一、选择题(每小题3分，共24分)
1. (2025·成都中考)下列命题中，假命题是(
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
1. (2025·成都中考)下列命题中，假命题是(
D
)A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
答案：1. D 解析:A,B,C中的命题均为真命题;D.平行四边形的对角线互相平分,不一定相等,为假命题.故选D.
2. (2025·深圳模拟)如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D = 59°，则该楼梯的坡角∠BAC为(
A.59°
B.41°
C.31°
D.49°
C
)A.59°
B.41°
C.31°
D.49°
答案：2. C 解析:
∵ 四边形 ACDE 是平行四边形,
∴ AC//DE,
∴ ∠ACB=∠D=59°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠BAC=90° - ∠ACB=90° - 59°=31°,故选 C.
∵ 四边形 ACDE 是平行四边形,
∴ AC//DE,
∴ ∠ACB=∠D=59°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠BAC=90° - ∠ACB=90° - 59°=31°,故选 C.
3. (2025·孝感期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB = 3，BC = 4，则EF的长是(
A.5
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{5}{4}$
D.3
C
)A.5
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{5}{4}$
D.3
答案：3. C 解析:
∵ AB = 3,BC = 4,
∴ AC = √(AB² + BC²)=5.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AC = BD = 5,BO = DO = 5/2.
∵ 点 E,F 分别是 AO,AD 的中点,
∴ EF = 1/2 OD = 5/4,故选 C.
∵ AB = 3,BC = 4,
∴ AC = √(AB² + BC²)=5.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AC = BD = 5,BO = DO = 5/2.
∵ 点 E,F 分别是 AO,AD 的中点,
∴ EF = 1/2 OD = 5/4,故选 C.
4. (2025·自贡期末)如图，E是▱ABCD边AD延长线上的一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(
A.∠ABD = ∠DCE
B.DF = CF
C.∠AEB = ∠BCD
D.∠AEC = ∠CBD
C
)A.∠ABD = ∠DCE
B.DF = CF
C.∠AEB = ∠BCD
D.∠AEC = ∠CBD
答案：4. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ DE//BC,∠ABD = ∠CDB.
A.
∵ ∠ABD = ∠DCE,
∴ ∠DCE = ∠CDB,
∴ BD//CE,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.
B.
∵ DE//BC,
∴ ∠DEF = ∠CBF.又
∵ ∠DFE = ∠CFB,DF = CF,
∴ △DEF≌△CBF(AAS),
∴ EF = BF.
∵ DF = CF,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.
C.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEB = ∠CBF.
∵ ∠AEB = ∠BCD,
∴ ∠CBF = ∠BCD,
∴ CF = BF,同理,EF = DF,
∴ 不能判定四边形 BCED 为平行四边形.
D.
∵ AE//BC,
∴ ∠DEC + ∠BCE = ∠EDB + ∠DBC = 180°.
∵ ∠AEC = ∠CBD,
∴ ∠BDE = ∠BCE,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ DE//BC,∠ABD = ∠CDB.
A.
∵ ∠ABD = ∠DCE,
∴ ∠DCE = ∠CDB,
∴ BD//CE,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.
B.
∵ DE//BC,
∴ ∠DEF = ∠CBF.又
∵ ∠DFE = ∠CFB,DF = CF,
∴ △DEF≌△CBF(AAS),
∴ EF = BF.
∵ DF = CF,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.
C.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEB = ∠CBF.
∵ ∠AEB = ∠BCD,
∴ ∠CBF = ∠BCD,
∴ CF = BF,同理,EF = DF,
∴ 不能判定四边形 BCED 为平行四边形.
D.
∵ AE//BC,
∴ ∠DEC + ∠BCE = ∠EDB + ∠DBC = 180°.
∵ ∠AEC = ∠CBD,
∴ ∠BDE = ∠BCE,
∴ 四边形 BCED 为平行四边形.故选 C.
5. 新趋势 尺规作图(盘锦中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于$\frac{1}{2}$BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF.下列结论中不一定成立的是(
A.BE = EF
B.EF // CD
C.EA平分∠BEF
D.AB = AE
D
)A.BE = EF
B.EF // CD
C.EA平分∠BEF
D.AB = AE
答案：5. D 解析:由尺规作图可知 AF = AB,AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE = ∠DAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAE = ∠BEA,
∴ ∠BAE = ∠BEA,
∴ AB = BE.
∵ AF = AB,
∴ AF = BE.又
∵ AF//BE,
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形.
∵ AF = AB,
∴ 四边形 ABEF 是菱形,
∴ EA 平分∠BEF,BE = EF,EF//AB,故选项 A,C 正确.
∵ CD//AB,
∴ EF//CD,故选项 B 正确.故选 D.
∴ ∠BAE = ∠DAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAE = ∠BEA,
∴ ∠BAE = ∠BEA,
∴ AB = BE.
∵ AF = AB,
∴ AF = BE.又
∵ AF//BE,
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形.
∵ AF = AB,
∴ 四边形 ABEF 是菱形,
∴ EA 平分∠BEF,BE = EF,EF//AB,故选项 A,C 正确.
