1. (2025·扬州期中)设 $ M = \frac{y + 1}{x + 1} $，$ N = \frac{y}{x} $，当 $ x ＞ y ＞ 0 $ 时，$ M $ 和 $ N $ 的大小关系是 (
A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定
A
)A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定
答案：1. A 解析：$M - N = \frac{y + 1}{x + 1} - \frac{y}{x} = \frac{x(y + 1) - y(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{xy + x - xy - y}{x(x + 1)} = \frac{x - y}{x(x + 1)}$．$\because x ＞ y ＞ 0$，$\therefore x(x + 1) ＞ 0$，$x - y ＞ 0$，$\therefore M - N ＞ 0$，故$M ＞ N$．选A．
2. (2024·南通期末)我们把形如 $ x + \frac{ab}{x} = a + b $($ a $，$ b $ 不为零)，且两个解分别为 $ x_1 = a $，$ x_2 = b $ 的方程称为“十字分式方程”。如：$ x + \frac{3}{x} = 4 $ 为“十字分式方程”，其可转化为 $ x + \frac{1×3}{x} = 1 + 3 $，则 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。若 $ k ＞ 2 $ 时，关于 $ x $ 的“十字分式方程”$ x + 1 - \frac{1 - k^2}{x + 1} = 2k $ 的两个解分别为 $ x_1 $，$ x_2 $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，则 $ \frac{x_2}{2x_1 + 4} $ 的值为 (
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
A
)A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
答案：2. A 解析：$\because x + 1 - \frac{1 - k^{2}}{x + 1} = 2k$，$\therefore x + 1 + \frac{(k - 1)(k + 1)}{x + 1} = (k - 1) + (k + 1)$，$\therefore x_{1} + 1 = k - 1$，$x_{2} + 1 = k + 1$，$\therefore x_{1} = k - 2$，$x_{2} = k$，$\therefore \frac{x_{2}}{2x_{1} + 4} = \frac{k}{2(k - 2) + 4} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$．故选A．
3. (2025·扬州期末)已知 $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 5 $，则式子 $ \frac{3a + 8ab - 3b}{2ab - a + b} $ 的值是
$-1$
。答案：3. $-1$ 解析：$\because \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} = - \frac{a - b}{ab} = 5$，$\therefore a - b = - 5ab$，$\therefore \frac{3a + 8ab - 3b}{2ab - a + b} = \frac{3(a - b) + 8ab}{2ab - (a - b)} = \frac{- 15ab + 8ab}{2ab + 5ab} = \frac{- 7ab}{7ab} = - 1$．
4. (2024·连云港期末)当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式。当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式。任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式。如：$ \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1} $。阅读完这段文字后，小丽认为，当 $ x ＞ 1 $ 时，随着 $ x $ 的不断增大，$ \frac{x + 1}{x - 1} $ 的值会无限接近一个数。类比上述过程，当 $ x ＞ -1 $ 时，随着 $ x $ 的不断增大，$ \frac{2x + 7}{x + 1} $ 的值会无限接近的一个数是
2
。答案：4. $2$ 解析：$\because \frac{2x + 7}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 5}{x + 1} = 2 + \frac{5}{x + 1}$，当$x ＞ - 1$时，$\frac{5}{x + 1}$随着$x$的不断增大而减小，$\frac{5}{x + 1}$的值无限接近$0$，$\therefore \frac{2x + 7}{x + 1} = 2 + \frac{5}{x + 1}$的值无限接近$2$．
5. (2025·无锡期中)阅读理解题。
我们定义：如果两个分式 $ A $ 与 $ B $ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $ A $ 是 $ B $ 的“雅中式”，这个常数称为 $ A $ 关于 $ B $ 的“雅中值”。如分式 $ A = \frac{2x}{x + 1} $，$ B = \frac{-2}{x + 1} $，$ A - B = \frac{2x}{x + 1} - \frac{-2}{x + 1} = \frac{2x + 2}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2 $，则 $ A $ 是 $ B $ 的“雅中式”，$ A $ 关于 $ B $ 的“雅中值”为 $ 2 $。
(1)已知分式 $ C = \frac{3x}{x - 2} $，$ D = \frac{2x + 2}{x - 2} $，判断 $ C $ 是否为 $ D $ 的“雅中式”。若不是，请说明理由；若是，请求出 $ C $ 关于 $ D $ 的“雅中值”。
(2)已知分式 $ M = \frac{E}{9 - x^2} $，$ N = \frac{x}{3 - x} $，$ M $ 是 $ N $ 的“雅中式”，且 $ M $ 关于 $ N $ 的“雅中值”是 $ 1 $，$ x $ 为整数，且 $ M $ 的值也为整数，求 $ E $ 所代表的代数式及所有符合条件的 $ x $ 的值。
我们定义：如果两个分式 $ A $ 与 $ B $ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $ A $ 是 $ B $ 的“雅中式”，这个常数称为 $ A $ 关于 $ B $ 的“雅中值”。如分式 $ A = \frac{2x}{x + 1} $，$ B = \frac{-2}{x + 1} $，$ A - B = \frac{2x}{x + 1} - \frac{-2}{x + 1} = \frac{2x + 2}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2 $，则 $ A $ 是 $ B $ 的“雅中式”，$ A $ 关于 $ B $ 的“雅中值”为 $ 2 $。
