10. (1) 如图①,在梯形 $ A B C D $ 中,$ A D // B C $,$ A B = A D = 4 $,$ ∠ B = ∠ C = 60^{\circ} $,那么边 $ B C $ 的长为
(2) 如图②,在梯形 $ A B C D $ 中,$ A B // C D $,$ ∠ D = 2 ∠ B $,$ A B = 16 \mathrm{~cm} $,$ B C = 4 \mathrm{~cm} $,$ A D = 7 \mathrm{~cm} $,那么梯形 $ A B C D $ 的周长为
8
.(2) 如图②,在梯形 $ A B C D $ 中,$ A B // C D $,$ ∠ D = 2 ∠ B $,$ A B = 16 \mathrm{~cm} $,$ B C = 4 \mathrm{~cm} $,$ A D = 7 \mathrm{~cm} $,那么梯形 $ A B C D $ 的周长为
36
$ \mathrm{cm} $.答案：
10.(1)8 解析:如图①,过点A作AH//CD,交BC于点H.
∵AH//CD,AD//BC,
∴四边形ADCH是平行四边形,
∴AD = CH = 4.
∵AH//CD,
∴∠C = ∠AHB = 60°.又
∵∠B = 60°,
∴△ABH是等边三角形,
∴AB = BH = 4,
∴BC = BH + CH = 8.
(2)36 解析:如图②,过D作DE//BC交AB于点E.
∵DC//AB,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴∠CDE = ∠B,DC = EB.
∵∠ADC = 2∠B,
∴∠ADC = 2∠CDE,
∴∠ADE = ∠CDE.
∵∠AED = ∠CDE,
∴∠ADE = ∠AED,
∴AE = AD = 7cm,
∴BE = AB - AE = 16 - 7 = 9(cm),
∴DC = 9cm,
∴梯形ABCD的周长 = AB + BC + CD + DA = 16 + 4 + 9 + 7 = 36(cm).
10.(1)8 解析:如图①,过点A作AH//CD,交BC于点H.
∵AH//CD,AD//BC,
∴四边形ADCH是平行四边形,
∴AD = CH = 4.
∵AH//CD,
∴∠C = ∠AHB = 60°.又
∵∠B = 60°,
∴△ABH是等边三角形,
∴AB = BH = 4,
∴BC = BH + CH = 8.
(2)36 解析:如图②,过D作DE//BC交AB于点E.
∵DC//AB,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴∠CDE = ∠B,DC = EB.
∵∠ADC = 2∠B,
∴∠ADC = 2∠CDE,
∴∠ADE = ∠CDE.
∵∠AED = ∠CDE,
∴∠ADE = ∠AED,
∴AE = AD = 7cm,
∴BE = AB - AE = 16 - 7 = 9(cm),
∴DC = 9cm,
∴梯形ABCD的周长 = AB + BC + CD + DA = 16 + 4 + 9 + 7 = 36(cm).
11. 甲、乙两位同学在学习过“等腰梯形”的相关知识后,分别写出一个命题:
甲同学:等腰梯形同一底上的两个底角相等.
乙同学:同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.
(1) 请判断甲、乙同学所写的命题是真命题还是假命题;
(2) 请证明(1)中的所有真命题.
甲同学:等腰梯形同一底上的两个底角相等.
乙同学:同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.
(1) 请判断甲、乙同学所写的命题是真命题还是假命题;
(2) 请证明(1)中的所有真命题.
答案：
11.(1)甲、乙同学所写的命题都是真命题
(2)证明甲同学:
已知:如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD = BC.
求证:∠A = ∠B,∠C = ∠D.
如图,过点C作CE//AD交AB于点E.
∵AE//CD,AD//CE,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD = CE且∠A = ∠CEB.
∵AD = BC,
∴CE = BC,
∴∠CEB = ∠B,
∴∠A = ∠B.
∵AB//CD,
∴∠A + ∠D = 180°,∠B + ∠BCD = 180°,
∴∠BCD = ∠D.
证明乙同学:
已知:如图,梯形ABCD中,AB//CD,∠A = ∠B.(∠ADC = ∠BCD证明过程同理)
求证:AD = BC.
如图,过点C作CE//AD交AB于点E.
∵AE//CD,AD//CE,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD = CE且∠A = ∠CEB.
∵∠A = ∠B,
∴∠CEB = ∠B,
∴CE = BC,
∴AD = BC.
11.(1)甲、乙同学所写的命题都是真命题
(2)证明甲同学:
已知:如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD = BC.
求证:∠A = ∠B,∠C = ∠D.
