1. (2025·无锡校级月考)式子$\frac{1}{2x^{2}y}$，$\frac{1}{6xy^{2}}$的最简公分母是(
A.$6xy^{2}$
B.$2x^{2}y^{2}$
C.$12x^{3}y^{2}$
D.$6x^{2}y^{2}$
D
)A.$6xy^{2}$
B.$2x^{2}y^{2}$
C.$12x^{3}y^{2}$
D.$6x^{2}y^{2}$
答案：1. D 解析:根据最简公分母的概念可知,最简公分母为6x²y²,故选D.
2. 若将分式$\frac{3m}{m + n}$与$\frac{n}{2(m - n)}$通分，则分式$\frac{3m}{m + n}$的分子应变为(
A.$6m^{2} - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + n)$
A
)A.$6m^{2} - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + n)$
答案：2. A 解析:$\frac {3m}{m+n}$与$\frac {n}{2(m-n)}$的最简公分母是$2(m+n)(m-n),$所以分式$\frac {3m}{m+n}$的分子分母同时乘$2(m-n)$,则变形后分子应为$6m(m-n)=6m^{2}-6mn$,故选A.
3. 分式$\frac{2}{x^{2} - 4}$与$\frac{3}{4 - 2x}$的最简公分母是(
A.$(x + 2)(x - 2)$
B.$2(x + 2)(x - 2)$
C.$2(2 - x)$
D.$(x^{2} - 4)(4 - 2x)$
B
)A.$(x + 2)(x - 2)$
B.$2(x + 2)(x - 2)$
C.$2(2 - x)$
D.$(x^{2} - 4)(4 - 2x)$
答案：3. B 解析:$x^{2}-4=(x+2)(x-2),4-2x=-2(x-2),$
∴ 两式的最简公分母为$2(x+2)(x-2)$.故选 B.
∴ 两式的最简公分母为$2(x+2)(x-2)$.故选 B.
4. 新趋势 开放性试题 若两个分母不同的分式的最简公分母是$2(x + 1)^{2}$，则这两个分式可以是
$\frac {1}{(x+1)^{2}}$和$\frac {1}{2(x+1)}$(答案不唯一)
。答案：4.$\frac {1}{(x+1)^{2}}$和$\frac {1}{2(x+1)}$(答案不唯一) 解析:根据最简公分母的概念选择合适的分式即可.
解析：
$\frac{1}{(x+1)^{2}}$和$\frac{1}{2(x+1)}$(答案不唯一)
5. (1)$\frac{1}{ab}$，$-\frac{b}{5a^{3}}$，$\frac{1}{6abc}$的最简公分母是
$30a^{3}bc$
；答案：5. (1)$30a^{3}bc$
(2)分式$\frac{1}{2x^{2}}$，$\frac{5x - 1}{4(m - n)}$，$\frac{3}{x}$的最简公分母是
$4x^{2}(m - n)$
；答案：(2)$4x^{2}(m-n)$
(3)分式$\frac{1}{m^{2} + mn}$，$\frac{2}{n^{2} - m^{2}}$，$\frac{1}{m^{2} + n^{2}}$的最简公分母是
$m(m^{2}+n^{2})(n^{2}-m^{2})$
。答案：(3)$m(m^{2}+n^{2})(n^{2}-m^{2})$
6. 教材变式 通分：
(1)$\frac{3c}{2ab^{2}}$，$-\frac{a}{8bc^{2}}$；
(2)$\frac{y}{2x^{2}}$，$\frac{5}{6xy^{2}z}$，$\frac{4c}{3xy}$；
(3)$\frac{1}{(2 - x)^{2}}$，$\frac{x}{(x + 2)(x - 2)}$；
(4)$\frac{y}{x(x - y)^{2}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}$；
(5)$\frac{1}{x^{2} + x}$，$\frac{-1}{x^{2} + 2x + 1}$；
(6)$\frac{x + 1}{x}$，$\frac{x}{2x + 6}$，$\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$。
(1)$\frac{3c}{2ab^{2}}$，$-\frac{a}{8bc^{2}}$；
(2)$\frac{y}{2x^{2}}$，$\frac{5}{6xy^{2}z}$，$\frac{4c}{3xy}$；
(3)$\frac{1}{(2 - x)^{2}}$，$\frac{x}{(x + 2)(x - 2)}$；
(4)$\frac{y}{x(x - y)^{2}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}$；
(5)$\frac{1}{x^{2} + x}$，$\frac{-1}{x^{2} + 2x + 1}$；
(6)$\frac{x + 1}{x}$，$\frac{x}{2x + 6}$，$\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$。
答案：6. (1)$\frac {12c^{3}}{8ab^{2}c^{2}},-\frac {a^{2}b}{8ab^{2}c^{2}}$. (2)$\frac {3y^{3}z}{6x^{2}y^{2}z},\frac {5x}{6x^{2}y^{2}z},\frac {8cxyz}{6x^{2}y^{2}z}.$(3)$\frac {x+2}{(x-2)^{2}(x+2)},\frac {x(x-2)}{(x-2)^{2}(x+2)}.$(4)$\frac {y(x-y)}{x(x-y)^{3}},-\frac {x^{2}}{x(x-y)^{3}}$. (5)$\frac {x+1}{x(x+1)^{2}},-\frac {x}{x(x+1)^{2}}.$(6)$\frac {2(x+1)(x+3)(x-3)}{2x(x+3)(x-3)},\frac {x^{2}(x-3)}{2x(x+3)(x-3)},\frac {2x(x-1)}{2x(x+3)(x-3)}.$