(1)已知分式 $ C = \frac{3x}{x - 2} $，$ D = \frac{2x + 2}{x - 2} $，判断 $ C $ 是否为 $ D $ 的“雅中式”。若不是，请说明理由；若是，请求出 $ C $ 关于 $ D $ 的“雅中值”。
(2)已知分式 $ M = \frac{E}{9 - x^2} $，$ N = \frac{x}{3 - x} $，$ M $ 是 $ N $ 的“雅中式”，且 $ M $ 关于 $ N $ 的“雅中值”是 $ 1 $，$ x $ 为整数，且 $ M $ 的值也为整数，求 $ E $ 所代表的代数式及所有符合条件的 $ x $ 的值。
答案：5. （1）$\because C = \frac{3x}{x - 2}$，$D = \frac{2x + 2}{x - 2}$，$\therefore C - D = \frac{3x}{x - 2} - \frac{2x + 2}{x - 2} = \frac{x - 2}{x - 2} = 1$，$\therefore C$是$D$的“雅中式”，$C$关于$D$的“雅中值”为$1$．
（2）$\because M$是$N$的“雅中式”，且$M$关于$N$的“雅中值”是$1$，$\therefore M - N = 1$．$\because M = \frac{E}{9 - x^{2}}$，$N = \frac{x}{3 - x}$，$\therefore \frac{E}{9 - x^{2}} - \frac{x}{3 - x} = 1$，$\therefore E - x(3 + x) = 9 - x^{2}$，$\therefore E = 9 + 3x$，$\therefore M = \frac{9 + 3x}{9 - x^{2}} = \frac{3(3 + x)}{(3 + x)(3 - x)} = \frac{3}{3 - x}$．$\because x$为整数，且$M$的值也为整数，$\therefore 3 - x$是$3$的因数，$\therefore 3 - x$可能是$\pm 1$，$\pm 3$，$\therefore x$的值为$2$、$4$、$0$、$6$．
（2）$\because M$是$N$的“雅中式”，且$M$关于$N$的“雅中值”是$1$，$\therefore M - N = 1$．$\because M = \frac{E}{9 - x^{2}}$，$N = \frac{x}{3 - x}$，$\therefore \frac{E}{9 - x^{2}} - \frac{x}{3 - x} = 1$，$\therefore E - x(3 + x) = 9 - x^{2}$，$\therefore E = 9 + 3x$，$\therefore M = \frac{9 + 3x}{9 - x^{2}} = \frac{3(3 + x)}{(3 + x)(3 - x)} = \frac{3}{3 - x}$．$\because x$为整数，且$M$的值也为整数，$\therefore 3 - x$是$3$的因数，$\therefore 3 - x$可能是$\pm 1$，$\pm 3$，$\therefore x$的值为$2$、$4$、$0$、$6$．
6. 已知 $ a + b = -5 $，$ ab = 2 $，且 $ a ≠ b $，则 $ a \sqrt{\frac{b}{a}} + b \sqrt{\frac{a}{b}} $ 的值是 (
A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ -2\sqrt{2} $
C.$ 5\sqrt{2} $
D.$ -5\sqrt{2} $
B
)A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ -2\sqrt{2} $
C.$ 5\sqrt{2} $
D.$ -5\sqrt{2} $
答案：6. B 解析：$\because a + b = - 5$，$ab = 2$，$\therefore a ＜ 0$，$b ＜ 0$，$\therefore a\sqrt{\frac{b}{a}} + b\sqrt{\frac{a}{b}} = - ( - a)· \sqrt{\frac{b}{a}} - ( - b)\sqrt{\frac{a}{b}} = - \sqrt{ab} - \sqrt{ab} = - 2\sqrt{ab} = - 2\sqrt{2}$．故选B．
7. 已知 $ a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} $，$ b = \sqrt{3 - \sqrt{5}} $，则 $ a - b = $ (
A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{5} $
D.$ 2\sqrt{2} $
A
)A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{5} $
D.$ 2\sqrt{2} $
答案：7. A 解析：$\because a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$，$b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，$\therefore a - b = \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，$\therefore (a - b)^{2} = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^{2} - 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^{2} = 3 + \sqrt{5} - 2× 2 + 3 - \sqrt{5} = 6 - 4 = 2$，$\therefore a - b = \pm \sqrt{2}$．$\because a ＞ b$，$\therefore a - b = \sqrt{2}$．故选A．
8. (2025·宿迁模拟)已知 $ m $ 是 $ \sqrt{5} $ 的小数部分，则 $ \sqrt{m^2 + \frac{1}{m^2} - 2} $ 的值为
4
。答案：8. $4$ 解析：$\because m$是$\sqrt{5}$的小数部分，$\therefore m = \sqrt{5} - 2$，$\therefore$原式$= \sqrt{(m - \frac{1}{m})^{2}} = |m - \frac{1}{m}|$，$\because m = \sqrt{5} - 2$，$\therefore \frac{1}{m} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2$，即$\frac{1}{m} ＞ m$，$\therefore$原式$= - (m - \frac{1}{m}) = - m + \frac{1}{m} = - (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 4$．
