10. 将下列各式分解因式：
(1)$ (p - q)^{2m + 1}+(q - p)^{2m - 1} $；
(2)$ -8a(a + 1)^{2}+2a^{3} $；
(3)$ (x^{2}-2x - 2)(x^{2}-2x + 4)+9 $.
(1)$ (p - q)^{2m + 1}+(q - p)^{2m - 1} $；
(2)$ -8a(a + 1)^{2}+2a^{3} $；
(3)$ (x^{2}-2x - 2)(x^{2}-2x + 4)+9 $.
答案：10.(1)原式$=(p-q)^{2m-1}[(p-q)^{2}-1]=(p-q)^{2m-1}(p-q+1)(p-q-1)$.
(2)原式$=2a[a^{2}-4(a+1)^{2}]=2a[a^{2}-(2a+2)^{2}]=2a(a+2a+2)(a-2a-2)=2a(3a+2)(-a-2)=-2a(3a+2)(a+2)$.
(3)令$x^{2}-2x=t$,则原式$=(t-2)(t+4)+9=t^{2}+2t-8+9=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}$,即原式$=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}$.
(2)原式$=2a[a^{2}-4(a+1)^{2}]=2a[a^{2}-(2a+2)^{2}]=2a(a+2a+2)(a-2a-2)=2a(3a+2)(-a-2)=-2a(3a+2)(a+2)$.
(3)令$x^{2}-2x=t$,则原式$=(t-2)(t+4)+9=t^{2}+2t-8+9=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}$,即原式$=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}$.
11. (1)$ △ ABC $ 的三边 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a^{2}-ab-ac+bc = 0 $，判断 $ △ ABC $ 的形状.
(2)已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c) = 0 $，试判断此三角形的形状.
(2)已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c) = 0 $，试判断此三角形的形状.
答案：11.(1)因为$a^{2}-ab-ac+bc=0$,所以$a(a-b)-c(a-b)=0$,所以$(a-b)(a-c)=0$,所以$a=b$或$a=c$,所以$△ ABC$的形状是等腰三角形.
(2)因为$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)=0$,所以$a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0$.所以$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$.因为$(a-b)^{2}≥0$,$(b-c)^{2}≥0$,所以$a-b=0$且$b-c=0$,所以$a=b=c$.所以$△ ABC$是等边三角形.
(2)因为$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)=0$,所以$a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0$.所以$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$.因为$(a-b)^{2}≥0$,$(b-c)^{2}≥0$,所以$a-b=0$且$b-c=0$,所以$a=b=c$.所以$△ ABC$是等边三角形.
12. 观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：$ a^{2}-1 = (a - 1)(a + 1) $；
第2个等式：$ a^{3}+1 = (a + 1)(a^{2}-a + 1) $；
第3个等式：$ a^{4}-1 = (a - 1)(a^{3}+a^{2}+a + 1) $；
第4个等式：$ a^{5}+1 = (a + 1)(a^{4}-a^{3}+a^{2}-a + 1) $……
(1)请直接写出第5个等式：
(2)计算：①$ (3 - 1)×(3^{5}+3^{3}+3^{4}+3^{2}+3 + 1) = $
②$ 3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3 + 1 = $
(3)计算：$ (4^{10}+2^{10})+(4^{9}-2^{9})+(4^{8}+2^{8})+(4^{7}-2^{7})+···+(4^{2}+2^{2})+4 $.
第1个等式：$ a^{2}-1 = (a - 1)(a + 1) $；
第2个等式：$ a^{3}+1 = (a + 1)(a^{2}-a + 1) $；
第3个等式：$ a^{4}-1 = (a - 1)(a^{3}+a^{2}+a + 1) $；
第4个等式：$ a^{5}+1 = (a + 1)(a^{4}-a^{3}+a^{2}-a + 1) $……
(1)请直接写出第5个等式：
$ a^{6}-1 = (a - 1)(a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a + 1) $
；第6个等式：$ a^{7}+1 = (a + 1)(a^{6}-a^{5}+a^{4}-a^{3}+a^{2}-a + 1) $
.(2)计算：①$ (3 - 1)×(3^{5}+3^{3}+3^{4}+3^{2}+3 + 1) = $
728
；②$ 3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3 + 1 = $
547
.(3)计算：$ (4^{10}+2^{10})+(4^{9}-2^{9})+(4^{8}+2^{8})+(4^{7}-2^{7})+···+(4^{2}+2^{2})+4 $.
