1. (连云港中考)如图,将矩形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠后,点 $D,C$ 分别落在点 $D_1,C_1$ 的位置,$ED_1$ 的延长线交 $BC$ 于点 $G$.若 $∠ EFG = 64°$,则 $∠ EGB$ 等于 (
A.$128°$
B.$130°$
C.$132°$
D.$136°$
A
)A.$128°$
B.$130°$
C.$132°$
D.$136°$
答案：1.A 解析:设$D_{1}C_{1},GF$交点为 H.因为$∠EFG=64^{\circ }$,所以$∠FED=64^{\circ }$,所以$∠EFC=116^{\circ }$,所以$∠EFC_{1}=116^{\circ }$.则$∠GFC_{1}=116^{\circ }-64^{\circ }=52^{\circ }$.因为$∠D_{1}HG=∠FHC_{1},∠FC_{1}H=∠C_{1}D_{1}G=90^{\circ }$,所以$∠FGD_{1}=52^{\circ }$,所以$∠EGB=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }$.故选A.
2. (2025·广州期中)如图,在平面直角坐标系中有一个矩形 $OABC,OA = 3,OC = 6$,将 $△ ABC$ 沿对角线 $AC$ 翻折,使点 $B$ 落在点 $B'$ 处,$AB'$ 与 $y$ 轴交于点 $D$,则点 $D$ 的坐标为 (
A.$(0,-\frac{9}{2})$
B.$(0,-\frac{9}{4})$
C.$(0,-\frac{7}{2})$
D.$(0,-\frac{7}{4})$
]
B
)A.$(0,-\frac{9}{2})$
B.$(0,-\frac{9}{4})$
C.$(0,-\frac{7}{2})$
D.$(0,-\frac{7}{4})$
]
答案：2.B 解析:由折叠的性质可知,$∠B'AC=∠BAC$.
∵ 四边形OABC为矩形,$\therefore OC// AB,\therefore ∠BAC=∠DCA,\therefore ∠B'AC=∠DCA,\therefore AD=CD$.设$OD=x$,则$DC=AD=6-x$.在$Rt△AOD$中,由勾股定理得,$OA^{2}+OD^{2}=AD^{2}$,即$9+x^{2}=(6-x)^{2}$,解得$x=\frac {9}{4}$,
∴ 点 D 的坐标为$(0,\frac {9}{4})$,故选B.
∵ 四边形OABC为矩形,$\therefore OC// AB,\therefore ∠BAC=∠DCA,\therefore ∠B'AC=∠DCA,\therefore AD=CD$.设$OD=x$,则$DC=AD=6-x$.在$Rt△AOD$中,由勾股定理得,$OA^{2}+OD^{2}=AD^{2}$,即$9+x^{2}=(6-x)^{2}$,解得$x=\frac {9}{4}$,
∴ 点 D 的坐标为$(0,\frac {9}{4})$,故选B.
3. (2024·南充中考)如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $AD$ 边上一点,$∠ ABE = 30°$,将 $△ ABE$ 沿 $BE$ 折叠得 $△ FBE$,连接 $CF,DF$,若 $CF$ 平分 $∠ BCD,AB = 2$,则 $DF$ 的长为
]
$\sqrt {2}$
.]答案：
3.$\sqrt {2}$ 解析:如图,过点 F 作$FM⊥BC$于点 M,$FN⊥CD$于点 N,$\therefore ∠CMF=∠CNF=90^{\circ }$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠DCM=∠ABC=90^{\circ },AB=CD=2$,
∴ 四边形 CMFN 是矩形.
∵ CF 平分$∠BCD$,
∴$FM=FN$,$∠DCF=∠BCF=45^{\circ }$,
∴ 四边形 CMFN 是正方形.由折叠性质可知$AB=BF=2,∠ABE=∠FBE=30^{\circ },\therefore ∠FBM=30^{\circ },\therefore MF=1,\therefore CN=NF=MF=CM=1,DN=CD-CN=1$.在$Rt△DNF$中,由勾股定理,得$DF=\sqrt {NF^{2}+DN^{2}}=\sqrt {1^{2}+1^{2}}=\sqrt {2}$.
3.$\sqrt {2}$ 解析:如图,过点 F 作$FM⊥BC$于点 M,$FN⊥CD$于点 N,$\therefore ∠CMF=∠CNF=90^{\circ }$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠DCM=∠ABC=90^{\circ },AB=CD=2$,
∴ 四边形 CMFN 是矩形.
