一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1. 下列各式$\frac{x - y}{3},\frac{a}{2x - 1},\frac{x}{π + 1},-\frac{3a}{b},\frac{2}{4},\frac{1}{2}x + y,\frac{2}{x - 2}=\frac{1}{x + 3}$中，分式的个数为(
A.5
B.4
C.3
D.2
1. 下列各式$\frac{x - y}{3},\frac{a}{2x - 1},\frac{x}{π + 1},-\frac{3a}{b},\frac{2}{4},\frac{1}{2}x + y,\frac{2}{x - 2}=\frac{1}{x + 3}$中，分式的个数为(
D
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案：1. D 解析:$\frac{a}{2x - 1},-\frac{3a}{b}$为分式,个数为2,故选D.
2. (扬州中考改编)不论$x$取何值，下列分式的值不可能为 0 的是(
A.$\frac{x - 2}{x + 2}$
B.$\frac{1 - x}{x^{2} + 1}$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 1}$
C
)A.$\frac{x - 2}{x + 2}$
B.$\frac{1 - x}{x^{2} + 1}$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 1}$
答案：2. C 解析:当分式的分子为0且分母不为0时,分式的值为0,则分式$\frac{1}{x + 1}$的值不可能是0,故选C.
3. (2025·连云港期中)若$\frac{4 - ☆}{x - 2}$表示的是一个最简分式，则☆可以是(
A.4
B.$x$
C.$2x$
D.$x^{2}$
B
)A.4
B.$x$
C.$2x$
D.$x^{2}$
答案：3. B 解析:当☆=4时,原式=0,不是最简分式;当☆=x时,原式=$\frac{4 - x}{x - 2}$,是最简分式;当☆=2x时,原式=$\frac{4 - 2x}{x - 2}=-2$,不是最简分式;当☆=$x^{2}$时,原式=$\frac{4 - x^{2}}{x - 2}=\frac{-(x + 2)(x - 2)}{x - 2}=-x - 2$,不是最简分式.故选B.
4. (2025·绥化中考)用$A$，$B$两种货车运输化工原料，$A$货车比$B$货车每小时多运输 15 吨，$A$货车运输 450 吨所用时间与$B$货车运输 300 吨所用时间相等。若设$B$货车每小时运输化工原料$x$吨，则可列方程为(
A.$\frac{300}{15 + x}=\frac{450}{x}$
B.$\frac{300}{15 - x}=\frac{450}{x}$
C.$\frac{450}{15 + x}=\frac{300}{x}$
D.$\frac{450}{15 - x}=\frac{300}{x}$
C
)A.$\frac{300}{15 + x}=\frac{450}{x}$
B.$\frac{300}{15 - x}=\frac{450}{x}$
C.$\frac{450}{15 + x}=\frac{300}{x}$
D.$\frac{450}{15 - x}=\frac{300}{x}$
答案：4. C 解析:由题意知B货车每小时运输化工原料x吨,则A货车每小时运输化工原料$(15 + x)$吨,$\because$A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等,$\therefore\frac{450}{15 + x}=\frac{300}{x}$,故选C.
5. (2025·秦皇岛期末)用$\frac{m + 2}{m - 2}$替换分式$\frac{n - 1}{n + 1}$中的$n$后，经过化简结果是(
A.$\frac{2}{m}$
B.$2m$
C.$\frac{m}{2}$
D.$\frac{1}{2m}$
A
)A.$\frac{2}{m}$
B.$2m$
C.$\frac{m}{2}$
D.$\frac{1}{2m}$
答案：5. A 解析:用$\frac{m + 2}{m - 2}$替换分式$\frac{n - 1}{n + 1}$中的n后,得$\frac{n - 1}{n + 1}=(\frac{m + 2}{m - 2}-1)÷(\frac{m + 2}{m - 2}+1)=\frac{4}{m - 2}÷\frac{2m}{m - 2}=\frac{2}{m}$.故选A.
技法点拨 当分式的分母或分子本身就是一个分式时,此时式子的复杂程度较高,可以将其转化为分式的除法,降低式子的复杂程度,分步运算.