如图,过点C作CE//AD交AB于点E.
∵AE//CD,AD//CE,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD = CE且∠A = ∠CEB.
∵AD = BC,
∴CE = BC,
∴∠CEB = ∠B,
∴∠A = ∠B.
∵AB//CD,
∴∠A + ∠D = 180°,∠B + ∠BCD = 180°,
∴∠BCD = ∠D.
证明乙同学:
已知:如图,梯形ABCD中,AB//CD,∠A = ∠B.(∠ADC = ∠BCD证明过程同理)
求证:AD = BC.
如图,过点C作CE//AD交AB于点E.
∵AE//CD,AD//CE,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD = CE且∠A = ∠CEB.
∵∠A = ∠B,
∴∠CEB = ∠B,
∴CE = BC,
∴AD = BC.
12. 如图,梯形 $ A B C D $ 中,$ A D // B C $,且 $ ∠ B + ∠ C = 90^{\circ} $,$ E $,$ F $ 分别是两底的中点,连接 $ E F $,若 $ A B = 8 $,$ C D = 6 $,则 $ E F $ 的长为
5
.答案：
12.5 解析:过点E分别作EG//AB,EH//DC交BC于点G,H (如图),
∴∠B = ∠EGH,∠C = ∠EHG.
∵∠B + ∠C = 90°,
∴∠EGH + ∠EHG = 90°,
∴△EGH是直角三角形.
∵EG//AB,EH//DC,AD//BC,
∴四边形ABGE,EHCD都是平行四边形,
∴AE = BG,ED = HC,EG = AB = 8,EH = DC = 6,在Rt△EGH中,GH = $\sqrt{EG^{2}+EH^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+6^{2}}$ = 10.又
∵E,F分别是两底的中点,
∴AE = ED,BF = FC.
∵AE = BG,ED = HC,
∴GF = FH,即EF是Rt△EGH斜边上的中线,
∴EF = $\frac{1}{2}$GH = 5.
12.5 解析:过点E分别作EG//AB,EH//DC交BC于点G,H (如图),
∴∠B = ∠EGH,∠C = ∠EHG.
∵∠B + ∠C = 90°,
∴∠EGH + ∠EHG = 90°,
∴△EGH是直角三角形.
∵EG//AB,EH//DC,AD//BC,
∴四边形ABGE,EHCD都是平行四边形,
∴AE = BG,ED = HC,EG = AB = 8,EH = DC = 6,在Rt△EGH中,GH = $\sqrt{EG^{2}+EH^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+6^{2}}$ = 10.又
∵E,F分别是两底的中点,
∴AE = ED,BF = FC.
∵AE = BG,ED = HC,
∴GF = FH,即EF是Rt△EGH斜边上的中线,
∴EF = $\frac{1}{2}$GH = 5.
13. 在梯形 $ A B C D $ 中,$ A D // B C $,$ A D ＜ B C $,$ A B = 5 $,$ B C = 5 $,$ A C = 6 $.
(1) 若梯形 $ A B C D $ 是直角梯形,求 $ C D $ 的长;
(2) 设 $ A D = x $,$ C D = y $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式,并写出 $ x $ 的取值范围;
(3) 当梯形 $ A B C D $ 是等腰梯形时,已知 $ ∠ A B C = ∠ D C B $,在直线 $ C D $ 上取一点 $ P $,使得 $ △ B C P $ 是以 $ B C $ 为腰的等腰三角形,直接写出此时 $ △ B C P $ 的底边长.
(1) 若梯形 $ A B C D $ 是直角梯形,求 $ C D $ 的长;
(2) 设 $ A D = x $,$ C D = y $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式,并写出 $ x $ 的取值范围;
(3) 当梯形 $ A B C D $ 是等腰梯形时,已知 $ ∠ A B C = ∠ D C B $,在直线 $ C D $ 上取一点 $ P $,使得 $ △ B C P $ 是以 $ B C $ 为腰的等腰三角形,直接写出此时 $ △ B C P $ 的底边长.
答案：
13.(1)
∵AB = 5,BC = 5,AC = 6,
∴△ABC不可能是直角三角形,即AB与CB不可能垂直.
∵梯形ABCD是直角梯形,
∴BC⊥CD,如图①,过点B作BH⊥AC.
∵AB = BC = 5,
∴AH = HC = $\frac{1}{2}$AC = 3,
∴BH = $\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}$ = 4.过点A作AE⊥BC,则$\frac{1}{2}×BC×AE = \frac{1}{2}×AC×BH$,即$\frac{1}{2}×5AE = \frac{1}{2}×6×4$,解得AE = $\frac{24}{5}$.
