1. (2024·徐州期末)如图,在□ABCD中,BD是它的一条对角线.用圆规和无刻度的直尺,分别用两种不同的方法在图①、图②中分别作□AECF,使得点E,F在BD上(保留作图痕迹,不写作法).
答案：
1. 如图所示，□AECF 即为所作。
（合理即可）
1. 如图所示，□AECF 即为所作。
（合理即可）
2. (2025·泰州期末)如图①,∠MON是锐角,点A,B分别在边OM,ON上.
(1)利用无刻度直尺与圆规作图:在图①中的∠MON的内部作一点C,使得四边形OACB是平行四边形;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在图②中将□OACB绕点C顺时针旋转,使得点B落在ON上的点D处,点A的对应点记作点E,点O的对应点记作点F.要求:仅用圆规作出点D,E,F,并简要说明点F的作图过程.
(1)利用无刻度直尺与圆规作图:在图①中的∠MON的内部作一点C,使得四边形OACB是平行四边形;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在图②中将□OACB绕点C顺时针旋转,使得点B落在ON上的点D处,点A的对应点记作点E,点O的对应点记作点F.要求:仅用圆规作出点D,E,F,并简要说明点F的作图过程.
答案：
2. （1）如图①，四边形 OACB 即为所求。
（2）如图②，四边形 CEFD 即为所求。作法：以 C 为圆心，CB 长为半径作弧交 NO 于点 D，在 CA 的左侧作∠ACT = ∠BCD，在射线 CT 上截取线段 CE，使得 CE = CA，分别以 E，D 为圆心，CD，CE 长为半径作弧，两弧交于点 F，连接 FD，EF 即可。
2. （1）如图①，四边形 OACB 即为所求。
（2）如图②，四边形 CEFD 即为所求。作法：以 C 为圆心，CB 长为半径作弧交 NO 于点 D，在 CA 的左侧作∠ACT = ∠BCD，在射线 CT 上截取线段 CE，使得 CE = CA，分别以 E，D 为圆心，CD，CE 长为半径作弧，两弧交于点 F，连接 FD，EF 即可。
3. (2024·南京月考)在正方形ABCD中,点E是BC中点,请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)如图①,在CD边上画一点M,使得AM的中点分别到点D,E的距离相等;
(2)如图②,在CD边上画一点N,使得AN平分∠DNE.
(1)如图①,在CD边上画一点M,使得AM的中点分别到点D,E的距离相等;
(2)如图②,在CD边上画一点N,使得AN平分∠DNE.
答案：
3. （1）如图①，点 M 即为所求。
思路如下：连接 DE，AC，BD，AC 与 BD 的交点为 O，作直线 OE 交 DE 的垂直平分线于点 J，连接 AJ 并延长交 CD 于点 M，点 M 即为所求。
（2）如图②，点 N 即为所求。
思路如下：连接 AE，作 EP⊥AE，在射线 EP 上截取线段 EQ，使得 EQ = AE，连接 AQ 交 CD 于点 N，连接 EN，点 N 即为所求（作 AH⊥EN，此时构成正方形中的半角模型（本书专题 4）可以证明 AD = AH，可得结论）。
3. （1）如图①，点 M 即为所求。
思路如下：连接 DE，AC，BD，AC 与 BD 的交点为 O，作直线 OE 交 DE 的垂直平分线于点 J，连接 AJ 并延长交 CD 于点 M，点 M 即为所求。
（2）如图②，点 N 即为所求。
思路如下：连接 AE，作 EP⊥AE，在射线 EP 上截取线段 EQ，使得 EQ = AE，连接 AQ 交 CD 于点 N，连接 EN，点 N 即为所求（作 AH⊥EN，此时构成正方形中的半角模型（本书专题 4）可以证明 AD = AH，可得结论）。
4. (2025·镇江期中)如图,在菱形ABCD中,点E为AB上的一点,过点E作矩形EFGH,使矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四边上.(不用圆规、量角器等工具,只用无刻度的直尺作图)