技法点拨 当分式的分母或分子本身就是一个分式时,此时式子的复杂程度较高,可以将其转化为分式的除法,降低式子的复杂程度,分步运算.
6. 已知分式$\frac{5x + n}{x - m}$($m$，$n$为常数)满足表格中的信息，则选项中错误的是(
A.$m = -2$
B.$n = -2$
C.$p = \frac{2}{5}$
D.$q = -1$
D
)A.$m = -2$
B.$n = -2$
C.$p = \frac{2}{5}$
D.$q = -1$
答案：6. D 解析:由表格可得,当x=-2时,分式的分母为0,则$-2 - m = 0,m=-2$,即分式为$\frac{5x + n}{x + 2}$.$\because$x=2时分式的值为2,$\therefore\frac{5×2 + n}{2 + 2}=2$,解得n=-2,即分式为$\frac{5x - 2}{x + 2}$.$\because$x=p时分式的值为0,$\therefore5p - 2 = 0$,解得$p=\frac{2}{5}$,经检验,符合题意.$\because$x=q时分式的值为1,$\therefore\frac{5q - 2}{q + 2}=1$,解得q=1,经检验,q=1是该分式方程的解,则D选项错误.故选D.
7. 若关于$x$的方程$\frac{1}{x^{2} - 1}-\frac{m}{x + 1}=\frac{1 - 2m}{x - 1}$不会产生增根，则$m$的取值范围是(
A.$m≠ 1$
B.$m≠ 0$且$m≠\frac{1}{4}$
C.$m≠\frac{1}{4}$且$m≠-\frac{1}{2}$
D.$m≠ 1$且$m≠ -1$
C
)A.$m≠ 1$
B.$m≠ 0$且$m≠\frac{1}{4}$
C.$m≠\frac{1}{4}$且$m≠-\frac{1}{2}$
D.$m≠ 1$且$m≠ -1$
答案：7. C 解析:去分母得,$1 - m(x - 1)=(1 - 2m)(x + 1)$,整理得$(m - 1)x=-3m$.$\because$方程不会产生增根,$\therefore x=-\frac{3m}{m - 1}$且$x≠\pm1$,$\therefore-\frac{3m}{m - 1}≠\pm1$,$\therefore m≠\frac{1}{4}$且$m≠-\frac{1}{2}$.故选C.
8. 已知$x$，$y$满足$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{x + y}=0$，则$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}$的值为(
A.1
B.3
C.4
D.5
D
)A.1
B.3
C.4
D.5
答案：8. D 解析:$\because\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{x + y}=0$,$\therefore$等式的两边同乘$(x + y)$,得$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}-1 = 0$,$\therefore(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})^{2}=1$,$\therefore(\frac{y}{x})^{2}-2+(\frac{x}{y})^{2}=1$,$\therefore(\frac{y}{x})^{2}+(\frac{x}{y})^{2}=3$,$\therefore(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}=(\frac{y}{x})^{2}+(\frac{x}{y})^{2}+2 = 5$.故选D.
二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)
9. (2025·广西中考)写出一个使分式$\frac{1}{x + 3}$有意义的$x$的值，可以是
9. (2025·广西中考)写出一个使分式$\frac{1}{x + 3}$有意义的$x$的值，可以是
2(答案不唯一)
。答案：9. 2(答案不唯一) 解析:要使得分式$\frac{1}{x + 3}$有意义,则$x + 3≠0$,即$x≠-3$,写出一个不等于-3的x的取值即可.
解析：
2(答案不唯一)
10. 分式$\frac{1}{m^{2} - 1}$和$\frac{1}{2m + 2}$的最简公分母是
$2(m + 1)(m - 1)$
。答案：10. $2(m + 1)(m - 1)$ 解析:$m^{2}-1=(m + 1)(m - 1)$,$2m + 2=2(m + 1)$,则两个分式的最简公分母为$2(m + 1)(m - 1)$.
解析：
$2(m + 1)(m - 1)$
11. 计算$(\frac{x}{-y})^{2}·(\frac{y^{2}}{x})^{3}÷(\frac{y}{x})^{4}$的结果是
$x^{3}$
。答案：11. $x^{3}$ 解析:原式=$\frac{x^{2}}{y^{2}}·\frac{y^{6}}{x^{3}}·\frac{x^{4}}{y^{4}}=x^{3}$.
