7. (2025·吉安模拟)为了练习分式的化简,张老师让同学们在分式 $\frac{a^2}{a - 2}$ 和 $\frac{4a - 4}{2 - a}$ 中间加上“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”四个运算符号中的任意一个后进行化简,若化简的结果为 $a - 2$,则所加的运算符号为(
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
A
)A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案：7. A 解析：A.$\frac{a^{2}}{a - 2}+\frac{4a - 4}{2 - a}=\frac{a^{2}-4a + 4}{a - 2}=\frac{(a - 2)^{2}}{a - 2}=a - 2$，符合题意；B.$\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{4a - 4}{2 - a}=\frac{a^{2}+4a - 4}{a - 2}$，不符合题意；C.$\frac{a^{2}}{a - 2}× \frac{4a - 4}{2 - a}=-\frac{4a^{2}(a - 1)}{(a - 2)^{2}}$，不符合题意；D.$\frac{a^{2}}{a - 2}÷ \frac{4a - 4}{2 - a}=\frac{a^{2}}{a - 2}· \frac{-(a - 2)}{4a - 4}=\frac{a^{2}}{4 - 4a}$，不符合题意. 故选A.
8. 已知 $x^2 - 5x + 1 = 0$,则代数式 $2x^2 + \frac{1}{x^2} - 5x + 6$ 的值是
$28$
.答案：8. 28 解析：$\because x^{2}-5x + 1 = 0$，$\therefore x^{2}-5x=-1$，$x - 5+\frac{1}{x}=0$，$\therefore x+\frac{1}{x}=5$，$\therefore 2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5x + 6=(x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}})+(x^{2}-5x)+4=(x+\frac{1}{x})^{2}+(-1)+4=5^{2}+(-1)+4=25+(-1)+4=28$.
9. 填空：
$(1) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) · ab =$
(2) ()
$(1) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) · ab =$
$\frac{a^{2}b^{2}}{b - a}$
.(2) ()
$a + 1$
$- \frac{3}{a - 1}) · \frac{2a - 2}{a + 2} = 2a - 4.$答案：9. (1)$\frac{a^{2}b^{2}}{b - a}$ 解析：原式$=\frac{a + b}{ab}÷ \frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}· ab=\frac{a + b}{ab}· \frac{a^{2}b^{2}}{(b + a)(b - a)}· ab=\frac{a^{2}b^{2}}{b - a}$.
(2)$a + 1$ 解析：$(2a - 4)÷ \frac{2a - 2}{a + 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1}$，$\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1}+\frac{3}{a - 1}=\frac{a^{2}-1}{a - 1}=a + 1$，则应填$a + 1$.
(2)$a + 1$ 解析：$(2a - 4)÷ \frac{2a - 2}{a + 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1}$，$\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1}+\frac{3}{a - 1}=\frac{a^{2}-1}{a - 1}=a + 1$，则应填$a + 1$.
10. 一块麦田有 $a$ 公顷,甲收割机单独收割完这块麦田用 $b$ 小时,乙收割机单独收割完这块麦田比甲收割机多用 $1$ 小时,这两台收割机同时收割这块麦田需要
$\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$
小时完成.答案：10. $\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$ 解析：由题意，得$a÷ (\frac{a}{b}+\frac{a}{b + 1})=a÷ [\frac{a(b + 1)+ab}{b(b + 1)}]=a· \frac{b(b + 1)}{a(2b + 1)}=\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$，即两台收割机同时收割这块麦田需要$\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$小时完成.
解析：
甲收割机的工作效率为$\frac{a}{b}$公顷/小时，乙收割机单独收割完需要$b + 1$小时，其工作效率为$\frac{a}{b + 1}$公顷/小时。
两台收割机同时工作的效率和为$\frac{a}{b}+\frac{a}{b + 1}$，则同时收割所需时间为：
$\begin{aligned}a÷(\frac{a}{b}+\frac{a}{b + 1})&=a÷[\frac{a(b + 1)+ab}{b(b + 1)}]\\&=a÷[\frac{ab + a + ab}{b(b + 1)}]\\&=a÷[\frac{a(2b + 1)}{b(b + 1)}]\\&=a×\frac{b(b + 1)}{a(2b + 1)}\\&=\frac{b(b + 1)}{2b + 1}\end{aligned}$
$\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$
两台收割机同时工作的效率和为$\frac{a}{b}+\frac{a}{b + 1}$，则同时收割所需时间为：
$\begin{aligned}a÷(\frac{a}{b}+\frac{a}{b + 1})&=a÷[\frac{a(b + 1)+ab}{b(b + 1)}]\\&=a÷[\frac{ab + a + ab}{b(b + 1)}]\\&=a÷[\frac{a(2b + 1)}{b(b + 1)}]\\&=a×\frac{b(b + 1)}{a(2b + 1)}\\&=\frac{b(b + 1)}{2b + 1}\end{aligned}$
$\frac{b(b + 1)}{2b + 1}$
11. (2024·眉山中考)已知 $a_1 = x + 1$ ($x ≠ 0$ 且 $x ≠ -1$), $a_2 = \frac{1}{1 - a_1}$, $a_3 = \frac{1}{1 - a_2}$, $···$, $a_n = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$,则 $a_{2024}$ 的值为
$-\frac{1}{x}$
.答案：11. $-\frac{1}{x}$ 解析：$\because a_{1}=x + 1$，$\therefore a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}=\frac{1}{1-(x + 1)}=-\frac{1}{x}$，$\therefore a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{x}{x + 1}$，$\therefore a_{4}=\frac{1}{1 - a_{3}}=\frac{1}{1-\frac{x}{x + 1}}=\frac{1}{\frac{1}{x + 1}}=x + 1$，$\therefore a_{5}=-\frac{1}{x}$，$a_{6}=\frac{x}{x + 1}$，$···$，由上可得，每三个为一个循环.$\because 2024 = 674× 3 + 2$，$\therefore a_{2024}=-\frac{1}{x}$.