答案：
4. 如图所示，四边形 EFGH 即为所求。
思路如下：连接 AC，BD，相交于点 O，连接 EO 并延长交 CD 于点 G，连接 DE，BG，分别交 AC 于点 M，N，再连接 BM，DN，延长线分别交 AD，BC 于点 H，F，连接 E，F，G，H，得四边形 EFGH，由菱形的对称性可得 AH = AE，CG = CF，又易证△AOE≌△COG，即可得 AH = AE = CG = CF，进而得 DH = DG = BE = BF，即可证△AEH≌△CFG，△DHG≌△BEF，得到 EH = FG，HG = EF，即得四边形 EFGH 是平行四边形，又由 AC⊥BD 易证∠EHG = 90°，即可得四边形 EFGH 为矩形。
4. 如图所示，四边形 EFGH 即为所求。
思路如下：连接 AC，BD，相交于点 O，连接 EO 并延长交 CD 于点 G，连接 DE，BG，分别交 AC 于点 M，N，再连接 BM，DN，延长线分别交 AD，BC 于点 H，F，连接 E，F，G，H，得四边形 EFGH，由菱形的对称性可得 AH = AE，CG = CF，又易证△AOE≌△COG，即可得 AH = AE = CG = CF，进而得 DH = DG = BE = BF，即可证△AEH≌△CFG，△DHG≌△BEF，得到 EH = FG，HG = EF，即得四边形 EFGH 是平行四边形，又由 AC⊥BD 易证∠EHG = 90°，即可得四边形 EFGH 为矩形。
5. (2025·镇江期中)如图是由小正方形组成的4×6网格,每个小正方形的顶点叫作格点,图中A,B,C,D,E都是格点,P是CE上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)如图①,先画点F,使四边形DCEF为平行四边形,连接FP,再画FP的中点G;
(2)如图②,若P是CE与网格线的交点,先画点P绕点C逆时针旋转90°的对应点Q,再在BD上画点H,使得∠BHE=∠DHQ.
(1)如图①,先画点F,使四边形DCEF为平行四边形,连接FP,再画FP的中点G;
(2)如图②,若P是CE与网格线的交点,先画点P绕点C逆时针旋转90°的对应点Q,再在BD上画点H,使得∠BHE=∠DHQ.
答案：
5. （1）如图①，点 F，G 即为所求。
思路如下：根据平行四边形的性质即可画出点 F，连接 BM，与 FP 相交于点 G，由网格可知 BM//CE，因为点 B 为 EF 的中点，所以 BG 为△EFP 的中位线，故点 G 为 FP 的中点。
（2）如图②，点 Q，H 即为所求。
思路如下：取格点 N，连接 CN，交网格于点 Q，根据网格可证明△BCE≌△DCN，得到∠BCE = ∠DCN，进而可得∠PCQ = 90°，再利用三角形全等得 CP = CQ；连接格点 A，T，与网格相交于点 K，连接 EK，与 BD 相交于点 H，由正方形的性质可得∠KOD = ∠QOD = 45°，进而可得∠KOH = ∠QOH = 135°，连接 HQ，即可证得△KOH≌△QOH，即得到∠KHO = ∠QHO，又因为∠BHE = ∠KHO，故∠BHE = ∠QHO，即∠BHE = ∠DHQ。
5. （1）如图①，点 F，G 即为所求。
思路如下：根据平行四边形的性质即可画出点 F，连接 BM，与 FP 相交于点 G，由网格可知 BM//CE，因为点 B 为 EF 的中点，所以 BG 为△EFP 的中位线，故点 G 为 FP 的中点。
（2）如图②，点 Q，H 即为所求。
思路如下：取格点 N，连接 CN，交网格于点 Q，根据网格可证明△BCE≌△DCN，得到∠BCE = ∠DCN，进而可得∠PCQ = 90°，再利用三角形全等得 CP = CQ；连接格点 A，T，与网格相交于点 K，连接 EK，与 BD 相交于点 H，由正方形的性质可得∠KOD = ∠QOD = 45°，进而可得∠KOH = ∠QOH = 135°，连接 HQ，即可证得△KOH≌△QOH，即得到∠KHO = ∠QHO，又因为∠BHE = ∠KHO，故∠BHE = ∠QHO，即∠BHE = ∠DHQ。