9. 已知$a=\sqrt{2}$,$b=\sqrt{5}$,用含$a$,$b$的代数式表示$\sqrt{0.2}$,这个代数式是 (
A.$0.2a$
B.$0.1ab^{2}$
C.$0.1ab$
D.$0.1a^{2}b$
D
)A.$0.2a$
B.$0.1ab^{2}$
C.$0.1ab$
D.$0.1a^{2}b$
答案：9. D 解析：$\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=0.2×\sqrt{5}=0.1×2×\sqrt{5}=0.1a^{2}b$.故选D.
10. 方程$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$的解为
$x=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$
.答案：10. $x=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$ 解析：由$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$，得$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，解得$x=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
解析：
解：由$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x = \dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$，
化简右边：$\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{30}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
左边$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，
则$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$。
$x = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$
化简右边：$\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{30}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
左边$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，
则$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$。
$x = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$
11. 原创题 已知$a$,$b$均为正整数,且$\sqrt{3a+5}$和$\sqrt{10-b}$都是最简二次根式,则$a+b$的最小值为
5
.答案：11. 5 解析：当$a = 1$时，$\sqrt{3a + 5}=\sqrt{8}$不是最简二次根式；当$a = 2$时，$\sqrt{3a + 5}=\sqrt{11}$是最简二次根式，故$a$的最小值为2.当$b = 1$时，$\sqrt{10 - b}=\sqrt{9}$不是最简二次根式；当$b = 2$时，$\sqrt{10 - b}=\sqrt{8}$不是最简二次根式；当$b = 3$时，$\sqrt{10 - b}=\sqrt{7}$是最简二次根式，故$b$的最小值为3，$\therefore a + b$的最小值为$2 + 3 = 5$.
解析：
要使$\sqrt{3a + 5}$是最简二次根式，$3a + 5$需不含开得尽方的因数。当$a = 1$时，$3a+5=8$，$\sqrt{8}$不是最简二次根式；当$a = 2$时，$3a + 5=11$，$\sqrt{11}$是最简二次根式，故$a$的最小值为$2$。
要使$\sqrt{10 - b}$是最简二次根式，$10 - b$需不含开得尽方的因数。当$b = 1$时，$10 - b=9$，$\sqrt{9}$不是最简二次根式；当$b = 2$时，$10 - b=8$，$\sqrt{8}$不是最简二次根式；当$b = 3$时，$10 - b=7$，$\sqrt{7}$是最简二次根式，故$b$的最小值为$3$。
$\therefore a + b$的最小值为$2+3=5$。
5
要使$\sqrt{10 - b}$是最简二次根式，$10 - b$需不含开得尽方的因数。当$b = 1$时，$10 - b=9$，$\sqrt{9}$不是最简二次根式；当$b = 2$时，$10 - b=8$，$\sqrt{8}$不是最简二次根式；当$b = 3$时，$10 - b=7$，$\sqrt{7}$是最简二次根式，故$b$的最小值为$3$。
$\therefore a + b$的最小值为$2+3=5$。
5
12. 阅读下列材料,然后回答问题:
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$,$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:$\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$,$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1}=\sqrt{3}-1$.
以上这种化简过程叫作分母有理化.
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简:$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$.
(1)请用两种不同的方法化简:$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$;
(2)比较大小:$\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}$与$\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$,$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:$\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$,$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1}=\sqrt{3}-1$.
以上这种化简过程叫作分母有理化.
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简:$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$.
(1)请用两种不同的方法化简:$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$;
(2)比较大小:$\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}$与$\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
答案：12. （1）方法一：$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\dfrac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5 - 3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
方法二：$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{5 - 3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
（2）$\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}=\dfrac{3×(\sqrt{11}+2\sqrt{2})}{(\sqrt{11}-2\sqrt{2})×(\sqrt{11}+2\sqrt{2})}=\sqrt{11}+2\sqrt{2}$，$\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}=\dfrac{4×(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{(\sqrt{15}-\sqrt{11})×(\sqrt{15}+\sqrt{11})}=\sqrt{15}+\sqrt{11}$.
