1. 顺次连接一个四边形的各边中点所得四边形的形状是(
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
A
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案：
1. A 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,根据中位线定理可得$GF=\frac {1}{2}BD$且$GF// BD,EH=\frac {1}{2}BD$且$EH// BD,\therefore EH=FG,EH// FG$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.故选 A.
1. A 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,根据中位线定理可得$GF=\frac {1}{2}BD$且$GF// BD,EH=\frac {1}{2}BD$且$EH// BD,\therefore EH=FG,EH// FG$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.故选 A.
2. 若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形一定是(
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
A
)A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
答案：
2. A 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,连接 AC,BD,$\therefore EH// FG// BD,EH=FG=\frac {1}{2}BD;EF// HG// AC$,$EF=HG=\frac {1}{2}AC$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又$\because AC⊥BD$,$\therefore EH⊥EF,\therefore ∠HEF=90^{\circ }$,
∴ 四边形 EFGH 是矩形.故选 A.
2. A 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,连接 AC,BD,$\therefore EH// FG// BD,EH=FG=\frac {1}{2}BD;EF// HG// AC$,$EF=HG=\frac {1}{2}AC$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又$\because AC⊥BD$,$\therefore EH⊥EF,\therefore ∠HEF=90^{\circ }$,
∴ 四边形 EFGH 是矩形.故选 A.
3. (2025·齐齐哈尔期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(
A.矩形
B.对角线相等的四边形
C.菱形
D.对角线互相垂直的四边形
B
)A.矩形
B.对角线相等的四边形
C.菱形
D.对角线互相垂直的四边形
答案：
3. B 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,连接 AC,BD,有$EH// AC,EH=\frac {1}{2}AC,GF// AC,GF=\frac {1}{2}AC,EF=$$\frac {1}{2}BD,\therefore EH=GF,EH// GF$,
∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.当四边形 EFGH 是菱形时,$EH=EF,\therefore BD=AC$,即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时,该四边形一定是对角线相等的四边形,故选 B.
3. B 解析:如图,E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边中点,连接 AC,BD,有$EH// AC,EH=\frac {1}{2}AC,GF// AC,GF=\frac {1}{2}AC,EF=$$\frac {1}{2}BD,\therefore EH=GF,EH// GF$,
∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.当四边形 EFGH 是菱形时,$EH=EF,\therefore BD=AC$,即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时,该四边形一定是对角线相等的四边形,故选 B.
4. 如图，四边形 $ABCD$，$AEFM$ 都是正方形，连接 $BE$，$DM$。
(1) 判断线段 $DM$，$BE$ 的关系并证明；
(2) 连接 $DE$，$EM$，$MB$，$BD$，顺次连接各边中点 $G$，$H$，$Q$，$N$，试判断四边形 $GHQN$ 的形状，并说明理由。
(1) 判断线段 $DM$，$BE$ 的关系并证明；
(2) 连接 $DE$，$EM$，$MB$，$BD$，顺次连接各边中点 $G$，$H$，$Q$，$N$，试判断四边形 $GHQN$ 的形状，并说明理由。
答案：4. (1)$DM⊥BE,DM=BE$.证明:设 BE 与 DM 交于点 O,BE 与 AD 交于点 P.
∵ 四边形 ABCD,AEFM 都是正方形,$\therefore AM=AE,AD=AB,∠MAE=∠DAB=90^{\circ },\therefore ∠MAD=∠EAB$.在$△ MAD$和$△ EAB$中,$\begin{cases}AM = AE\\∠MAD = ∠EAB\\AD = AB\end{cases}$,$\therefore △ MAD≌ △ EAB$(SAS),$\therefore DM=BE,∠ABE=∠ADM.\because ∠APB=∠EPD$,$\therefore ∠DOP=∠BAP=90^{\circ }$,即$DM⊥BE$.
(2)四边形 GHQN 是正方形.理由:顺次连接 DE,EM,MB,BD 的中点 G,H,Q,N.
∵ G,H 分别是 DE,EM 的中点,$\therefore GH// DM$且$GH=\frac {1}{2}DM$,同理可得$QN// DM$且$QN=\frac {1}{2}DM,HQ// BE$且$HQ=\frac {1}{2}BE,\therefore GH// QN$且$GH=QN$,
∴ 四边形 GHQN 为平行四边形.$\because DM⊥BE,DM=BE$,$\therefore GH⊥HQ$且$GH=HQ$,
∴ 平行四边形 GHQN 是正方形.
