1. (2025·扬州期末)下列计算中，正确的是(
A.$\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
C.$3\sqrt{2}×2\sqrt{3}=6\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
D
)A.$\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
C.$3\sqrt{2}×2\sqrt{3}=6\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
答案：1. D 解析：A. $\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$无法合并，原式计算错误；B. $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，原式计算错误；C. $3\sqrt{2}×2\sqrt{3}=6\sqrt{6}$，原式计算错误；D. $\frac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$，原式计算正确.故选 D.
2. 计算$(5\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{45})÷(-\sqrt{5})$的结果为(
A.5
B.-5
C.7
D.-7
A
)A.5
B.-5
C.7
D.-7
答案：2. A 解析：原式$=(\frac{5\sqrt{5}}{5}-6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})=5$.故选 A.
3. 下列计算中，正确的是(
A.$(2\sqrt{5}+\sqrt{2})×(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=10 - 2 = 8$
B.$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^{2}=7 - 3 = 4$
C.$(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})×(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})=(2\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}=8 - 27 = -19$
D.$(\sqrt{7}+\sqrt{3})×\sqrt{10}=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$
C
)A.$(2\sqrt{5}+\sqrt{2})×(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=10 - 2 = 8$
B.$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^{2}=7 - 3 = 4$
C.$(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})×(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})=(2\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}=8 - 27 = -19$
D.$(\sqrt{7}+\sqrt{3})×\sqrt{10}=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$
答案：3. C 解析：A. $(2\sqrt{5}+\sqrt{2})×(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}×\sqrt{5}-2\sqrt{5}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{5}-\sqrt{2}×\sqrt{2}=10-2\sqrt{10}+\sqrt{10}-2=8-\sqrt{10}$，原式计算错误；B. $(\sqrt{7}-\sqrt{3})^{2}=7+3-2\sqrt{21}=10-2\sqrt{21}$，原式计算错误；C. 原式计算正确；D. $(\sqrt{7}+\sqrt{3})×\sqrt{10}=\sqrt{70}+\sqrt{30}$，原式计算错误.故选 C.
4. 计算：
(1) (南京中考)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}=$
(2) $(\sqrt{48}-3\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{3}=$
(3) $\sqrt{2}×(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})=$
(4) (山西中考)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{24}=$
(1) (南京中考)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}=$
$\frac{1}{3}$
；(2) $(\sqrt{48}-3\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{3}=$
3
；(3) $\sqrt{2}×(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})=$
$2\sqrt{2}$
；(4) (山西中考)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{24}=$
5
。答案：4. (1) $\frac{1}{3}$ 解析：原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$.
(2) 3 解析：原式$=(4\sqrt{3}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}=3$.
(3) $2\sqrt{2}$ 解析：原式$=\sqrt{2}×[(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}]=\sqrt{2}×(5-3)=2\sqrt{2}$.
(4) 5 解析：原式$=3+2+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5$.
(2) 3 解析：原式$=(4\sqrt{3}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}=3$.
(3) $2\sqrt{2}$ 解析：原式$=\sqrt{2}×[(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}]=\sqrt{2}×(5-3)=2\sqrt{2}$.
(4) 5 解析：原式$=3+2+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5$.
5. 一个梯形的高为$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$cm，它的上底长为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$cm，下底长为$2\sqrt{3}$cm，则其面积为
$\frac{5\sqrt{6}-5}{2}$
$cm^{2}$。答案：5. $\frac{5\sqrt{6}-5}{2}$ 解析：面积$=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{3})×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})=\frac{6\sqrt{6}-\sqrt{6}+4-9}{2}=\frac{5\sqrt{6}-5}{2}(\mathrm{cm}^{2})$.
