1. 下列说法中，正确的是(
A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的四边形是正方形
A
)A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的四边形是正方形
答案：1.A
2. 已知矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，下列条件中能判定四边形 $ABCD$ 是正方形的是(
A.$OA = OC$
B.$OA = OB$
C.$AB⊥ BC$
D.$OA⊥ OB$
D
)A.$OA = OC$
B.$OA = OB$
C.$AB⊥ BC$
D.$OA⊥ OB$
答案：2.D
3. 如图，$D$，$E$，$F$ 分别是 $\triangle ABC$ 各边的中点，连接 $DE$，$DA$，$DF$，下列说法错误的是(
A.四边形 $AEDF$ 是平行四边形
B.若 $AB⊥ AC$，则四边形 $AEDF$ 是矩形
C.若 $AB = AC$，则四边形 $AEDF$ 是菱形
D.若 $AD$ 平分 $\angle BAC$，则四边形 $AEDF$ 是正方形
D
)A.四边形 $AEDF$ 是平行四边形
B.若 $AB⊥ AC$，则四边形 $AEDF$ 是矩形
C.若 $AB = AC$，则四边形 $AEDF$ 是菱形
D.若 $AD$ 平分 $\angle BAC$，则四边形 $AEDF$ 是正方形
答案：3.D
解析：
证明：
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DF//AB，且DE=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AB．
选项A：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，A正确．
选项B：
若AB⊥AC，则∠EAF=90°，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是矩形，B正确．
选项C：
若AB=AC，则$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，即DF=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是菱形，C正确．
选项D：
若AD平分∠BAC，无法直接得出AB=AC且AB⊥AC，
∴四边形AEDF不一定是正方形，D错误．
答案：D
∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DF//AB，且DE=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AB．
选项A：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，A正确．
选项B：
若AB⊥AC，则∠EAF=90°，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是矩形，B正确．
选项C：
若AB=AC，则$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，即DF=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是菱形，C正确．
选项D：
若AD平分∠BAC，无法直接得出AB=AC且AB⊥AC，
∴四边形AEDF不一定是正方形，D错误．
答案：D
4. (2024·海安期中)如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，再添加一个条件，使得四边形 $ABCD$ 是正方形，这个条件可以是
]
答案不唯一,如AB=AD
(写出一个条件即可)。]
答案：4.答案不唯一,如AB=AD
5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BA = BC$，对角线 $BD$ 平分 $\angle ABC$，$P$ 是 $BD$ 上一点，过点 $P$ 作 $PM⊥ AD$，$PN⊥ CD$，垂足分别为 $M$，$N$。
（1）求证：$\angle ADB = \angle CDB$；
（2）若 $\angle ADC = 90^{\circ}$，求证：四边形 $MPND$ 是正方形。
（1）求证：$\angle ADB = \angle CDB$；
（2）若 $\angle ADC = 90^{\circ}$，求证：四边形 $MPND$ 是正方形。
答案：5.(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中，$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD.
∴∠ADB=∠CDB (2)
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.又
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形.由(1)，知∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°.
∵∠PMD=90°,
∴∠MPD=45°.
∴∠ADB=∠MPD=45°.
∴MD=MP.
∴四边形MPND是正方形
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中，$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD.
∴∠ADB=∠CDB (2)
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.又
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形.由(1)，知∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°.
∵∠PMD=90°,
∴∠MPD=45°.
∴∠ADB=∠MPD=45°.
∴MD=MP.
∴四边形MPND是正方形
6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = DC$，$AC$，$BD$ 交于点 $O$。添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，有下列说法：① 添加“$AB// CD$”，则四边形 $ABCD$ 是菱形；② 添加“$\angle BAD = 90^{\circ}$”，则四边形 $ABCD$ 是矩形；③ 添加“$OA = OC$”，则四边形 $ABCD$ 是菱形；④ 添加“$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$”，则四边形 $ABCD$ 是正方形。其中，错误的有(
A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个
B
)A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个
答案：6.B
解析：
证明：
在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$BC=DC$，
$\therefore AC$垂直平分$BD$（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上），即$AC ⊥ BD$，$OB=OD$。
① 添加“$AB // CD$”
$\because AB // CD$，$\therefore \angle OAB = \angle OCD$。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，
$\begin{cases} \angle OAB = \angle OCD \\ \angle AOB = \angle COD \\ OB = OD \end{cases}$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS），$\therefore AB=CD$。
$\because AB // CD$且$AB=CD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$AB=AD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。①正确。
② 添加“$\angle BAD = 90°$”
仅$AB=AD$，$BC=DC$，$\angle BAD=90°$，无法证明$ABCD$是平行四边形，故不一定是矩形。②错误。
③ 添加“$OA=OC$”
$\because OA=OC$，$OB=OD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$AC ⊥ BD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。③正确。
④ 添加“$\angle ABC = \angle BCD = 90°$”
$\because \angle ABC = \angle BCD = 90°$，$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
由①知$AB=CD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because \angle ABC=90°$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形。
又$AB=AD$，$\therefore$矩形$ABCD$是正方形。④正确。
综上，错误的说法有1个。
答案：B
在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$BC=DC$，
$\therefore AC$垂直平分$BD$（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上），即$AC ⊥ BD$，$OB=OD$。
① 添加“$AB // CD$”
$\because AB // CD$，$\therefore \angle OAB = \angle OCD$。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，
$\begin{cases} \angle OAB = \angle OCD \\ \angle AOB = \angle COD \\ OB = OD \end{cases}$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS），$\therefore AB=CD$。
$\because AB // CD$且$AB=CD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$AB=AD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。①正确。
② 添加“$\angle BAD = 90°$”
仅$AB=AD$，$BC=DC$，$\angle BAD=90°$，无法证明$ABCD$是平行四边形，故不一定是矩形。②错误。
③ 添加“$OA=OC$”
$\because OA=OC$，$OB=OD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$AC ⊥ BD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。③正确。
④ 添加“$\angle ABC = \angle BCD = 90°$”
$\because \angle ABC = \angle BCD = 90°$，$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
由①知$AB=CD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because \angle ABC=90°$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形。
又$AB=AD$，$\therefore$矩形$ABCD$是正方形。④正确。
综上，错误的说法有1个。
答案：B