∵ 四边形 ABCD,AEFM 都是正方形,$\therefore AM=AE,AD=AB,∠MAE=∠DAB=90^{\circ },\therefore ∠MAD=∠EAB$.在$△ MAD$和$△ EAB$中,$\begin{cases}AM = AE\\∠MAD = ∠EAB\\AD = AB\end{cases}$,$\therefore △ MAD≌ △ EAB$(SAS),$\therefore DM=BE,∠ABE=∠ADM.\because ∠APB=∠EPD$,$\therefore ∠DOP=∠BAP=90^{\circ }$,即$DM⊥BE$.
(2)四边形 GHQN 是正方形.理由:顺次连接 DE,EM,MB,BD 的中点 G,H,Q,N.
∵ G,H 分别是 DE,EM 的中点,$\therefore GH// DM$且$GH=\frac {1}{2}DM$,同理可得$QN// DM$且$QN=\frac {1}{2}DM,HQ// BE$且$HQ=\frac {1}{2}BE,\therefore GH// QN$且$GH=QN$,
∴ 四边形 GHQN 为平行四边形.$\because DM⊥BE,DM=BE$,$\therefore GH⊥HQ$且$GH=HQ$,
∴ 平行四边形 GHQN 是正方形.
5. 改编题 顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫作中点四边形。现有一个对角线的长分别为 10 和 24 的菱形，它的中点四边形的两条对角线长的和为(
A.20
B.26
C.34
D.48
B
)A.20
B.26
C.34
D.48
答案：
5. B 解析:如图,在菱形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,AD 的中点,其中对角线$AC=24,BD=10,\therefore EF// AC// HG,EH// BD// FG,EH=FG=\frac {1}{2}DB=5,EF=HG=\frac {1}{2}AC=12$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.$\because AC⊥BD,\therefore EF⊥EH$,
∴ 平行四边形 EFGH 是矩形,$\therefore HF=\sqrt {EH^{2}+EF^{2}}=13$.
∵ 矩形两条对角线的长度相等,
∴ 两条对角线长的和为 26,故选 B.
5. B 解析:如图,在菱形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,AD 的中点,其中对角线$AC=24,BD=10,\therefore EF// AC// HG,EH// BD// FG,EH=FG=\frac {1}{2}DB=5,EF=HG=\frac {1}{2}AC=12$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.$\because AC⊥BD,\therefore EF⊥EH$,
∴ 平行四边形 EFGH 是矩形,$\therefore HF=\sqrt {EH^{2}+EF^{2}}=13$.
∵ 矩形两条对角线的长度相等,
∴ 两条对角线长的和为 26,故选 B.
6. 如图，四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，且 $AC ⊥ BD$，$AC = BD$，$S_{四边形ABCD} = 8\ cm^{2}$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，则四边形 $EFGH$ 的周长等于
8 cm
。答案：6. 8 cm 解析:
∵ E,F,G,H 分别是线段 AB,BC,CD,AD 的中点,
∴ EH,FG 分别是$△ ABD,△ BCD$的中位线,EF,HG 分别是$△ ABC,△ ACD$的中位线,$\therefore EF// AC,GH// AC$且$EF=\frac {1}{2}AC,GH=\frac {1}{2}AC,FG// BD,EH// BD$且$FG=\frac {1}{2}BD,EH=\frac {1}{2}BD,\therefore EF=GH$且$EF// GH,FG=EH$且$FG// EH$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又$\because AC⊥BD,\therefore EF⊥FG$,
∴ 平行四边形 EFGH 是矩形.$\because AC⊥BD,AC=BD,S_{四边形ABCD}=8cm^{2}$,$\therefore \frac {1}{2}AC· BD=8$,解得$AC=BD=4cm,\therefore EH=HG=GF=EF=2cm$,
∴ 四边形 EFGH 的周长为 8 cm.
∵ E,F,G,H 分别是线段 AB,BC,CD,AD 的中点,
∴ EH,FG 分别是$△ ABD,△ BCD$的中位线,EF,HG 分别是$△ ABC,△ ACD$的中位线,$\therefore EF// AC,GH// AC$且$EF=\frac {1}{2}AC,GH=\frac {1}{2}AC,FG// BD,EH// BD$且$FG=\frac {1}{2}BD,EH=\frac {1}{2}BD,\therefore EF=GH$且$EF// GH,FG=EH$且$FG// EH$,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.又$\because AC⊥BD,\therefore EF⊥FG$,
∴ 平行四边形 EFGH 是矩形.$\because AC⊥BD,AC=BD,S_{四边形ABCD}=8cm^{2}$,$\therefore \frac {1}{2}AC· BD=8$,解得$AC=BD=4cm,\therefore EH=HG=GF=EF=2cm$,
∴ 四边形 EFGH 的周长为 8 cm.
