1. 如图,在四边形 ABCD 中,$∠BAD=90^{\circ },∠DCB=90^{\circ }$,E,F 分别是 BD,AC 的中点.
（1）猜想 EF 与 AC 之间的位置关系,并证明；
（2）当$AC=8,BD=10$时,求 EF 的长.
（1）猜想 EF 与 AC 之间的位置关系,并证明；
（2）当$AC=8,BD=10$时,求 EF 的长.
答案：1.(1)EF⊥AC 连接AE,CE.
∵∠BAD = 90°,E是BD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$BD.
∵∠DCB = 90°,E是BD的中点，
∴CE = $\frac{1}{2}$BD.
∴AE = CE.
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC
(2)
∵BD = 10,∠BAD = ∠DCB = 90°,
∴AE = CE = $\frac{1}{2}$BD = 5.
∵AC = 8,F是AC的中点，
∴CF = $\frac{1}{2}$AC = 4.
∵EF⊥AC，
∴∠CFE = 90°.
∴在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF = $\sqrt{CE^{2} - CF^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3
∵∠BAD = 90°,E是BD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$BD.
∵∠DCB = 90°,E是BD的中点，
∴CE = $\frac{1}{2}$BD.
∴AE = CE.
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC
(2)
∵BD = 10,∠BAD = ∠DCB = 90°,
∴AE = CE = $\frac{1}{2}$BD = 5.
∵AC = 8,F是AC的中点，
∴CF = $\frac{1}{2}$AC = 4.
∵EF⊥AC，
∴∠CFE = 90°.
∴在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF = $\sqrt{CE^{2} - CF^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3
2. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,BC 的中点,连接 AF,DE,N,M 分别为 AF,DE 的中点,连接 MN.若$MN=1$,则 DE 的长为
(
A.$\sqrt {6}$
B.$\sqrt {10}$
C.$3\sqrt {2}$
D.$2\sqrt {2}$
(
B
)A.$\sqrt {6}$
B.$\sqrt {10}$
C.$3\sqrt {2}$
D.$2\sqrt {2}$
答案：
2.B 解析:如图，连接AM并延长，交DC于点G，连接GF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = DC = BC,AB//DC,∠C = ∠DAE = 90°.
∴∠MEA = ∠MDG.
∵M为DE的中点，
∴ME = DM.在△MAE和△MGD中，$\begin{cases} \angle EMA = \angle DMG, \\ ME = MD, \\ \angle MEA = \angle MDG \end{cases}$
∴△MAE≌△MGD.
∴AE = GD,MA = MG.又
∵N为AF的中点，M为AG的中点，
∴GF = 2MN = 2.
∵E,F分别为边AB,BC的中点，
∴AE = EB = BF = FC.
∵AE = GD,
∴易得G为DC的中点.
∴GC = CF.
∴△GCF为等腰直角三角形.
∴易得GC = CF = $\sqrt{2}$.
∴AE = DG = CG = $\sqrt{2}$,AD = CD = 2$\sqrt{2}$.在Rt△ADE中，DE = $\sqrt{AE^{2} + AD^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2})^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
2.B 解析:如图，连接AM并延长，交DC于点G，连接GF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = DC = BC,AB//DC,∠C = ∠DAE = 90°.
∴∠MEA = ∠MDG.
∵M为DE的中点，
∴ME = DM.在△MAE和△MGD中，$\begin{cases} \angle EMA = \angle DMG, \\ ME = MD, \\ \angle MEA = \angle MDG \end{cases}$
∴△MAE≌△MGD.
∴AE = GD,MA = MG.又
∵N为AF的中点，M为AG的中点，
∴GF = 2MN = 2.
∵E,F分别为边AB,BC的中点，
∴AE = EB = BF = FC.
∵AE = GD,
∴易得G为DC的中点.
∴GC = CF.
∴△GCF为等腰直角三角形.
∴易得GC = CF = $\sqrt{2}$.