解析：
面积$=\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}+\sqrt{2})+2\sqrt{3}]×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}+\sqrt{2})×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{1}{2}×[3\sqrt{3}×2\sqrt{2}+3\sqrt{3}×(-\sqrt{3})+\sqrt{2}×2\sqrt{2}+\sqrt{2}×(-\sqrt{3})]$
$=\frac{1}{2}×(6\sqrt{6}-9 + 4-\sqrt{6})$
$=\frac{1}{2}×(5\sqrt{6}-5)$
$=\frac{5\sqrt{6}-5}{2}(\mathrm{cm}^2)$
$=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}+\sqrt{2})×(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{1}{2}×[3\sqrt{3}×2\sqrt{2}+3\sqrt{3}×(-\sqrt{3})+\sqrt{2}×2\sqrt{2}+\sqrt{2}×(-\sqrt{3})]$
$=\frac{1}{2}×(6\sqrt{6}-9 + 4-\sqrt{6})$
$=\frac{1}{2}×(5\sqrt{6}-5)$
$=\frac{5\sqrt{6}-5}{2}(\mathrm{cm}^2)$
6. 计算：
(1) (2025·甘肃中考)$\sqrt{12}-\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2) (大连中考)$(\sqrt{3}-2)^{2}+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $(14\sqrt{54}-8\sqrt{24}-\sqrt{216})÷2\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{6}}$；
(4) $(3+\sqrt{2})×(2-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})^{2}$。
(1) (2025·甘肃中考)$\sqrt{12}-\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2) (大连中考)$(\sqrt{3}-2)^{2}+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $(14\sqrt{54}-8\sqrt{24}-\sqrt{216})÷2\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{6}}$；
(4) $(3+\sqrt{2})×(2-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})^{2}$。
答案：6. (1) 原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
(2) 原式$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7$.
(3) 原式$=(42\sqrt{6}-16\sqrt{6}-6\sqrt{6})×\frac{1}{2\sqrt{6}}×\frac{1}{\sqrt{6}}=20\sqrt{6}×\frac{1}{12}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.
(4) 原式$=6-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2+1+2\sqrt{2}+2=7+\sqrt{2}$.
(2) 原式$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7$.
(3) 原式$=(42\sqrt{6}-16\sqrt{6}-6\sqrt{6})×\frac{1}{2\sqrt{6}}×\frac{1}{\sqrt{6}}=20\sqrt{6}×\frac{1}{12}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.
(4) 原式$=6-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2+1+2\sqrt{2}+2=7+\sqrt{2}$.
7. (2025·蚌埠模拟)如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知$S_{1}=48$，$S_{2}=32$，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为(
A.$16\sqrt{6}-16$
B.$8\sqrt{6}-6$
C.$16\sqrt{6}-6$
D.$6\sqrt{6}-8$
A
)A.$16\sqrt{6}-16$
B.$8\sqrt{6}-6$
C.$16\sqrt{6}-6$
D.$6\sqrt{6}-8$
答案：7. A 解析：
∵ 重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长和减去大正方形的边长，
∴ 重叠部分也是正方形.
∵ 三个小正方形的面积分别为 48，32，8，
∴ 三个小正方形的边长分别为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. 由题图知大正方形的边长为$4\sqrt{3}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{3}+2\sqrt{2}$，$S_{\mathrm{空白}}=(4\sqrt{3}+2\sqrt{2})^{2}-(48+32-8)=48+8+16\sqrt{6}-72=16\sqrt{6}-16$. 故选 A.
∵ 重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长和减去大正方形的边长，
∴ 重叠部分也是正方形.
∵ 三个小正方形的面积分别为 48，32，8，
∴ 三个小正方形的边长分别为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. 由题图知大正方形的边长为$4\sqrt{3}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{3}+2\sqrt{2}$，$S_{\mathrm{空白}}=(4\sqrt{3}+2\sqrt{2})^{2}-(48+32-8)=48+8+16\sqrt{6}-72=16\sqrt{6}-16$. 故选 A.
8. (内江中考)按如图所示的程序计算，若开始输入的$n$的值为$\sqrt{2}$，则最后输出的结果是(
A.14
B.16
C.$8 + 5\sqrt{2}$
D.$14+\sqrt{2}$
C
)A.14
B.16
C.$8 + 5\sqrt{2}$
D.$14+\sqrt{2}$
答案：8. C 解析：将$n=\sqrt{2}$代入$n(n+1)$，得$\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}＜15$；将$n=2+\sqrt{2}$代入$n(n+1)$，得$(2+\sqrt{2})×(3+\sqrt{2})=6+5\sqrt{2}+2=8+5\sqrt{2}＞15$，故输出的结果为$8+5\sqrt{2}$.
9. 若$a + b = 2+\sqrt{3}$，$ab=\sqrt{3}$，则$a - b=$
$\pm\sqrt{7}$
。答案：9. $\pm\sqrt{7}$ 解析：$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab=(2+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=7$，则$a-b=\pm\sqrt{7}$.
解析：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，将$a + b = 2 + \sqrt{3}$，$ab = \sqrt{3}$代入得：
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3} = 7$，
则$a - b = \pm\sqrt{7}$。
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3} = 7$，
则$a - b = \pm\sqrt{7}$。