7. (荆州中考改编)如图，已知矩形 $ABCD$ 的边长分别为 $a$，$b$，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形 $ABCD$ 各边的中点，得到四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$；第二次，顺次连接四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 各边的中点，得到四边形 $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}······$ 如此反复操作下去，则第 $n$ 次操作后，得到四边形 $A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$ 的面积是
$\frac {ab}{2^{n}}$
。答案：7.$\frac {ab}{2^{n}}$解析:连接 AC,BD,$A_{1}C_{1},B_{1}D_{1}$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$分别是矩形 ABCD 四条边的中点,$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=\frac {1}{2}BD,A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}=\frac {1}{2}AC.\because AC=BD$,$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$,
∴ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是菱形,
∴ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的面积为$\frac {1}{2}A_{1}C_{1}· B_{1}D_{1}=\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}S_{矩形ABCD}$.同理,四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是平行四边形.$\because A_{1}C_{1}⊥B_{1}D_{1},\therefore C_{2}D_{2}⊥D_{2}A_{2}$,
∴ 平行四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是矩形,
∴ 四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的面积为$C_{2}D_{2}· A_{2}D_{2}=\frac {1}{2}a· \frac {1}{2}b=\frac {1}{4}S_{矩形ABCD}$……按此规律,得四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$的面积是$\frac {ab}{2^{n}}$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$分别是矩形 ABCD 四条边的中点,$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=\frac {1}{2}BD,A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}=\frac {1}{2}AC.\because AC=BD$,$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$,
∴ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是菱形,
∴ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的面积为$\frac {1}{2}A_{1}C_{1}· B_{1}D_{1}=\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}S_{矩形ABCD}$.同理,四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是平行四边形.$\because A_{1}C_{1}⊥B_{1}D_{1},\therefore C_{2}D_{2}⊥D_{2}A_{2}$,
∴ 平行四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是矩形,
∴ 四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的面积为$C_{2}D_{2}· A_{2}D_{2}=\frac {1}{2}a· \frac {1}{2}b=\frac {1}{4}S_{矩形ABCD}$……按此规律,得四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$的面积是$\frac {ab}{2^{n}}$.
8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC = BD = 6$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，求 $EG^{2} + FH^{2}$ 的值。
答案：
8. 如图,连接 EF,FG,GH,EH.
∵ E,H 分别是 AB,DA 的中点,
∴ EH 是$△ ABD$的中位线,$\therefore EH=\frac {1}{2}BD=3.$同理可得 EF,FG,GH 分别是$△ ABC,△ BCD,△ ACD$的中位线,$\therefore EF=GH=\frac {1}{2}AC=3$,$FG=EH=\frac {1}{2}BD=3,\therefore EH=EF=GH=FG=3$,
∴ 四边形 EFGH 为菱形,$\therefore EG⊥HF$.设 EG 与 HF 的交点为 O,$\therefore EG=2OE$,$FH=2OH$.在$Rt△ OEH$中,根据勾股定理,得$OE^{2}+OH^{2}=EH^{2}=9$,等式两边同时乘 4 得$4OE^{2}+4OH^{2}=9×4=36$,$\therefore (2OE)^{2}+(2OH)^{2}=36$,即$EG^{2}+FH^{2}=36$.
8. 如图,连接 EF,FG,GH,EH.
∵ E,H 分别是 AB,DA 的中点,
∴ EH 是$△ ABD$的中位线,$\therefore EH=\frac {1}{2}BD=3.$同理可得 EF,FG,GH 分别是$△ ABC,△ BCD,△ ACD$的中位线,$\therefore EF=GH=\frac {1}{2}AC=3$,$FG=EH=\frac {1}{2}BD=3,\therefore EH=EF=GH=FG=3$,
∴ 四边形 EFGH 为菱形,$\therefore EG⊥HF$.设 EG 与 HF 的交点为 O,$\therefore EG=2OE$,$FH=2OH$.在$Rt△ OEH$中,根据勾股定理,得$OE^{2}+OH^{2}=EH^{2}=9$,等式两边同时乘 4 得$4OE^{2}+4OH^{2}=9×4=36$,$\therefore (2OE)^{2}+(2OH)^{2}=36$,即$EG^{2}+FH^{2}=36$.