1. (2025·合肥期末)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，若$AC = 6$，$BD = 8$，则$AB$的长可能是(
A.10
B.8
C.7
D.6
D
)A.10
B.8
C.7
D.6
答案：1. D 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = $\frac{1}{2}AC=3$，OB = $\frac{1}{2}BD=4$，在△AOB 中，4 - 3 ＜ AB ＜ 4 + 3，即 1 ＜ AB ＜ 7，
∴ AB 的长可能为 6. 故选 D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = $\frac{1}{2}AC=3$，OB = $\frac{1}{2}BD=4$，在△AOB 中，4 - 3 ＜ AB ＜ 4 + 3，即 1 ＜ AB ＜ 7，
∴ AB 的长可能为 6. 故选 D.
2. (2024·辽宁中考改编)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，以$OC$，$OD$为邻边作平行四边形$OCED$，若$AC = 3$，$BD = 5$，则四边形$OCED$的周长为(
A.4
B.6
C.8
D.16
C
)A.4
B.6
C.8
D.16
答案：2. C 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OC = $\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，OD = $\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$.
∵ 四边形 OCED 是平行四边形，
∴ OC = DE，OD = CE，
∴ 四边形 OCED 的周长为 $2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=8$，故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OC = $\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，OD = $\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$.
∵ 四边形 OCED 是平行四边形，
∴ OC = DE，OD = CE，
∴ 四边形 OCED 的周长为 $2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=8$，故选 C.
3. (1)如图①，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，若$S_{△ AOB} = 2$，则$□ ABCD$的面积为
(2)如图②，过$□ ABCD$的对角线交点$O$任作一直线分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，记$△ AEO$的面积为$S_{1}$，$△ ODF$的面积为$S_{2}$，$△ OBC$的面积为$S_{3}$，则$S_{1} + S_{2}\_\_\_\_\_\_S_{3}$(填“＞”“＜”或“=”).
]
8
.(2)如图②，过$□ ABCD$的对角线交点$O$任作一直线分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，记$△ AEO$的面积为$S_{1}$，$△ ODF$的面积为$S_{2}$，$△ OBC$的面积为$S_{3}$，则$S_{1} + S_{2}\_\_\_\_\_\_S_{3}$(填“＞”“＜”或“=”).
]
答案：3. (1)8 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD，
∴ $S_{△ ABD}=2S_{△ AOB}=4$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=8$.
(2)= 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO = DO，AO = CO，AB//CD，
∴ ∠FDO = ∠EBO. 又
∵ ∠DOF = ∠BOE，
∴ △DOF≌△BOE（ASA），
∴ $S_{△ DOF}=S_{△ BOE}$，
∴ $S_1 + S_2 = S_{△ AOB}$.
∵ AO = CO，
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ BOC}$，
∴ $S_1 + S_2 = S_3$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD，
∴ $S_{△ ABD}=2S_{△ AOB}=4$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=8$.
(2)= 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO = DO，AO = CO，AB//CD，
∴ ∠FDO = ∠EBO. 又
∵ ∠DOF = ∠BOE，
∴ △DOF≌△BOE（ASA），
∴ $S_{△ DOF}=S_{△ BOE}$，
∴ $S_1 + S_2 = S_{△ AOB}$.
∵ AO = CO，
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ BOC}$，
∴ $S_1 + S_2 = S_3$.
4. 平面直角坐标系中，已知$□ ABCD$的三个顶点坐标分别是$A(m,n)$，$B(2,-1)$，$C(-m,-n)$，则点$D$的坐标是
(-2,1)
.答案：4. (-2,1) 解析：
∵ A(m,n)，C(-m,-n)，
∴ 点 A 和点 C 关于原点对称.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 点 D 和点 B 关于原点对称.
∵ B(2,-1)，
∴ 点 D 的坐标是(-2,1).
∵ A(m,n)，C(-m,-n)，
∴ 点 A 和点 C 关于原点对称.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 点 D 和点 B 关于原点对称.
∵ B(2,-1)，
∴ 点 D 的坐标是(-2,1).
5. 教材变式(2025·丹东期末)在$□ ABCD$中，$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，过点$O$作$OE⊥ AC$交$AD$于点$E$，若$∠ DEC = 80^{\circ}$，则$∠ ACB$的度数为
40°
.答案：5. 40° 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC.
