21. (9 分)(2025·南京期末)海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似地按公式$v=\sqrt{gd}$计算，其中$v$表示海啸的行进速度$(\mathrm{m/s})$，$d$表示海水的深度$(\mathrm{m})$，$g$表示重力加速度，$g$取$9.8\mathrm{m/s}^{2}$。
(1)根据海啸的行进速度公式，完成上表。
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为 14 m/s 和 28 m/s，那么这两处的海水深度差值是多少？
(3)下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是 100 m 的$k$倍时，海啸的行进速度是$70\sqrt{k}\mathrm{ m/s}$；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小。
其中，描述正确的序号是
(1)根据海啸的行进速度公式，完成上表。
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为 14 m/s 和 28 m/s，那么这两处的海水深度差值是多少？
(3)下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是 100 m 的$k$倍时，海啸的行进速度是$70\sqrt{k}\mathrm{ m/s}$；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小。
其中，描述正确的序号是
①③
(说明：全部填对的得满分，有填错的不得分)。答案：21. (1)70
(2)设两处海水深度分别为$d_1$, $d_2$,由$v=\sqrt{9.8d}$得,当$v = 14$时,$14=\sqrt{9.8d_1}$, $196 = 9.8d_1$, $d_1 = 20$;当$v = 28$时,$28=\sqrt{9.8d_2}$, $784 = 9.8d_2$, $d_2 = 80$;深度差值为$80 - 20 = 60(\mathrm{m})$.
(3)①③ 解析:①“随着海水深度的增加,海啸行进速度逐渐增大”,海啸速度公式为$v=\sqrt{gd}$($g = 9.8\ \mathrm{m/s}^2$,是常数).从函数角度看,v是关于d的算术平方根函数,形式为$v = k\sqrt{d}$($k=\sqrt{g}$,是正数).根据算术平方根函数的性质:当被开方数d增大时,$\sqrt{d}$递增,因此$v = k\sqrt{d}$也递增.
∴ 随着海水深度d的增加,海啸速度v必然逐渐增大,描述①正确;②“当海水的深度是100 m的k倍时,海啸的行进速度是$70\sqrt{k}\ \mathrm{m/s}$”,设海水深度$d = 100k(k ＞ 0)$,代入速度公式,得$v=\sqrt{gd}=\sqrt{9.8×100k}=\sqrt{980k}$,化简$\sqrt{980k}$得$\sqrt{980k}=\sqrt{49×20k}=7\sqrt{20k}=7×2\sqrt{5k}=14\sqrt{5k}$,而题目中表述为“$70\sqrt{k}\ \mathrm{m/s}$”描述②错误;③由表格可得d从500 m增加至1 000 m时,v从70 m/s增大至$70\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$,d从1 000 m增加至1 500 m时,v从$70\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$增大至$70\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$,
∵ $70\sqrt{3}-70\sqrt{2}＜70\sqrt{2}-70$,
∴ 从500 m增加至1 000 m速度的增加幅度大,以此类推比较表中的数据,可得随着海水深度的增加,海啸行进速度的增加幅度会越来越小,
∴ 描述③正确.故答案为①③.
(2)设两处海水深度分别为$d_1$, $d_2$,由$v=\sqrt{9.8d}$得,当$v = 14$时,$14=\sqrt{9.8d_1}$, $196 = 9.8d_1$, $d_1 = 20$;当$v = 28$时,$28=\sqrt{9.8d_2}$, $784 = 9.8d_2$, $d_2 = 80$;深度差值为$80 - 20 = 60(\mathrm{m})$.
(3)①③ 解析:①“随着海水深度的增加,海啸行进速度逐渐增大”,海啸速度公式为$v=\sqrt{gd}$($g = 9.8\ \mathrm{m/s}^2$,是常数).从函数角度看,v是关于d的算术平方根函数,形式为$v = k\sqrt{d}$($k=\sqrt{g}$,是正数).根据算术平方根函数的性质:当被开方数d增大时,$\sqrt{d}$递增,因此$v = k\sqrt{d}$也递增.