∴AE = DG = CG = $\sqrt{2}$,AD = CD = 2$\sqrt{2}$.在Rt△ADE中，DE = $\sqrt{AE^{2} + AD^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2})^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
3. 如图,在$\triangle ABC$中,BD 平分$∠ABC$,过点 C 作$CD⊥BD$于点 D,E 是边 AC 的中点,连接 DE.若$DE=2,BC=10$,则 AB 的长为
6
.答案：3.6
解析：
证明：延长CD交AB于点F。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDF和△BDC中，
$\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CBD\\ BD=BD\\ ∠BDF=∠BDC\end{array} $，
∴△BDF≌△BDC(ASA)，
∴BF=BC=10，DF=DC。
∵E是边AC的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF。
∵DE=2，
∴AF=4，
∴AB=BF-AF=10-4=6。
6
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDF和△BDC中，
$\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CBD\\ BD=BD\\ ∠BDF=∠BDC\end{array} $，
∴△BDF≌△BDC(ASA)，
∴BF=BC=10，DF=DC。
∵E是边AC的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF。
∵DE=2，
∴AF=4，
∴AB=BF-AF=10-4=6。
6
4. 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且$AC=BD$,E,F 分别是 AB,CD 的中点,连接 EF 分别交 BD,AC 于点 G,H.求证:$OG=OH$.
答案：
4.如图，取BC的中点M，连接EM,FM.
∵M,F分别是BC，CD的中点，
∴MF//BD,MF = $\frac{1}{2}$BD.同理，可得ME//AC，ME = $\frac{1}{2}$AC.
∵AC = BD,
∴ME = MF.
∴∠MEF = ∠MFE.
∵MF//BD,
∴∠MFE = ∠OGH.同理,可得∠MEF = ∠OHG.
∴∠OGH = ∠OHG.
∴OG = OH
4.如图，取BC的中点M，连接EM,FM.
∵M,F分别是BC，CD的中点，
∴MF//BD,MF = $\frac{1}{2}$BD.同理，可得ME//AC，ME = $\frac{1}{2}$AC.
∵AC = BD,
∴ME = MF.
∴∠MEF = ∠MFE.
∵MF//BD,
∴∠MFE = ∠OGH.同理,可得∠MEF = ∠OHG.
∴∠OGH = ∠OHG.
∴OG = OH
5. 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=AC$,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的中线,BD 与 CE 相交于点 O,M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点,连接 ED,DN,NM,ME. 求证:四边形 EDNM 是矩形.
答案：5.
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴AD = $\frac{1}{2}$AC,AE = $\frac{1}{2}$AB,则易得ED是△ABC的中位线.
∴ED//BC,ED = $\frac{1}{2}$BC.
∵M,N分别为线段BO和CO的中点，
∴OM = BM,ON = CN,MN是△OBC的中位线.
∴MN//BC,MN = $\frac{1}{2}$BC.
∴ED//MN,ED = MN.
∴四边形EDNM是平行四边形.
∴OE = ON,OD = OM.
∵AB = AC,
∴AE = AD.在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle A = \angle A, \\ AD = AE \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE.
∴BD = CE.又
∵OD = OM,OM = BM,OE = ON,ON = CN,
∴易得DM = EN.
∴四边形EDNM是矩形
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴AD = $\frac{1}{2}$AC,AE = $\frac{1}{2}$AB,则易得ED是△ABC的中位线.
∴ED//BC,ED = $\frac{1}{2}$BC.
∵M,N分别为线段BO和CO的中点，
∴OM = BM,ON = CN,MN是△OBC的中位线.
∴MN//BC,MN = $\frac{1}{2}$BC.
∴ED//MN,ED = MN.
∴四边形EDNM是平行四边形.
∴OE = ON,OD = OM.
∵AB = AC,
∴AE = AD.在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle A = \angle A, \\ AD = AE \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE.
∴BD = CE.又
∵OD = OM,OM = BM,OE = ON,ON = CN,
∴易得DM = EN.
∴四边形EDNM是矩形