答案：1. 原式 $ = 1 - \frac{2x}{x + 2} · \frac{(x + 2)^2}{2x(x - 2)} = 1 - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 2 - x - 2}{x - 2} = \frac{-4}{x - 2} $，
∵ 分式有意义，
∴ $ x ≠ 2, 0, -2 $，
∴ $ x = -1 $ 或 $ x = 1 $。当 $ x = -1 $ 时，原式 $ = \frac{-4}{-1 - 2} = \frac{4}{3} $；当 $ x = 1 $ 时，原式 $ = \frac{-4}{1 - 2} = 4 $。

答案：2. (1) -7 解析：
∵ $ x ≠ 0, y ≠ 0 $，
∴ $ xy ≠ 0 $。将 $ x^2 + 7xy + y^2 = 0 $ 两边都除以 $ xy $，得 $ \frac{x}{y} + 7 + \frac{y}{x} = 0 $，即 $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = -7 $。
(2) 1 解析：
∵ $ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 $，
∴ $ \frac{b + 2a}{ab} = 1 $，
∴ $ b + 2a = ab $，即 $ ab - a = b + a $。
∴ $ \frac{ab - a}{a + b} = \frac{b + a}{b + a} = 1 $。

答案：3. 原式 $ = \frac{x - 2}{x} · \frac{x + 2}{x - 2} \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x + 2}{x} - \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{4}{x^2 + 2x} $。
∵ $ x^2 + 2x - 15 = 0 $，
∴ $ x^2 + 2x = 15 $，
∴ 原式 $ = \frac{4}{15} $。

答案：4.
∵ $ a, b, c $ 是正数，且满足 $ a + b + c = 9 $，
∴ $ a = 9 - b - c $，$ b = 9 - a - c $，$ c = 9 - a - b $，
∴ 原式 $ = \frac{9 - b - c}{b + c} + \frac{9 - a - c}{c + a} + \frac{9 - a - b}{a + b} = \frac{9}{b + c} + \frac{9}{c + a} + \frac{9}{a + b} - 3 = 9 × \frac{10}{9} - 3 = 7 $。

答案：5. (1) 12 解析：
∵ $ ( a + \frac{1}{a} )^2 = 4^2 $，
∴ $ a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 16 $，
∴ $ a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = 12 $，即 $ ( a - \frac{1}{a} )^2 = 12 $。
(2) $ \frac{1}{11} $ 解析：将 $ x - \frac{1}{x} = 3 $ 两边平方得 $ ( x - \frac{1}{x} )^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 9 $，即 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 11 $，则原式 $ = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{11} $。

答案：6. (1) $ \sqrt{5} $ 解析：
∵ $ a^2 + b^2 = 3ab $，
∴ $ (a + b)^2 = 5ab $，$ (a - b)^2 = ab $。
∵ $ a ＞ b ＞ 0 $，
∴ $ \frac{a + b}{a - b} ＞ 0 $，
∴ $ \frac{a + b}{a - b} = \sqrt{\frac{(a + b)^2}{(a - b)^2}} = \sqrt{\frac{5ab}{ab}} = \sqrt{5} $。
(2) 3 或 -7 解析：
∵ $ a^2 + \frac{1}{a^2} = 23 $，
∴ $ ( a + \frac{1}{a} )^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 25 $，
∴ $ a + \frac{1}{a} = \pm 5 $，
∴ 原式的值为 3 或 -7。

答案：7. 22 解析：
∵ $ m^2 - 5m + 1 = 0 $，
∴ $ m - 5 + \frac{1}{m} = 0 $，$ 5m = m^2 + 1 $，
∴ $ m + \frac{1}{m} = 5 $，
∴ $ 2m^2 - 5m + \frac{1}{m^2} = 2m^2 - m^2 - 1 + \frac{1}{m^2} = m^2 + \frac{1}{m^2} - 1 = ( m + \frac{1}{m} )^2 - 3 = 5^2 - 3 = 25 - 3 = 22 $。

答案：8. $ \frac{1}{13} $ 解析：
∵ $ x + \frac{1}{x + 1} = 9 $，
∴ $ x + 1 ≠ 0 $，即 $ x ≠ -1 $，
∴ $ x + 1 + \frac{1}{x + 1} = 10 $。
∵ $ \frac{x^2 + 5x + 5}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1}{x + 1} = x + 1 + \frac{1}{x + 1} + 3 = 10 + 3 = 13 $，
∴ $ \frac{x + 1}{x^2 + 5x + 5} = \frac{1}{13} $。

答案：9. 将已知的三个分式分别取倒数，得 $ \frac{a + b}{ab} = 3 $，$ \frac{b + c}{bc} = 4 $，$ \frac{c + a}{ca} = 5 $，即 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3 $，$ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4 $，$ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} = 5 $，将以上三式相加并整理，得 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 6 $，通分，得 $ \frac{ab + bc + ca}{abc} = 6 $，即 $ \frac{abc}{ab + bc + ca} = \frac{1}{6} $。

答案：10. $ \frac{1}{5} $ 解析：设 $ m = 2k $，$ n = 3k (k ≠ 0) $，则 $ \frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n} - \frac{n^2}{m^2 - n^2} = \frac{2k}{2k - 3k} + \frac{2k}{2k + 3k} - \frac{(3k)^2}{(2k)^2 - (3k)^2} = -2 + \frac{2}{5} + \frac{9}{5} = \frac{1}{5} $。

答案：11. $ -\frac{10}{7} $ 解析：设 $ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = a $，则有 $ x = 2a $，$ y = 3a $，$ z = 5a $。
∵ $ 2x + y ≠ 0 $，
∴ 把 $ x = 2a $，$ y = 3a $ 代入 $ 2x + y ≠ 0 $，可得 $ 4a + 3a ≠ 0 $，解得 $ a ≠ 0 $，
∴ 把 $ x = 2a $，$ y = 3a $，$ z = 5a $ 代入 $ \frac{x + y - 3z}{2x + y} $，可得 $ \frac{2a + 3a - 15a}{4a + 3a} = \frac{-10a}{7a} = -\frac{10}{7} $。

答案：12. 设 $ \frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{a + c}{b} = k $，则 $ b + c = ka $ ①，$ a + c = kb $ ②，$ a + b = kc $ ③，① + ② + ③，得 $ 2(a + b + c) = k(a + b + c) $，若 $ a + b + c ≠ 0 $，则 $ k = 2 $，
∴ $ \frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc} = \frac{kc · ka · kb}{abc} = k^3 = 8 $；若 $ a + b + c = 0 $，则 $ a + b = -c $，$ b + c = -a $，$ a + c = -b $，
∴ $ \frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc} = \frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} = -1 $。