解析：
$(\frac{x}{-y})^{2}·(\frac{y^{2}}{x})^{3}÷(\frac{y}{x})^{4}$
$=\frac{x^{2}}{y^{2}}·\frac{y^{6}}{x^{3}}·\frac{x^{4}}{y^{4}}$
$=x^{2-3+4}y^{6-2-4}$
$=x^{3}$
$=\frac{x^{2}}{y^{2}}·\frac{y^{6}}{x^{3}}·\frac{x^{4}}{y^{4}}$
$=x^{2-3+4}y^{6-2-4}$
$=x^{3}$
12. 已知$\frac{M}{x^{2} - y^{2}}=\frac{2xy - y^{2}}{x^{2} - y^{2}}+\frac{x - y}{x + y}$，则$M=$
$x^{2}$
。答案：12. $x^{2}$ 解析:$\frac{2xy - y^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{x - y}{x + y}=\frac{2xy - y^{2}+(x - y)^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}$,$\therefore\frac{M}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}$,$\therefore M=x^{2}$.
13. 小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上(如图阴影部分)，则甲、乙两块地的撒播密度的比值为
$\frac{4a - 4b}{a + b}$
(撒播密度$=\frac{花种数量}{撒播面积}$)。答案：13. $\frac{4a - 4b}{a + b}$ 解析:设花种的数量为m,由题意可得甲、乙两块地的撒播密度的比值为$\frac{m}{\frac{1}{2}(a + b)·\frac{1}{2}(a + b)}:\frac{m}{a^{2}-b^{2}}=\frac{4a - 4b}{a + b}$.
解析：
设花种的数量为$m$。
甲的撒播面积为$(\frac{1}{2}(a + b))^2 = \frac{1}{4}(a + b)^2$，甲的撒播密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a + b)^2} = \frac{4m}{(a + b)^2}$。
乙的撒播面积为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，乙的撒播密度为$\frac{m}{(a + b)(a - b)}$。
甲、乙撒播密度的比值为$\frac{4m}{(a + b)^2}:\frac{m}{(a + b)(a - b)} = \frac{4(a - b)}{a + b} = \frac{4a - 4b}{a + b}$。
$\frac{4a - 4b}{a + b}$
甲的撒播面积为$(\frac{1}{2}(a + b))^2 = \frac{1}{4}(a + b)^2$，甲的撒播密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a + b)^2} = \frac{4m}{(a + b)^2}$。
乙的撒播面积为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，乙的撒播密度为$\frac{m}{(a + b)(a - b)}$。
甲、乙撒播密度的比值为$\frac{4m}{(a + b)^2}:\frac{m}{(a + b)(a - b)} = \frac{4(a - b)}{a + b} = \frac{4a - 4b}{a + b}$。
$\frac{4a - 4b}{a + b}$
14. (2025·日照期末)数学家们在研究 15，12，10 这三个数的倒数时发现：$\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}$。因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如 6，3，2 也是一组调和数。现有一组调和数：$x - 1$，5，3($x ＞ 6$)，则$x$的值是
16
。答案：14. 16 解析:根据题中调和数的定义得:$\frac{1}{5}-\frac{1}{x - 1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$,解得x=16,经检验,x=16是分式方程的解.
解析：
根据调和数的定义得：$\frac{1}{5} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$
解方程：
$\begin{aligned}\frac{1}{5} - \frac{1}{x - 1} &= \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{2}{5} - \frac{1}{3} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{6}{15} - \frac{5}{15} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{1}{15} &= \frac{1}{x - 1}\\x - 1 &= 15\\x &= 16\end{aligned}$
经检验，$x = 16$是分式方程的解。
故$x$的值是$16$。
解方程：
$\begin{aligned}\frac{1}{5} - \frac{1}{x - 1} &= \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{2}{5} - \frac{1}{3} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{6}{15} - \frac{5}{15} &= \frac{1}{x - 1}\\frac{1}{15} &= \frac{1}{x - 1}\\x - 1 &= 15\\x &= 16\end{aligned}$
经检验，$x = 16$是分式方程的解。
故$x$的值是$16$。