∵ CF 平分$∠BCD$,
∴$FM=FN$,$∠DCF=∠BCF=45^{\circ }$,
∴ 四边形 CMFN 是正方形.由折叠性质可知$AB=BF=2,∠ABE=∠FBE=30^{\circ },\therefore ∠FBM=30^{\circ },\therefore MF=1,\therefore CN=NF=MF=CM=1,DN=CD-CN=1$.在$Rt△DNF$中,由勾股定理,得$DF=\sqrt {NF^{2}+DN^{2}}=\sqrt {1^{2}+1^{2}}=\sqrt {2}$.
4. (2025·江西中考)如图,在矩形纸片 $ABCD$ 中,沿着点 $A$ 折叠纸片并展开,$AB$ 的对应边为 $AB'$,折痕与边 $BC$ 交于点 $P$.当 $AB'$ 与 $AB,AD$ 中任意一边的夹角为 $15°$ 时,$∠ APB$ 的度数可以是
]
82.5°或52.5°或37.5°
.]
答案：
4. 82.5°或52.5°或37.5° 解析:①如图①,$\because ∠BAB'=15^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=15^{\circ }÷2=7.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-7.5^{\circ }=82.5^{\circ }$.
②如图②,$∠BAB'=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=75^{\circ }÷2=37.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-37.5^{\circ }=52.5^{\circ }$.
③如图③,$∠BAB'=90^{\circ }+15^{\circ }=105^{\circ }.\because ∠BAB'=105^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=105^{\circ }÷2=52.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-52.5^{\circ }=37.5^{\circ }$.综上,$∠APB$的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°.
4. 82.5°或52.5°或37.5° 解析:①如图①,$\because ∠BAB'=15^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=15^{\circ }÷2=7.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-7.5^{\circ }=82.5^{\circ }$.
②如图②,$∠BAB'=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=75^{\circ }÷2=37.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-37.5^{\circ }=52.5^{\circ }$.
③如图③,$∠BAB'=90^{\circ }+15^{\circ }=105^{\circ }.\because ∠BAB'=105^{\circ },∠BAP=∠B'AP,\therefore ∠BAP=∠B'AP=105^{\circ }÷2=52.5^{\circ }.\because ∠ABP=90^{\circ },\therefore ∠APB=90^{\circ }-52.5^{\circ }=37.5^{\circ }$.综上,$∠APB$的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°.
5. (2025·盐城期末)如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $AD$ 的中点,将矩形 $ABCD$ 沿 $BE$ 所在的直线折叠,$C,D$ 的对应点分别为 $C',D'$,连接 $AD'$ 交 $BC'$ 于点 $F$.
(1)若 $∠ DED' = 70°$,求 $∠ DAD'$ 的度数;
(2)连接 $EF$,试判断四边形 $C'D'EF$ 的形状,并说明理由.
]
(1)若 $∠ DED' = 70°$,求 $∠ DAD'$ 的度数;
(2)连接 $EF$,试判断四边形 $C'D'EF$ 的形状,并说明理由.
]答案：
5. (1)
∵ 点 E 是 AD 的中点,$\therefore AE=DE$.由翻折可知$D'E=DE,\therefore AE=D'E,\therefore ∠EAD'=∠ED'A.\because ∠DED'=∠EAD'+∠ED'A=70^{\circ },\therefore ∠DAD'=35^{\circ }.$
(2)四边形$C'D'EF$是矩形,理由如下:如图,$BC'$交 AD 于点 G,连接 EF,由翻折可知$∠EBC=∠EBG$,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AD// BC,\therefore ∠EBC=∠GEB,\therefore ∠GBE=∠GEB,\therefore GE=GB.\because ED'// BC',\therefore ∠AFG=∠AD'E,\therefore ∠AFG=∠GAF,\therefore GF=GA,\therefore AE=BF.\because AD=2AE=BC',\therefore BC'=2BF$,
∴ F 是$BC'$的中点,$\therefore FC'=\frac {1}{2}BC'.\because ED'=ED=\frac {1}{2}AD,\therefore FC'=ED'.\because ED'// BC'$,
∴ 四边形$C'D'EF$是平行四边形.$\because ∠C'=∠C=90^{\circ }$,
∴ 平行四边形$C'D'EF$是矩形.