解析：
(1)最简公分母是$8ab^{2}c^{2}$，$\frac{3c}{2ab^{2}}=\frac{3c · 4c^{2}}{2ab^{2} · 4c^{2}}=\frac{12c^{3}}{8ab^{2}c^{2}}$，$-\frac{a}{8bc^{2}}=-\frac{a · ab}{8bc^{2} · ab}=-\frac{a^{2}b}{8ab^{2}c^{2}}$。
(2)最简公分母是$6x^{2}y^{2}z$，$\frac{y}{2x^{2}}=\frac{y · 3y^{2}z}{2x^{2} · 3y^{2}z}=\frac{3y^{3}z}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{5}{6xy^{2}z}=\frac{5 · x}{6xy^{2}z · x}=\frac{5x}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{4c}{3xy}=\frac{4c · 2xyz}{3xy · 2xyz}=\frac{8cxyz}{6x^{2}y^{2}z}$。
(3)最简公分母是$(x-2)^{2}(x+2)$，$\frac{1}{(2 - x)^{2}}=\frac{1}{(x - 2)^{2}}=\frac{x + 2}{(x - 2)^{2}(x + 2)}$，$\frac{x}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)(x - 2)}=\frac{x(x - 2)}{(x - 2)^{2}(x + 2)}$。
(4)最简公分母是$x(x - y)^{3}$，$\frac{y}{x(x - y)^{2}}=\frac{y(x - y)}{x(x - y)^{2}(x - y)}=\frac{y(x - y)}{x(x - y)^{3}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}=\frac{x}{-(x - y)^{3}}=-\frac{x}{(x - y)^{3}}=-\frac{x · x}{x(x - y)^{3}}=-\frac{x^{2}}{x(x - y)^{3}}$。
(5)最简公分母是$x(x + 1)^{2}$，$\frac{1}{x^{2} + x}=\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)(x + 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$，$\frac{-1}{x^{2} + 2x + 1}=\frac{-1}{(x + 1)^{2}}=\frac{-1 · x}{x(x + 1)^{2}}=-\frac{x}{x(x + 1)^{2}}$。
(6)最简公分母是$2x(x + 3)(x - 3)$，$\frac{x + 1}{x}=\frac{(x + 1) · 2(x + 3)(x - 3)}{x · 2(x + 3)(x - 3)}=\frac{2(x + 1)(x + 3)(x - 3)}{2x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x}{2x + 6}=\frac{x}{2(x + 3)}=\frac{x · x(x - 3)}{2(x + 3) · x(x - 3)}=\frac{x^{2}(x - 3)}{2x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x - 1}{x^{2} - 9}=\frac{x - 1}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{(x - 1) · 2x}{(x + 3)(x - 3) · 2x}=\frac{2x(x - 1)}{2x(x + 3)(x - 3)}$。
(2)最简公分母是$6x^{2}y^{2}z$，$\frac{y}{2x^{2}}=\frac{y · 3y^{2}z}{2x^{2} · 3y^{2}z}=\frac{3y^{3}z}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{5}{6xy^{2}z}=\frac{5 · x}{6xy^{2}z · x}=\frac{5x}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{4c}{3xy}=\frac{4c · 2xyz}{3xy · 2xyz}=\frac{8cxyz}{6x^{2}y^{2}z}$。
(3)最简公分母是$(x-2)^{2}(x+2)$，$\frac{1}{(2 - x)^{2}}=\frac{1}{(x - 2)^{2}}=\frac{x + 2}{(x - 2)^{2}(x + 2)}$，$\frac{x}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)(x - 2)}=\frac{x(x - 2)}{(x - 2)^{2}(x + 2)}$。
(4)最简公分母是$x(x - y)^{3}$，$\frac{y}{x(x - y)^{2}}=\frac{y(x - y)}{x(x - y)^{2}(x - y)}=\frac{y(x - y)}{x(x - y)^{3}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}=\frac{x}{-(x - y)^{3}}=-\frac{x}{(x - y)^{3}}=-\frac{x · x}{x(x - y)^{3}}=-\frac{x^{2}}{x(x - y)^{3}}$。
(5)最简公分母是$x(x + 1)^{2}$，$\frac{1}{x^{2} + x}=\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)(x + 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$，$\frac{-1}{x^{2} + 2x + 1}=\frac{-1}{(x + 1)^{2}}=\frac{-1 · x}{x(x + 1)^{2}}=-\frac{x}{x(x + 1)^{2}}$。
