，
∴$\angle AED=\angle AEF-\angle OEF=135° - 45°=105°$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥ BD$，$\angle OAD = 45°$，$AD// BC$，$OA = OD$。
∵$EF// AD$，
∴$\triangle OEF∼\triangle OAD$，$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OD}$，
又
∵$OA = OD$，
∴$OE = OF$，
∴$\angle OEF=\angle OFE = 45°$。
∵$\angle FAC = 15°$，$\angle OAD = 45°$，
∴$\angle FAD=\angle OAD-\angle FAC = 45° - 15°=30°$。
∵$AD// EF$，
∴$\angle AFE=\angle FAD = 30°$。
在$\triangle AEF$中，$\angle AEF = 180°-\angle EAF-\angle AFE=180° - 15° - 30°=135°$。
∵$\angle OEF = 45°$，
∴$\angle AED=\angle AEF-\angle OEF=135° - 45°=105°$。
答案：C
7. (2025·崇川期中)如图，$O$ 为正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 的中点，连接 $OD$ 并延长至点 $E$，连接 $AE$，$CE$。若 $\triangle ACE$ 为等边三角形，$AB = 2$，则 $DE$ 的长为(
A.$\sqrt{6}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.2
C
)A.$\sqrt{6}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.2
答案：7.C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=2$，
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$O$为$AC$中点，
∴$AO=OC=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$，且$OD⊥ AC$（正方形对角线互相垂直平分）。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD=2$，$AO=\sqrt{2}$，
∴$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
∵$\triangle ACE$为等边三角形，$AC=2\sqrt{2}$，
∴$EO⊥ AC$（等边三角形三线合一），且$EO=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$。
∵点$D$在$OE$上，
∴$DE=EO-OD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
答案：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=2$，
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$O$为$AC$中点，
∴$AO=OC=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$，且$OD⊥ AC$（正方形对角线互相垂直平分）。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD=2$，$AO=\sqrt{2}$，
∴$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
∵$\triangle ACE$为等边三角形，$AC=2\sqrt{2}$，
∴$EO⊥ AC$（等边三角形三线合一），且$EO=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$。
∵点$D$在$OE$上，
∴$DE=EO-OD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
答案：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$