∵ OE⊥AC，
∴ EA = EC，
∴ ∠EAC = ∠ECA.
∵ ∠DEC = ∠EAC + ∠ECA = 80°，
∴ ∠ACB = ∠EAC = 40°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC.
∵ OE⊥AC，
∴ EA = EC，
∴ ∠EAC = ∠ECA.
∵ ∠DEC = ∠EAC + ∠ECA = 80°，
∴ ∠ACB = ∠EAC = 40°.
6. (2024·雅安中考)如图，点$O$是$□ ABCD$对角线的交点，过点$O$的直线分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$.
(1)求证：$△ ODE≌△ OBF$；
(2)当$EF⊥ BD$时，$DE = 15\ cm$，分别连接$BE$，$DF$，求此时四边形$BEDF$的周长.
]
(1)求证：$△ ODE≌△ OBF$；
(2)当$EF⊥ BD$时，$DE = 15\ cm$，分别连接$BE$，$DF$，求此时四边形$BEDF$的周长.
]答案：6. (1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//CB，
∴ ∠OED = ∠OFB.
∵ 点 O 是▱ABCD 对角线的交点，
∴ OD = OB，在△ODE 和△OBF 中，$\begin{cases}∠ OED = ∠ OFB,\\∠ DOE = ∠ BOF,\\OD = OB,\end{cases}$
∴ △ODE≌△OBF(AAS).
(2)由(1)知，△ODE≌△OBF，
∴ DE = BF.
∵ 点 O 是 BD 的中点且 EF⊥BD，
∴ 直线 EF 为 BD 的垂直平分线，
∴ DE = BE = BF = DF = 15 cm，
∴ 四边形 BEDF 的周长为 4×15 = 60(cm).
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//CB，
∴ ∠OED = ∠OFB.
∵ 点 O 是▱ABCD 对角线的交点，
∴ OD = OB，在△ODE 和△OBF 中，$\begin{cases}∠ OED = ∠ OFB,\\∠ DOE = ∠ BOF,\\OD = OB,\end{cases}$
∴ △ODE≌△OBF(AAS).
(2)由(1)知，△ODE≌△OBF，
∴ DE = BF.
∵ 点 O 是 BD 的中点且 EF⊥BD，
∴ 直线 EF 为 BD 的垂直平分线，
∴ DE = BE = BF = DF = 15 cm，
∴ 四边形 BEDF 的周长为 4×15 = 60(cm).
7. (2025·威海期末)如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 2$，$∠ B = 75^{\circ}$，$P$为$AB$边上的一动点，以$PA$，$PC$为邻边作$□ AQCP$，则对角线$PQ$长度的最小值是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
C
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案：
7. C 解析：记 AC，PQ 相交于点 O，过点 O 作 OP'⊥AB 于点 P'.
∵ 四边形 AQCP 是平行四边形，
∴ AO = CO，PO = QO，
∴ PQ 最短就是 PO 最短，当 PO⊥AB 时 PO 最短，即 P 与 P'重合.
∵ AB = AC = 2，∠B = 75°，
∴ △ABC 是等腰三角形，
∴ ∠BAC = 180° - 2∠B = 30°，
∴ AO = CO = $\frac{1}{2}AC=1$，根据直角三角形中 30°角所对的直角边是斜边的一半得 OP' = $\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}$，
∴ PQ 长度的最小值 = 2OP' = 1，故选 C.
7. C 解析：记 AC，PQ 相交于点 O，过点 O 作 OP'⊥AB 于点 P'.
∵ 四边形 AQCP 是平行四边形，
∴ AO = CO，PO = QO，
∴ PQ 最短就是 PO 最短，当 PO⊥AB 时 PO 最短，即 P 与 P'重合.
∵ AB = AC = 2，∠B = 75°，
∴ △ABC 是等腰三角形，
∴ ∠BAC = 180° - 2∠B = 30°，
∴ AO = CO = $\frac{1}{2}AC=1$，根据直角三角形中 30°角所对的直角边是斜边的一半得 OP' = $\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}$，
∴ PQ 长度的最小值 = 2OP' = 1，故选 C.