∴ 随着海水深度d的增加,海啸速度v必然逐渐增大,描述①正确;②“当海水的深度是100 m的k倍时,海啸的行进速度是$70\sqrt{k}\ \mathrm{m/s}$”,设海水深度$d = 100k(k ＞ 0)$,代入速度公式,得$v=\sqrt{gd}=\sqrt{9.8×100k}=\sqrt{980k}$,化简$\sqrt{980k}$得$\sqrt{980k}=\sqrt{49×20k}=7\sqrt{20k}=7×2\sqrt{5k}=14\sqrt{5k}$,而题目中表述为“$70\sqrt{k}\ \mathrm{m/s}$”描述②错误;③由表格可得d从500 m增加至1 000 m时,v从70 m/s增大至$70\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$,d从1 000 m增加至1 500 m时,v从$70\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$增大至$70\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$,
∵ $70\sqrt{3}-70\sqrt{2}＜70\sqrt{2}-70$,
∴ 从500 m增加至1 000 m速度的增加幅度大,以此类推比较表中的数据,可得随着海水深度的增加,海啸行进速度的增加幅度会越来越小,
∴ 描述③正确.故答案为①③.
22. (11 分)(2025·内江期中)阅读材料：用配方法求最值。
已知$x$，$y$为非负实数，
$\because x + y - 2\sqrt{xy}=(\sqrt{x})^{2}+(\sqrt{y})^{2}-2\sqrt{x}·\sqrt{y}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}≥0$，
$\therefore x + y≥2\sqrt{xy}$，当且仅当“$x = y$”时，等号成立。
例：已知$x ＞ 0$，求函数$y = x+\dfrac{4}{x}$的最小值。
解：令$a = x$，$b=\dfrac{4}{x}$，则有$a + b≥2\sqrt{ab}$，
得$y = x+\dfrac{4}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{4}{x}}=4$，
当且仅当$x=\dfrac{4}{x}$，即$x = 2$时，函数取到最小值，最小值为 4。
根据以上信息回答下列问题：
(1)已知$x ＞ 0$，则函数$y = 2x+\dfrac{3}{x}$取到最小值，最小值为
(2)已知$x ＞ 0$，则自变量$x$取何值时，函数$y=\dfrac{x}{x^{2}-2x + 9}$取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$S_{△ BOC}=9$，$S_{△ AOD}=25$，求四边形$ABCD$面积的最小值。
已知$x$，$y$为非负实数，
$\because x + y - 2\sqrt{xy}=(\sqrt{x})^{2}+(\sqrt{y})^{2}-2\sqrt{x}·\sqrt{y}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}≥0$，
$\therefore x + y≥2\sqrt{xy}$，当且仅当“$x = y$”时，等号成立。
例：已知$x ＞ 0$，求函数$y = x+\dfrac{4}{x}$的最小值。
解：令$a = x$，$b=\dfrac{4}{x}$，则有$a + b≥2\sqrt{ab}$，
得$y = x+\dfrac{4}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{4}{x}}=4$，
当且仅当$x=\dfrac{4}{x}$，即$x = 2$时，函数取到最小值，最小值为 4。
根据以上信息回答下列问题：
(1)已知$x ＞ 0$，则函数$y = 2x+\dfrac{3}{x}$取到最小值，最小值为
$2\sqrt{6}$
；已知$x ＞ 2$，则$x+\dfrac{1}{x - 2}$的最小值是4
。(2)已知$x ＞ 0$，则自变量$x$取何值时，函数$y=\dfrac{x}{x^{2}-2x + 9}$取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$S_{△ BOC}=9$，$S_{△ AOD}=25$，求四边形$ABCD$面积的最小值。
答案：22. (1)$2\sqrt{6}$ 4 解析:函数$y = 2x+\frac{3}{x}=2x+\frac{6}{2x}$,令$2x = a$, $\frac{6}{2x}=b$,
∴ $y=a + b≥2\sqrt{ab}=2\sqrt{2x·\frac{6}{2x}}=2\sqrt{6}$,
∴ 当且仅当$2x=\frac{6}{2x}$,即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,$y = 2x+\frac{3}{x}$取得最小值;设$y=x+\frac{1}{x - 2}=(x - 2)+\frac{1}{x - 2}+2≥2\sqrt{(x - 2)·\frac{1}{x - 2}}+2 = 4$,当且仅当$x - 2=\frac{1}{x - 2}$,即$x = 3$时,$x+\frac{1}{x - 2}$的最小值是4.