12. (1) 先化简,再求值: $(\frac{x + 2}{x^2 - 2x} - \frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4}) ÷ \frac{x - 4}{x}$,其中 $x$ 满足 $(x - 1)(x - 3) = 1$.
答案：12. (1)$(\frac{x + 2}{x^{2}-2x}-\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4})÷ \frac{x - 4}{x}=[\frac{x + 2}{x(x - 2)}-\frac{x - 1}{(x - 2)^{2}}]÷ \frac{x - 4}{x}=\frac{(x + 2)(x - 2)-x(x - 1)}{x(x - 2)^{2}}÷ \frac{x - 4}{x}=\frac{x - 4}{x(x - 2)^{2}}· \frac{x}{x - 4}=\frac{1}{(x - 2)^{2}}$.$\because (x - 1)· (x - 3)=1$，$\therefore x^{2}-4x=-2$，$\therefore$原式$=\frac{1}{(x - 2)^{2}}=\frac{1}{x^{2}-4x + 4}=\frac{1}{-2 + 4}=\frac{1}{2}$.
(2) (梧州中考)解不等式组 $\begin{cases}3x - 6 ≤ x, \\ \frac{4x + 5}{10} ＜ \frac{x + 1}{2} \end{cases}$ 并求出它的整数解,再化简代数式 $\frac{x + 3}{x^2 - 2x + 1} · (\frac{x}{x + 3} - \frac{x - 3}{x^2 - 9})$,从上述整数解中选择一个合适的数,求此代数式的值.
答案：(2)解不等式$3x - 6≤ x$，得$x≤ 3$，解不等式$\frac{4x + 5}{10}＜ \frac{x + 1}{2}$，得$x＞ 0$，则不等式组的解集为$0＜ x≤ 3$，$\therefore$不等式组的整数解为1，2，3. 原式$=\frac{x + 3}{(x - 1)^{2}}· [\frac{x^{2}-3x}{(x + 3)(x - 3)}-\frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)}]=\frac{x + 3}{(x - 1)^{2}}· \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{1}{x - 1}$.$\because x≠ \pm 3$和1，$\therefore x = 2$，则原式$=1$.
13. 已知 $M = (1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^2 - 1} - (x - 1)$, $N = (\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) · \frac{x^2 - 1}{x} + 2$,且 $x ≠ \pm 1$, $0$.小刚和小军在对上述式子进行化简后,小刚说不论 $x$ ($x ≠ \pm 1$, $0$)取何值,$M$ 的值都比 $N$ 的值大;小军说不论 $x$ ($x ≠ \pm 1$, $0$)取何值,$N$ 的值都比 $M$ 的值大.请你判断他们谁的结论正确,并说明理由.
答案：13. 小刚的结论正确，理由：$\because M=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}· (x - 1)(x + 1)-(x - 1)=x(x + 1)-(x - 1)=x^{2}+1$，$N=\frac{3x - x}{x + 1}· \frac{(x - 1)(x + 1)}{x}+2=2(x - 1)+2=2x$，$\therefore M - N=x^{2}+1 - 2x=(x - 1)^{2}$. 又$x≠ 1$，$\therefore M - N＞ 0$，即$M＞ N$，$\therefore$小刚的结论正确，即不论$x(x≠ \pm 1,0)$取何值，$M$的值都比$N$的值大.
解析：
小刚的结论正确，理由：
$\because M=(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{1}{x^2-1}-(x-1)$
$=\frac{x-1+1}{x-1}·(x-1)(x+1)-(x-1)$
$=x(x+1)-(x-1)$
$=x^2+x-x+1$
$=x^2+1$，
$N=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x+1})·\frac{x^2-1}{x}+2$
$=\frac{2x}{x+1}·\frac{(x-1)(x+1)}{x}+2$
$=2(x-1)+2$
$=2x-2+2$
$=2x$，
$\therefore M-N=x^2+1-2x=(x-1)^2$，
又$x≠1$，$\therefore (x-1)^2＞0$，即$M-N＞0$，
$\therefore M＞N$，
故小刚的结论正确.
$\because M=(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{1}{x^2-1}-(x-1)$
$=\frac{x-1+1}{x-1}·(x-1)(x+1)-(x-1)$
$=x(x+1)-(x-1)$
$=x^2+x-x+1$
$=x^2+1$，
$N=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x+1})·\frac{x^2-1}{x}+2$
$=\frac{2x}{x+1}·\frac{(x-1)(x+1)}{x}+2$
$=2(x-1)+2$
$=2x-2+2$
$=2x$，
$\therefore M-N=x^2+1-2x=(x-1)^2$，
又$x≠1$，$\therefore (x-1)^2＞0$，即$M-N＞0$，
$\therefore M＞N$，
故小刚的结论正确.