5. (1)
∵ 点 E 是 AD 的中点,$\therefore AE=DE$.由翻折可知$D'E=DE,\therefore AE=D'E,\therefore ∠EAD'=∠ED'A.\because ∠DED'=∠EAD'+∠ED'A=70^{\circ },\therefore ∠DAD'=35^{\circ }.$
(2)四边形$C'D'EF$是矩形,理由如下:如图,$BC'$交 AD 于点 G,连接 EF,由翻折可知$∠EBC=∠EBG$,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AD// BC,\therefore ∠EBC=∠GEB,\therefore ∠GBE=∠GEB,\therefore GE=GB.\because ED'// BC',\therefore ∠AFG=∠AD'E,\therefore ∠AFG=∠GAF,\therefore GF=GA,\therefore AE=BF.\because AD=2AE=BC',\therefore BC'=2BF$,
∴ F 是$BC'$的中点,$\therefore FC'=\frac {1}{2}BC'.\because ED'=ED=\frac {1}{2}AD,\therefore FC'=ED'.\because ED'// BC'$,
∴ 四边形$C'D'EF$是平行四边形.$\because ∠C'=∠C=90^{\circ }$,
∴ 平行四边形$C'D'EF$是矩形.
6. (2025·邯郸期中)如图,把菱形 $ABCD$ 沿 $AH$ 折叠,使 $B$ 点落在 $BC$ 上的 $E$ 点处,若 $∠ B = 70°$,则 $∠ EDC$ 的大小为 (
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$25°$
A
)A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$25°$
答案：6. A 解析:根据菱形的对角相等得$∠ADC=∠B=70^{\circ }.\because AD=AB=AE,\therefore ∠AED=∠ADE$.根据折叠得$∠AEB=∠B=70^{\circ }.\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠AEB=70^{\circ },\therefore ∠ADE=∠AED=(180^{\circ }-∠DAE)÷2=55^{\circ },\therefore ∠EDC=70^{\circ }-55^{\circ }=15^{\circ }$.故选 A.
7. 对角线长分别为 $6$ 和 $8$ 的菱形 $ABCD$ 如图所示,点 $O$ 为对角线的交点,过点 $O$ 折叠菱形,使 $B,B'$ 两点重合,$MN$ 是折痕.若 $B'M = 1$,则 $CN$ 的长为 (
A.$7$
B.$6$
C.$5$
D.$4$
D
)A.$7$
B.$6$
C.$5$
D.$4$
答案：7. D 解析:连接 AC,BD.
∵ 点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点,$\therefore OC=\frac {1}{2}AC=3,OD=\frac {1}{2}BD=4,∠COD=90^{\circ }$.在$Rt△COD$中,$CD=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.\because AB// CD,\therefore ∠MBO=∠NDO$.在$△OBM$和$△ODN$中,$\{\begin{array}{l} ∠MBO=∠NDO,\\ OB=OD,\\ ∠BOM=∠DON,\end{array} \therefore △OBM≌ △ODN(ASA),\therefore DN=BM$.由折叠可知,$BM=B'M=1,\therefore DN=1,\therefore CN=CD-DN=5-1=4$.故选 D.
∵ 点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点,$\therefore OC=\frac {1}{2}AC=3,OD=\frac {1}{2}BD=4,∠COD=90^{\circ }$.在$Rt△COD$中,$CD=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.\because AB// CD,\therefore ∠MBO=∠NDO$.在$△OBM$和$△ODN$中,$\{\begin{array}{l} ∠MBO=∠NDO,\\ OB=OD,\\ ∠BOM=∠DON,\end{array} \therefore △OBM≌ △ODN(ASA),\therefore DN=BM$.由折叠可知,$BM=B'M=1,\therefore DN=1,\therefore CN=CD-DN=5-1=4$.故选 D.
8. (2025·长沙校级月考)如图,把一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为 $60°$ 的菱形,剪口与折痕所成的角 $α$ 的度数应为
]
30°或60°
.]答案：
8. 30°或60° 解析:如图,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore ∠ABD=\frac {1}{2}∠ABC,∠BAC=\frac {1}{2}∠BAD,AD// BC.\because ∠ABC=60^{\circ },\therefore ∠BAD=180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ },∠ABD=30^{\circ },∠BAC=60^{\circ }$.
∴ 剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°.
8. 30°或60° 解析:如图,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore ∠ABD=\frac {1}{2}∠ABC,∠BAC=\frac {1}{2}∠BAD,AD// BC.\because ∠ABC=60^{\circ },\therefore ∠BAD=180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ },∠ABD=30^{\circ },∠BAC=60^{\circ }$.
∴ 剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°.