(2)
∵ $y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}=\frac{1}{x - 2+\frac{9}{x}}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$,又
∵ $x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$,当且仅当$x=\frac{9}{x}$时,$x+\frac{9}{x}$有最小值,
∵ $x ＞ 0$,
∴ 当$x = 3$时,$x+\frac{9}{x}$有最小值,最小值为6,
∴ 此时y有最大值,最大值为$y=\frac{1}{6 - 2}=\frac{1}{4}$,
∴ 当$x = 3$时,函数$y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}$取到最大值,最大值为$\frac{1}{4}$.
(3)设$AO = m$, $CO = n$,点D到AC的距离为a,点B到AC的距离为b,则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}bn = 9$,
∴ $b=\frac{18}{n}$, $S_{△ AOD}=\frac{1}{2}am = 25$,
∴ $a=\frac{50}{m}$.又
∵ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}bm$, $S_{△ COD}=\frac{1}{2}an$,
∴ $S_{四边形ABCD}=9 + 25+\frac{1}{2}bm+\frac{1}{2}an=9 + 25+\frac{9m}{n}+\frac{25n}{m}≥34+2\sqrt{\frac{9m}{n}·\frac{25n}{m}}=64$,
∴ 四边形ABCD面积的最小值为64.
∴ $y=a + b≥2\sqrt{ab}=2\sqrt{2x·\frac{6}{2x}}=2\sqrt{6}$,
∴ 当且仅当$2x=\frac{6}{2x}$,即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,$y = 2x+\frac{3}{x}$取得最小值;设$y=x+\frac{1}{x - 2}=(x - 2)+\frac{1}{x - 2}+2≥2\sqrt{(x - 2)·\frac{1}{x - 2}}+2 = 4$,当且仅当$x - 2=\frac{1}{x - 2}$,即$x = 3$时,$x+\frac{1}{x - 2}$的最小值是4.
(2)
∵ $y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}=\frac{1}{x - 2+\frac{9}{x}}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$,又
∵ $x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$,当且仅当$x=\frac{9}{x}$时,$x+\frac{9}{x}$有最小值,
∵ $x ＞ 0$,
∴ 当$x = 3$时,$x+\frac{9}{x}$有最小值,最小值为6,
∴ 此时y有最大值,最大值为$y=\frac{1}{6 - 2}=\frac{1}{4}$,
∴ 当$x = 3$时,函数$y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}$取到最大值,最大值为$\frac{1}{4}$.
(3)设$AO = m$, $CO = n$,点D到AC的距离为a,点B到AC的距离为b,则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}bn = 9$,
∴ $b=\frac{18}{n}$, $S_{△ AOD}=\frac{1}{2}am = 25$,
∴ $a=\frac{50}{m}$.又
∵ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}bm$, $S_{△ COD}=\frac{1}{2}an$,
∴ $S_{四边形ABCD}=9 + 25+\frac{1}{2}bm+\frac{1}{2}an=9 + 25+\frac{9m}{n}+\frac{25n}{m}≥34+2\sqrt{\frac{9m}{n}·\frac{25n}{m}}=64$,
∴ 四边形ABCD面积的最小值为64.