(6)最简公分母是$2x(x + 3)(x - 3)$，$\frac{x + 1}{x}=\frac{(x + 1) · 2(x + 3)(x - 3)}{x · 2(x + 3)(x - 3)}=\frac{2(x + 1)(x + 3)(x - 3)}{2x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x}{2x + 6}=\frac{x}{2(x + 3)}=\frac{x · x(x - 3)}{2(x + 3) · x(x - 3)}=\frac{x^{2}(x - 3)}{2x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x - 1}{x^{2} - 9}=\frac{x - 1}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{(x - 1) · 2x}{(x + 3)(x - 3) · 2x}=\frac{2x(x - 1)}{2x(x + 3)(x - 3)}$。
7. 把$\frac{1}{x - 2}$，$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}$，$\frac{2}{(x + 3)^{2}}$通分的过程中，不正确的是(
A.最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^{2}$
B.$\frac{1}{x - 2} = \frac{(x + 3)^{2}}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
C.$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
D.$\frac{2}{(x + 3)^{2}} = \frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
D
)A.最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^{2}$
B.$\frac{1}{x - 2} = \frac{(x + 3)^{2}}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
C.$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
D.$\frac{2}{(x + 3)^{2}} = \frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
答案：7. D 解析:$\frac {2}{(x+3)^{2}}=\frac {2x-4}{(x-2)(x+3)^{2}}$,D选项错误,故选 D.
8. 把$\frac{-1}{3a + 6}$，$\frac{2}{a^{2} + 2a + 1}$，$\frac{a}{a^{2} + 3a + 2}$通分后，各分式的分子之和为(
A.$2a^{2} + 7a + 11$
B.$a^{2} + 8a + 10$
C.$2a^{2} + 4a + 4$
D.$4a^{2} + 11a + 13$
A
)A.$2a^{2} + 7a + 11$
B.$a^{2} + 8a + 10$
C.$2a^{2} + 4a + 4$
D.$4a^{2} + 11a + 13$
答案：8. A 解析:由题意知,最简公分母为$3(a+1)^{2}(a+2)$,通分得$\frac {-1}{3a+6}=\frac {-(a+1)^{2}}{3(a+1)^{2}(a+2)},\frac {2}{a^{2}+2a+1}=\frac {6(a+2)}{3(a+1)^{2}(a+2)},$$\frac {a}{a^{2}+3a+2}=\frac {3a(a+1)}{3(a+1)^{2}(a+2)}$,所以把$\frac {-1}{3a+6},\frac {2}{a^{2}+2a+1},\frac {a}{a^{2}+3a+2}$通分后,各分式的分子之和为$-(a+1)^{2}+6(a+2)+3a(a+1)=2a^{2}+7a+11$,故选 A.
9. 已知分式$\frac{2}{3x^{2} - 12}$，$\frac{1}{x - 2}$，其中$m$是这两个分式中分母的公因式，$n$是这两个分式的最简公分母，且$\frac{n}{m} = 8$，则$x =$
$\frac {2}{3}$
。答案：9.$\frac {2}{3}$解析:$\because \frac {2}{3x^{2}-12}=\frac {2}{3(x+2)(x-2)},\therefore m=x-2,n=3(x+$$2)(x-2)$.由$\frac {n}{m}=8$,得$\frac {3(x+2)(x-2)}{x-2}=8$,即$3(x+2)=8,$$\therefore x=\frac {2}{3}.$
解析：
解：$\because \frac{2}{3x^{2}-12}=\frac{2}{3(x+2)(x-2)}$，
$\therefore$公因式$m = x - 2$，最简公分母$n = 3(x + 2)(x - 2)$。
由$\frac{n}{m}=8$，得$\frac{3(x + 2)(x - 2)}{x - 2}=8$，
即$3(x + 2)=8$，
解得$x=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$
$\therefore$公因式$m = x - 2$，最简公分母$n = 3(x + 2)(x - 2)$。
由$\frac{n}{m}=8$，得$\frac{3(x + 2)(x - 2)}{x - 2}=8$，
即$3(x + 2)=8$，
解得$x=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$