21. （10分）（泰州中考）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A，B不重合）。
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长。
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长。
答案：
21. (1)
∵四边形 $ APCD $ 是正方形，
∴ $ PD $ 平分 $ ∠ APC $，$ PC = PA $，
∴ $ ∠ APD = ∠ CPD = 45^{\circ} $。又 $ PE = PE $，
∴ $ △ AEP ≌ △ CEP(\mathrm{SAS}) $。
(2)$ CF ⊥ AB $。理由如下：如图，设 $ CF $ 与 $ AP $ 交于点 $ M $。
∵ $ △ AEP ≌ △ CEP $，
∴ $ ∠ EAP = ∠ ECP $。
∵ $ ∠ EAP = ∠ BAP $，
∴ $ ∠ BAP = ∠ FCP $。
∵ $ ∠ FCP + ∠ CMP = 90^{\circ} $，$ ∠ AMF = ∠ CMP $，
∴ $ ∠ AMF + ∠ BAP = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ AFM = 90^{\circ} $，
∴ $ CF ⊥ AB $。
(3)如图，作 $ CN ⊥ BG $ 于点 $ N $，
∴ $ ∠ CNP = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ PCN + ∠ CPN = 90^{\circ} $。
∵ $ ∠ APC = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ APB + ∠ CPN = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ PCN = ∠ APB $。在 $ △ ABP $ 和 $ △ PNC $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ B = ∠ PNC = 90 ^ { \circ }, } \\ { ∠ APB = ∠ PCN, } \\ { AP = PC, } \end{array} $
∴ $ △ ABP ≌ △ PNC(\mathrm{AAS}) $，
∴ $ PB = CN $，$ PN = AB = 8 $。
∵ $ ∠ CNP = ∠ B = ∠ CFB = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ BFCN $ 是矩形，
∴ $ CN = BF $，$ CF = BN $，
∴ $ PB = BF $。
∵ $ △ AEP ≌ △ CEP $，
∴ $ EC = EA $，
∴ $ △ AEF $ 的周长 $ = EA + EF + AF = EC + EF + AF = CF + AF = BN + AF = (8 + PB) + (8 - BF) = 16 $。
技法点拨 有多个问题的解答题，在解答后面较难的问题时，一定要想到利用前面已经解决的问题，简单表述为“后问用前问”。“K型”基本图（或“一线三等角”基本图）是常用的基本图，图中出现直角时，构造“K型”基本图是常规解题方法。
21. (1)
∵四边形 $ APCD $ 是正方形，
∴ $ PD $ 平分 $ ∠ APC $，$ PC = PA $，
∴ $ ∠ APD = ∠ CPD = 45^{\circ} $。又 $ PE = PE $，
∴ $ △ AEP ≌ △ CEP(\mathrm{SAS}) $。
(2)$ CF ⊥ AB $。理由如下：如图，设 $ CF $ 与 $ AP $ 交于点 $ M $。
∵ $ △ AEP ≌ △ CEP $，
∴ $ ∠ EAP = ∠ ECP $。
∵ $ ∠ EAP = ∠ BAP $，
∴ $ ∠ BAP = ∠ FCP $。
∵ $ ∠ FCP + ∠ CMP = 90^{\circ} $，$ ∠ AMF = ∠ CMP $，
∴ $ ∠ AMF + ∠ BAP = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ AFM = 90^{\circ} $，
∴ $ CF ⊥ AB $。
(3)如图，作 $ CN ⊥ BG $ 于点 $ N $，
∴ $ ∠ CNP = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ PCN + ∠ CPN = 90^{\circ} $。
∵ $ ∠ APC = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ APB + ∠ CPN = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ PCN = ∠ APB $。在 $ △ ABP $ 和 $ △ PNC $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ B = ∠ PNC = 90 ^ { \circ }, } \\ { ∠ APB = ∠ PCN, } \\ { AP = PC, } \end{array} $
∴ $ △ ABP ≌ △ PNC(\mathrm{AAS}) $，
∴ $ PB = CN $，$ PN = AB = 8 $。
∵ $ ∠ CNP = ∠ B = ∠ CFB = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ BFCN $ 是矩形，
∴ $ CN = BF $，$ CF = BN $，
∴ $ PB = BF $。
∵ $ △ AEP ≌ △ CEP $，
∴ $ EC = EA $，
∴ $ △ AEF $ 的周长 $ = EA + EF + AF = EC + EF + AF = CF + AF = BN + AF = (8 + PB) + (8 - BF) = 16 $。
技法点拨 有多个问题的解答题，在解答后面较难的问题时，一定要想到利用前面已经解决的问题，简单表述为“后问用前问”。“K型”基本图（或“一线三等角”基本图）是常用的基本图，图中出现直角时，构造“K型”基本图是常规解题方法。
22. (12分)(2025·苏州校级月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10。
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)？
答：
(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值。
(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值。
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)？
答：
平行四边形
(直接填空，不用说理)。(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值。
(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值。
答案：
22. (1)平行四边形 解析：由题意，得 $ AE = CF = t $。
∵四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ AD // BC $，$ AD = BC $，
∴ $ ∠ GAE = ∠ HCF $。
∵ $ G $，$ H $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，
∴ $ AG = \dfrac{1}{2}AD $，$ CH = \dfrac{1}{2}BC $，
∴ $ AG = CH $，
∴ $ △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{SAS}) $，
∴ $ EG = FH $，$ ∠ AEG = ∠ CFH $，
∴ $ ∠ FEG = ∠ EFH $，
∴ $ EG // HF $，
∴四边形 $ EGFH $ 是平行四边形.