解析：
$\because m$是$\sqrt{5}$的小数部分，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜5＜9$，$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore m=\sqrt{5}-2$。
$\sqrt{m^2 + \frac{1}{m^2} - 2}=\sqrt{(m - \frac{1}{m})^2}=|m - \frac{1}{m}|$。
$\because m = \sqrt{5} - 2$，$\therefore \frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$。
$\because m=\sqrt{5}-2\approx2.236-2=0.236$，$\frac{1}{m}=\sqrt{5}+2\approx2.236+2=4.236$，$\therefore m＜\frac{1}{m}$，即$m - \frac{1}{m}＜0$。
$\therefore |m - \frac{1}{m}|=\frac{1}{m}-m=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4$。
故答案为$4$。
$\sqrt{m^2 + \frac{1}{m^2} - 2}=\sqrt{(m - \frac{1}{m})^2}=|m - \frac{1}{m}|$。
$\because m = \sqrt{5} - 2$，$\therefore \frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$。
$\because m=\sqrt{5}-2\approx2.236-2=0.236$，$\frac{1}{m}=\sqrt{5}+2\approx2.236+2=4.236$，$\therefore m＜\frac{1}{m}$，即$m - \frac{1}{m}＜0$。
$\therefore |m - \frac{1}{m}|=\frac{1}{m}-m=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4$。
故答案为$4$。
9. 设 $ x = \frac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}} $，$ y = \frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}} $，当 $ t = 2 $ 时，代数式 $ 20x^2 + 64xy + 20y^2 $ 的值为
2024
。答案：9. $2024$ 解析：$\because x = \frac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}$，$y = \frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}$，$\therefore x + y = \frac{(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})^{2} + (\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})^{2}}{(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})} = \frac{2(t + 1 + t)}{t + 1 - t} = 4t + 2 = 10$，$xy = \frac{(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})}{(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})} = 1$，$\therefore 20x^{2} + 64xy + 20y^{2} = 20x^{2} + 40xy + 20y^{2} + 24xy = 20(x + y)^{2} + 24xy = 2000 + 24 = 2024$．
解析：
当$t = 2$时，
$x=\frac{\sqrt{2 + 1}-\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$得：$x=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=5 - 2\sqrt{6}$；
$y=\frac{\sqrt{2 + 1}+\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 1}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$得：$y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5 + 2\sqrt{6}$；
$x + y=(5 - 2\sqrt{6})+(5 + 2\sqrt{6}) = 10$，$xy=(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})=25-24 = 1$；
$20x^2 + 64xy + 20y^2=20(x^2 + y^2)+64xy=20[(x + y)^2-2xy]+64xy=20(x + y)^2-40xy + 64xy=20(x + y)^2 + 24xy$；
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入得：$20×10^2+24×1=2000 + 24=2024$。
2024
$x=\frac{\sqrt{2 + 1}-\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$得：$x=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=5 - 2\sqrt{6}$；
$y=\frac{\sqrt{2 + 1}+\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 1}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$得：$y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5 + 2\sqrt{6}$；
$x + y=(5 - 2\sqrt{6})+(5 + 2\sqrt{6}) = 10$，$xy=(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})=25-24 = 1$；
$20x^2 + 64xy + 20y^2=20(x^2 + y^2)+64xy=20[(x + y)^2-2xy]+64xy=20(x + y)^2-40xy + 64xy=20(x + y)^2 + 24xy$；
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入得：$20×10^2+24×1=2000 + 24=2024$。
2024