$\because2\sqrt{2}＜\sqrt{15}$，$\therefore\sqrt{11}+2\sqrt{2}＜\sqrt{15}+\sqrt{11}$，$\therefore\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}＜\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
方法二：$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{5 - 3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
（2）$\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}=\dfrac{3×(\sqrt{11}+2\sqrt{2})}{(\sqrt{11}-2\sqrt{2})×(\sqrt{11}+2\sqrt{2})}=\sqrt{11}+2\sqrt{2}$，$\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}=\dfrac{4×(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{(\sqrt{15}-\sqrt{11})×(\sqrt{15}+\sqrt{11})}=\sqrt{15}+\sqrt{11}$.
$\because2\sqrt{2}＜\sqrt{15}$，$\therefore\sqrt{11}+2\sqrt{2}＜\sqrt{15}+\sqrt{11}$，$\therefore\dfrac{3}{\sqrt{11}-2\sqrt{2}}＜\dfrac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$.
13. 原创题 若在二次根式$\sqrt{a+9}$与$\sqrt{3a-6}$中只有一个最简二次根式,且两者化为最简二次根式后被开方数相同,则整数$a$的值为
3
.答案：13. 3 解析：①当$\sqrt{a + 9}$为最简二次根式时，则有$\sqrt{3a - 6}=n\sqrt{a + 9}$（$n$为整数，且$n≥2$），则$3a - 6 = n^{2}(a + 9)$，得$a=\dfrac{9n^{2}+6}{3 - n^{2}}＜0$，由二次根式有意义的条件可得$3a - 6≥0$，即$a≥2$，故该情况不符合题意；
②当$\sqrt{3a - 6}$为最简二次根式时，则有$\sqrt{a + 9}=n\sqrt{3a - 6}$（$n$为整数，且$n≥2$），则$a + 9 = n^{2}(3a - 6)$，得$a=\dfrac{6n^{2}+9}{3n^{2}-1}=\dfrac{6n^{2}-2+11}{3n^{2}-1}=2+\dfrac{11}{3n^{2}-1}$.要使得$a$为整数，则$\dfrac{11}{3n^{2}-1}$为整数，$\therefore3n^{2}-1 = 1$或$3n^{2}-1 = 11$.$\because n≥2$，$\therefore n = 2$，$\therefore$当$n = 2$时，$3n^{2}-1 = 11$，此时$a = 3$.
综上所述，$a$的值为3.
②当$\sqrt{3a - 6}$为最简二次根式时，则有$\sqrt{a + 9}=n\sqrt{3a - 6}$（$n$为整数，且$n≥2$），则$a + 9 = n^{2}(3a - 6)$，得$a=\dfrac{6n^{2}+9}{3n^{2}-1}=\dfrac{6n^{2}-2+11}{3n^{2}-1}=2+\dfrac{11}{3n^{2}-1}$.要使得$a$为整数，则$\dfrac{11}{3n^{2}-1}$为整数，$\therefore3n^{2}-1 = 1$或$3n^{2}-1 = 11$.$\because n≥2$，$\therefore n = 2$，$\therefore$当$n = 2$时，$3n^{2}-1 = 11$，此时$a = 3$.
综上所述，$a$的值为3.
14. 我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫作"分子有理化".
比如:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})×(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.
例如:比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$,$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$,所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
利用上面的方法,完成下面两题:
(1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$和$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小;
(2)求$y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}+3$的最大值.
比如:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})×(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.
例如:比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$,$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$,所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
利用上面的方法,完成下面两题:
(1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$和$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小;
(2)求$y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}+3$的最大值.
答案：14. （1）$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\dfrac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\dfrac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$.
$\because\sqrt{15}＞\sqrt{13}$，$\therefore\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}$，$\therefore\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$.
（2）$\because x + 1≥0$，$x - 1≥0$，$\therefore x≥1$.$\because y=\sqrt{x + 1}-\sqrt{x - 1}+3=\dfrac{2}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}}+3$，当$x = 1$时，分母$\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}$有最小值$\sqrt{2}$，$\therefore y=\dfrac{2}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}}+3$的最大值是$\sqrt{2}+3$.
$\because\sqrt{15}＞\sqrt{13}$，$\therefore\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}$，$\therefore\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$.
（2）$\because x + 1≥0$，$x - 1≥0$，$\therefore x≥1$.$\because y=\sqrt{x + 1}-\sqrt{x - 1}+3=\dfrac{2}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}}+3$，当$x = 1$时，分母$\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}$有最小值$\sqrt{2}$，$\therefore y=\dfrac{2}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x - 1}}+3$的最大值是$\sqrt{2}+3$.