(2)连接 $ GH $，由(1)得 $ AG = BH $，$ AG // BH $，$ ∠ B = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABHG $ 是矩形，
∴ $ GH = AB = 6 $，则 $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 10 $。如图①，当四边形 $ EGFH $ 是矩形时，则 $ EF = GH = 6 $。
∵ $ AE = CF = t $，
∴ $ EF = 10 - 2t = 6 $，
∴ $ t = 2 $。如图②，当四边形 $ EGFH $ 是矩形时。
∵ $ EF = GH = 6 $，$ AE = CF = t $，
∴ $ EF = t + t - 10 = 2t - 10 = 6 $，
∴ $ t = 8 $。综上，当四边形 $ EGFH $ 为矩形时，$ t = 2 $ 或8.
(3)如图③，连接 $ AH $，$ CG $，$ GH $，设 $ AC $ 与 $ GH $ 交于点 $ O $，$ M $ 为 $ AD $ 边的中点，$ N $ 为 $ BC $ 边的中点。
∵四边形 $ EGFH $ 为菱形，
∴ $ GH ⊥ EF $，$ OG = OH $，$ OE = OF $，
∴ $ OA = OC $，
∴四边形 $ AGCH $ 为菱形，
∴ $ AG = CG $。设 $ AG = CG = x $，则 $ DG = 8 - x $，由勾股定理可得 $ CD^2 + DG^2 = CG^2 $，即 $ 6 ^ { 2 } + ( 8 - x ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，解得 $ x = \dfrac { 25 } { 4 } $，
∴ $ MG = AG - AM = \dfrac { 25 } { 4 } - 4 = \dfrac { 9 } { 4 } $，即 $ t = \dfrac { 9 } { 4 } $。
∴当四边形 $ EGFH $ 为菱形时，$ t = \dfrac { 9 } { 4 } $。
22. (1)平行四边形 解析：由题意，得 $ AE = CF = t $。
∵四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ AD // BC $，$ AD = BC $，
∴ $ ∠ GAE = ∠ HCF $。
∵ $ G $，$ H $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，
∴ $ AG = \dfrac{1}{2}AD $，$ CH = \dfrac{1}{2}BC $，
∴ $ AG = CH $，
∴ $ △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{SAS}) $，
∴ $ EG = FH $，$ ∠ AEG = ∠ CFH $，
∴ $ ∠ FEG = ∠ EFH $，
∴ $ EG // HF $，
∴四边形 $ EGFH $ 是平行四边形.
(2)连接 $ GH $，由(1)得 $ AG = BH $，$ AG // BH $，$ ∠ B = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABHG $ 是矩形，
∴ $ GH = AB = 6 $，则 $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 10 $。如图①，当四边形 $ EGFH $ 是矩形时，则 $ EF = GH = 6 $。
∵ $ AE = CF = t $，
∴ $ EF = 10 - 2t = 6 $，
∴ $ t = 2 $。如图②，当四边形 $ EGFH $ 是矩形时。
∵ $ EF = GH = 6 $，$ AE = CF = t $，
∴ $ EF = t + t - 10 = 2t - 10 = 6 $，
∴ $ t = 8 $。综上，当四边形 $ EGFH $ 为矩形时，$ t = 2 $ 或8.
(3)如图③，连接 $ AH $，$ CG $，$ GH $，设 $ AC $ 与 $ GH $ 交于点 $ O $，$ M $ 为 $ AD $ 边的中点，$ N $ 为 $ BC $ 边的中点。
∵四边形 $ EGFH $ 为菱形，
∴ $ GH ⊥ EF $，$ OG = OH $，$ OE = OF $，
∴ $ OA = OC $，
∴四边形 $ AGCH $ 为菱形，
∴ $ AG = CG $。设 $ AG = CG = x $，则 $ DG = 8 - x $，由勾股定理可得 $ CD^2 + DG^2 = CG^2 $，即 $ 6 ^ { 2 } + ( 8 - x ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，解得 $ x = \dfrac { 25 } { 4 } $，
∴ $ MG = AG - AM = \dfrac { 25 } { 4 } - 4 = \dfrac { 9 } { 4 } $，即 $ t = \dfrac { 9 } { 4 } $。
∴当四边形 $ EGFH $ 为菱形时，$ t = \dfrac { 9 } { 4 } $。
23. (14分)新题型 新定义 阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫作和谐四边形。如正方形就是和谐四边形。结合阅读材料，完成下列问题：
(1)下列四边形一定是和谐四边形的是(
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰梯形
(2)命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是
(3)如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD=90°。若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请求出∠ABC的度数。
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫作和谐四边形。如正方形就是和谐四边形。结合阅读材料，完成下列问题：
(1)下列四边形一定是和谐四边形的是(
C
)A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰梯形
(2)命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是
假
命题(填“真”或“假”)。(3)如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD=90°。若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请求出∠ABC的度数。
答案：
23. (1)C 解析：
∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形一定是和谐四边形。故选C.