∵AD//BC,AE⊥BC,BC⊥CD,
∴四边形AECD是矩形,
∴CD = AE = $\frac{24}{5}$.
(2)如图②,过点A作AE⊥BC,过点D作DF⊥BC,由(1)可知AE = DF = $\frac{24}{5}$,BE = $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$ = $\frac{7}{5}$,
∴EC = BC - BE = $\frac{18}{5}$.
∵AD = x,CD = y,
∴EF = x,
∴FC = $\frac{18}{5}-x$,在Rt△DFC中,DC² = DF² + FC²,
∴y² = ($\frac{24}{5}$)² + ($\frac{18}{5}-x$)²,整理得y² = x² - $\frac{36}{5}$x + 36.同理可知,当点F在点C处或BC的延长线上时,x与y同样满足上述关系式,则y² = x² - $\frac{36}{5}$x + 36(0＜x＜5).
(3)△BCP的底边长为6或$\frac{14}{5}$或8. 解析:①当点P在C,D之间时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,则BC = BP,如图③,过点A作AE⊥BC,过点B作BN⊥DC,由题意知∠ABC = ∠BCN,AB = CB,又
∵∠AEB = ∠BNC,
∴△ABE≌△BCN(AAS),
∴CN = BE = $\frac{7}{5}$,
∴底边PC = 2CN = $\frac{14}{5}$.
②如图④,当点D与点P重合时,BC = PC,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,此时底边BD = AC = 6.
③如图⑤,当点P在DC的延长线上时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,则BC = CP,连接BD.
∵BC = CD = PC = 5,
∴∠DBC = ∠BDC,∠CBP = ∠P,
∴∠DBC + ∠CBP = 90°,即∠DBP = 90°.
∵BD = 6,DP = 10,
∴BP = $\sqrt{DP^{2}-BD^{2}}$ = 8.综上所述,△BCP底边的长为6或$\frac{14}{5}$或8.
13.(1)
∵AB = 5,BC = 5,AC = 6,
∴△ABC不可能是直角三角形,即AB与CB不可能垂直.
∵梯形ABCD是直角梯形,
∴BC⊥CD,如图①,过点B作BH⊥AC.
∵AB = BC = 5,
∴AH = HC = $\frac{1}{2}$AC = 3,
∴BH = $\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}$ = 4.过点A作AE⊥BC,则$\frac{1}{2}×BC×AE = \frac{1}{2}×AC×BH$,即$\frac{1}{2}×5AE = \frac{1}{2}×6×4$,解得AE = $\frac{24}{5}$.
∵AD//BC,AE⊥BC,BC⊥CD,
∴四边形AECD是矩形,
∴CD = AE = $\frac{24}{5}$.
(2)如图②,过点A作AE⊥BC,过点D作DF⊥BC,由(1)可知AE = DF = $\frac{24}{5}$,BE = $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$ = $\frac{7}{5}$,
∴EC = BC - BE = $\frac{18}{5}$.
∵AD = x,CD = y,
∴EF = x,
∴FC = $\frac{18}{5}-x$,在Rt△DFC中,DC² = DF² + FC²,
∴y² = ($\frac{24}{5}$)² + ($\frac{18}{5}-x$)²,整理得y² = x² - $\frac{36}{5}$x + 36.同理可知,当点F在点C处或BC的延长线上时,x与y同样满足上述关系式,则y² = x² - $\frac{36}{5}$x + 36(0＜x＜5).
(3)△BCP的底边长为6或$\frac{14}{5}$或8. 解析:①当点P在C,D之间时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,则BC = BP,如图③,过点A作AE⊥BC,过点B作BN⊥DC,由题意知∠ABC = ∠BCN,AB = CB,又
∵∠AEB = ∠BNC,
∴△ABE≌△BCN(AAS),
∴CN = BE = $\frac{7}{5}$,
∴底边PC = 2CN = $\frac{14}{5}$.
②如图④,当点D与点P重合时,BC = PC,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,此时底边BD = AC = 6.
③如图⑤,当点P在DC的延长线上时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形,则BC = CP,连接BD.
∵BC = CD = PC = 5,
∴∠DBC = ∠BDC,∠CBP = ∠P,
∴∠DBC + ∠CBP = 90°,即∠DBP = 90°.
∵BD = 6,DP = 10,
∴BP = $\sqrt{DP^{2}-BD^{2}}$ = 8.综上所述,△BCP底边的长为6或$\frac{14}{5}$或8.