23. （10 分）（2025·青岛中考）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为 2100 件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的 1.5 倍。先由甲、乙两个车间共同完成 1500 件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用 10 天完成这批订单。
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品。
（2）首批订单完成后，公司将继续生产 30 天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍，要使这 30 天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品。
（2）首批订单完成后，公司将继续生产 30 天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍，要使这 30 天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
答案：23. (1)设乙车间每天能生产x件产品,则甲车间每天能生产1.5x件产品,由题意得$\frac{1500}{x + 1.5x}+\frac{2100 - 1500}{x}=10$,解得x=120,经检验:x=120是原方程的解,且符合题意,则$1.5×120 = 180$(件).
答:乙车间每天能生产120件产品,甲车间每天能生产180件产品.
(2)设安排甲车间生产m天,则乙车间生产$(30 - m)$天,由题意得:$m≤2(30 - m)$,解得$m≤20$,设生产总量为w件,由题意得:$w = 180m + 120(30 - m)=60m + 3600$,$\because60＞0$,$\therefore$w随着m的增大而增大,$\therefore$当m=20时,w最大,即这30天的生产总量最大,$\therefore30 - m = 30 - 20 = 10$,$\therefore$应安排甲车间生产20天,乙车间生产10天.
答:乙车间每天能生产120件产品,甲车间每天能生产180件产品.
(2)设安排甲车间生产m天,则乙车间生产$(30 - m)$天,由题意得:$m≤2(30 - m)$,解得$m≤20$,设生产总量为w件,由题意得:$w = 180m + 120(30 - m)=60m + 3600$,$\because60＞0$,$\therefore$w随着m的增大而增大,$\therefore$当m=20时,w最大,即这30天的生产总量最大,$\therefore30 - m = 30 - 20 = 10$,$\therefore$应安排甲车间生产20天,乙车间生产10天.
24. (10 分)新题型 新定义(2025·福建校级月考)新定义：如果两个实数$a$，$b$使得关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的解是$x = \frac{1}{a + b}$成立，那么我们就把实数$a$，$b$组成的数对$[a,b]$称为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的一个“关联数对”。例如：$a = 2$，$b = -5$使得关于$x$的分式方程$\frac{2}{x}+1 = -5$的解是$x = \frac{1}{2 + (-5)}=-\frac{1}{3}$成立，所以数对$[2,-5]$就是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的一个“关联数对”。
(1)判断下列数对是否为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”(若是，请在括号内画“√”；若不是，画“×”)。
①$[-1,-1]$(
②$[3,-5]$(
(2)若数对$[n^{2} - 3,-n^{2}]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”，求$n$的值。
(3)若数对$[m - k,k]$($m≠ -1$且$m≠ 0$，$k≠ 1$)是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”，且关于$x$的方程$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$有整数解，求整数$m$的值。
(1)判断下列数对是否为关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”(若是，请在括号内画“√”；若不是，画“×”)。
①$[-1,-1]$(
×
)；②$[3,-5]$(
√
)。(2)若数对$[n^{2} - 3,-n^{2}]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”，求$n$的值。
(3)若数对$[m - k,k]$($m≠ -1$且$m≠ 0$，$k≠ 1$)是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”，且关于$x$的方程$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$有整数解，求整数$m$的值。
答案：24. (1)①× ②√
(2)$\because$数对$[n^{2}-3,-n^{2}]$是关于x的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”,$\therefore\frac{n^{2}-3}{x}+1=-n^{2}$,$x=\frac{1}{n^{2}-3 - n^{2}}=-\frac{1}{3}$,$\therefore\frac{n^{2}-3}{-\frac{1}{3}}+1=-n^{2}$,解得$n=\pm\sqrt{5}$.
(3)$\because$数对$[m - k,k](m≠-1$且$m≠0,k≠1)$是关于x的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”,$\therefore\frac{m - k}{x}+1 = k$,$x=\frac{1}{m - k + k}=\frac{1}{m}$,$\therefore\frac{m - k}{\frac{1}{m}}+1 = k$,$\therefore k=\frac{m^{2}+1}{m + 1}$,$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$化简得:$(m + 1)^{2}x=(m + 1)(m - 1)$,解得$x=\frac{m - 1}{m + 1}=1-\frac{2}{m + 1}$,$\because$关于x的方程$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$有整数解,$\therefore m + 1=\pm1$或$\pm2$,解得m=0或-2或1或-3,$\because m≠-1$且$m≠0,k≠1$,$\therefore m=-2$或-3.
(2)$\because$数对$[n^{2}-3,-n^{2}]$是关于x的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”,$\therefore\frac{n^{2}-3}{x}+1=-n^{2}$,$x=\frac{1}{n^{2}-3 - n^{2}}=-\frac{1}{3}$,$\therefore\frac{n^{2}-3}{-\frac{1}{3}}+1=-n^{2}$,解得$n=\pm\sqrt{5}$.
(3)$\because$数对$[m - k,k](m≠-1$且$m≠0,k≠1)$是关于x的分式方程$\frac{a}{x}+1 = b$的“关联数对”,$\therefore\frac{m - k}{x}+1 = k$,$x=\frac{1}{m - k + k}=\frac{1}{m}$,$\therefore\frac{m - k}{\frac{1}{m}}+1 = k$,$\therefore k=\frac{m^{2}+1}{m + 1}$,$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$化简得:$(m + 1)^{2}x=(m + 1)(m - 1)$,解得$x=\frac{m - 1}{m + 1}=1-\frac{2}{m + 1}$,$\because$关于x的方程$kx - m + 1=\frac{-2m}{m + 1}x$有整数解,$\therefore m + 1=\pm1$或$\pm2$,解得m=0或-2或1或-3,$\because m≠-1$且$m≠0,k≠1$,$\therefore m=-2$或-3.