(2)假 解析：和谐四边形不一定是轴对称图形，如图①，$ ∠ C = 45^{\circ} $，$ AB = AD $，直角梯形 $ ABCD $ 是和谐四边形，但不是轴对称图形.
(3)
∵ $ AC $ 是凸四边形 $ ABCD $ 的和谐线，且 $ AB = BC $，
∴ $ △ ACD $ 是等腰三角形。
∵在等腰直角三角形 $ ABD $ 中，$ AB = AD $，
∴ $ AB = AD = BC $。
如图②，当 $ AD = AC $ 时，$ AB = AC = BC $，
∴ $ △ ABC $ 是等边三角形，
∴ $ ∠ ABC = 60^{\circ} $。
如图③，当 $ DA = DC $ 时，$ AB = AD = BC = CD $。
∵ $ ∠ BAD = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ ∠ ABC = 90^{\circ} $。
如图④，当 $ CA = CD $ 时，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AD $ 于点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF ⊥ CE $ 于点 $ F $，
∵ $ AC = CD $，$ CE ⊥ AD $，
∴ $ AE = ED $，$ ∠ ACE = ∠ DCE $。
∵ $ ∠ BAD = ∠ AEF = ∠ BFE = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABFE $ 是矩形，
∴ $ BF = AE $。
∵ $ AB = AD = BC $，
∴ $ BF = \dfrac { 1 } { 2 } BC $，
∴ $ ∠ BCF = 30 ^ { \circ } $。
∵ $ AB = BC $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ BAC $。
∵ $ AB // CE $，
∴ $ ∠ BAC = ∠ ACE $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ BAC = \dfrac { 1 } { 2 } ∠ BCF = 15 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ ABC = 180 ^ { \circ } - 15 ^ { \circ } × 2 = 150 ^ { \circ } $。
综上所述，$ ∠ ABC $ 的度数为 $ 60 ^ { \circ } $ 或 $ 90 ^ { \circ } $ 或 $ 150 ^ { \circ } $。
23. (1)C 解析：
∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形一定是和谐四边形。故选C.
(2)假 解析：和谐四边形不一定是轴对称图形，如图①，$ ∠ C = 45^{\circ} $，$ AB = AD $，直角梯形 $ ABCD $ 是和谐四边形，但不是轴对称图形.
(3)
∵ $ AC $ 是凸四边形 $ ABCD $ 的和谐线，且 $ AB = BC $，
∴ $ △ ACD $ 是等腰三角形。
∵在等腰直角三角形 $ ABD $ 中，$ AB = AD $，
∴ $ AB = AD = BC $。
如图②，当 $ AD = AC $ 时，$ AB = AC = BC $，
∴ $ △ ABC $ 是等边三角形，
∴ $ ∠ ABC = 60^{\circ} $。
如图③，当 $ DA = DC $ 时，$ AB = AD = BC = CD $。
∵ $ ∠ BAD = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ ∠ ABC = 90^{\circ} $。
如图④，当 $ CA = CD $ 时，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AD $ 于点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF ⊥ CE $ 于点 $ F $，
∵ $ AC = CD $，$ CE ⊥ AD $，
∴ $ AE = ED $，$ ∠ ACE = ∠ DCE $。
∵ $ ∠ BAD = ∠ AEF = ∠ BFE = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABFE $ 是矩形，
∴ $ BF = AE $。
∵ $ AB = AD = BC $，
∴ $ BF = \dfrac { 1 } { 2 } BC $，
∴ $ ∠ BCF = 30 ^ { \circ } $。
∵ $ AB = BC $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ BAC $。
∵ $ AB // CE $，
∴ $ ∠ BAC = ∠ ACE $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ BAC = \dfrac { 1 } { 2 } ∠ BCF = 15 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ ABC = 180 ^ { \circ } - 15 ^ { \circ } × 2 = 150 ^ { \circ } $。
综上所述，$ ∠ ABC $ 的度数为 $ 60 ^ { \circ } $ 或 $ 90 ^ { \circ } $ 或 $ 150 ^ { \circ } $。