∵ CD//AB,
∴ EF//CD,故选项 B 正确.故选 D.
6. (2025·沈阳期末)如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN = 30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为(
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
C
)A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
答案：6. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠MBO = ∠NDO = 45°.
∵ 点 O 为 MN 的中点,
∴ OM = ON.
∵ ∠MPN = 90°,
∴ OM = OP,
∴ ∠PMN = ∠MPO = 30°,
∴ ∠MOB = ∠MPO + ∠PMN = 60°,
∴ ∠BMO = 180° - 60° - 45° = 75°,
∴ ∠AMP = 180° - 75° - 30° = 75°,故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠MBO = ∠NDO = 45°.
∵ 点 O 为 MN 的中点,
∴ OM = ON.
∵ ∠MPN = 90°,
∴ OM = OP,
∴ ∠PMN = ∠MPO = 30°,
∴ ∠MOB = ∠MPO + ∠PMN = 60°,
∴ ∠BMO = 180° - 60° - 45° = 75°,
∴ ∠AMP = 180° - 75° - 30° = 75°,故选 C.
7. 如图，在△ABC中，AB = AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE ⊥ CD，垂足为C，与AD相交于点E.若AD = 8，BC = 6，则$\frac{2OE + AE}{BD}$的值为(
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{5}{4}$
D
)A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{5}{4}$
答案：7. D 解析:
∵ AB = AC,△DBC 和△ABC 关于直线 BC 对称,
∴ AB = AC = CD = BD,
∴ 四边形 ABDC 是菱形,
∴ BC⊥AD,OC = OB,OA = OD.
∵ AD = 8,BC = 6,
∴ OC = OB = 3,OA = OD = 4.在 Rt△COD 中,DC = √(3² + 4²)=5,
∴ AB = AC = CD = BD = 5.
∵ CE⊥CD,
∴ CE² + CD² = DE²,CE² = OE² + CO²,
∴ OE² + 3² + 5² = (OE + 4)²,
∴ OE = 9/4,
∴ AE = AO - OE = 4 - 9/4 = 7/4,
∴ (2OE + AE)/BD = (2×9/4 + 7/4)/5 = 5/4,故选 D.
∵ AB = AC,△DBC 和△ABC 关于直线 BC 对称,
∴ AB = AC = CD = BD,
∴ 四边形 ABDC 是菱形,
∴ BC⊥AD,OC = OB,OA = OD.
∵ AD = 8,BC = 6,
∴ OC = OB = 3,OA = OD = 4.在 Rt△COD 中,DC = √(3² + 4²)=5,
∴ AB = AC = CD = BD = 5.
∵ CE⊥CD,
∴ CE² + CD² = DE²,CE² = OE² + CO²,
∴ OE² + 3² + 5² = (OE + 4)²,
∴ OE = 9/4,
∴ AE = AO - OE = 4 - 9/4 = 7/4,
∴ (2OE + AE)/BD = (2×9/4 + 7/4)/5 = 5/4,故选 D.
8. (2024·浙江中考改编)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC = 1，BD = $\sqrt{3}$.过点A作AE ⊥ BC，交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(
A.x + y
B.x - y
C.xy
D.$x^{2} + y^{2}$
C
)A.x + y
B.x - y
C.xy
D.$x^{2} + y^{2}$
答案：8. C 解析:如图,过点 D 作 DF⊥BC,交 BC 的延长线于点 F.
∵ AE⊥BC,交 BC 于点 E,
∴ ∠AEB = ∠DFC = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = DC,AB//CD,
∴ ∠ABE = ∠DCF,
∴ △ABE≌△DCF(AAS),
∴ AE = DF,BE = CF = x.在 Rt△AEC 中,由勾股定理可得 AE² = AC² - CE² = AC² - (BC - BE)² = 1 - (y - x)².在 Rt△DBF 中,DF² = BD² - BF² = BD² - (BC + CF)² = 3 - (y + x)²,
∴ 1 - (y - x)² = 3 - (y + x)²,
∴ (y + x)² - (y - x)² = 2,
∴ x² + 2xy + y² - y² + 2xy - x² = 2,即 4xy = 2,xy = 1/2,
∴ 当 x,y 的值发生变化时,代数式的值不变的是 xy.故选 C.
∵ AE⊥BC,交 BC 于点 E,
∴ ∠AEB = ∠DFC = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = DC,AB//CD,
∴ ∠ABE = ∠DCF,
∴ △ABE≌△DCF(AAS),
∴ AE = DF,BE = CF = x.在 Rt△AEC 中,由勾股定理可得 AE² = AC² - CE² = AC² - (BC - BE)² = 1 - (y - x)².在 Rt△DBF 中,DF² = BD² - BF² = BD² - (BC + CF)² = 3 - (y + x)²,
∴ 1 - (y - x)² = 3 - (y + x)²,
∴ (y + x)² - (y - x)² = 2,
∴ x² + 2xy + y² - y² + 2xy - x² = 2,即 4xy = 2,xy = 1/2,
∴ 当 x,y 的值发生变化时,代数式的值不变的是 xy.故选 C.