答案：12.(1)$a^{6}-1=(a-1)(a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)$ $a^{7}+1=(a+1)(a^{6}-a^{5}+a^{4}-a^{3}+a^{2}-a+1)$
(2)①$728$ 解析：根据规律得$(3-1)×(3^{5}+3^{4}+3^{3}+3^{2}+3+1)=3^{6}-1=728$.
②$547$ 解析：$3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3+1=\frac{1}{4}×(3+1)×(3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3+1)=\frac{1}{4}×(3^{7}+1)=547$.
(3)$(4^{10}+2^{10})+(4^{9}-2^{9})+(4^{8}+2^{8})+(4^{7}-2^{7})+···+(4^{2}+2^{2})+4=4^{10}+2^{10}+4^{9}-2^{9}+4^{8}+2^{8}+4^{7}-2^{7}+···+4^{2}+2^{2}+4=(4^{10}+4^{9}+4^{8}+4^{7}+···+4^{2}+4+1)+(2^{10}-2^{9}+2^{8}-2^{7}+···+2^{2}-2+1)=\frac{1}{3}×(4-1)×(4^{10}+4^{9}+4^{8}+4^{7}+···+4^{2}+4+1)+\frac{1}{3}×(2+1)×(2^{10}-2^{9}+2^{8}-2^{7}+···+2^{2}-2+1)=\frac{1}{3}×(4^{11}-1)+\frac{1}{3}×(2^{11}+1)=\frac{1}{3}×4^{11}+\frac{1}{3}×2^{11}$.
(2)①$728$ 解析：根据规律得$(3-1)×(3^{5}+3^{4}+3^{3}+3^{2}+3+1)=3^{6}-1=728$.
②$547$ 解析：$3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3+1=\frac{1}{4}×(3+1)×(3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3+1)=\frac{1}{4}×(3^{7}+1)=547$.
(3)$(4^{10}+2^{10})+(4^{9}-2^{9})+(4^{8}+2^{8})+(4^{7}-2^{7})+···+(4^{2}+2^{2})+4=4^{10}+2^{10}+4^{9}-2^{9}+4^{8}+2^{8}+4^{7}-2^{7}+···+4^{2}+2^{2}+4=(4^{10}+4^{9}+4^{8}+4^{7}+···+4^{2}+4+1)+(2^{10}-2^{9}+2^{8}-2^{7}+···+2^{2}-2+1)=\frac{1}{3}×(4-1)×(4^{10}+4^{9}+4^{8}+4^{7}+···+4^{2}+4+1)+\frac{1}{3}×(2+1)×(2^{10}-2^{9}+2^{8}-2^{7}+···+2^{2}-2+1)=\frac{1}{3}×(4^{11}-1)+\frac{1}{3}×(2^{11}+1)=\frac{1}{3}×4^{11}+\frac{1}{3}×2^{11}$.
13. (2025·大庆期中)阅读下列材料：对于多项式 $ x^{2}+x - 2 $，如果我们把 $ x = 1 $ 代入此多项式，发现 $ x^{2}+x - 2 $ 的值为 0，这时可以确定多项式中有因式 $ (x - 1) $；同理，可以确定多项式中有另一个因式 $ (x + 2) $，于是我们可以得到 $ x^{2}+x - 2 = (x - 1)(x + 2) $.
又如：对于多项式 $ 2x^{2}-3x - 2 $，发现当 $ x = 2 $ 时，$ 2x^{2}-3x - 2 $ 的值为 0，则多项式 $ 2x^{2}-3x - 2 $ 有一个因式 $ (x - 2) $，我们可设 $ 2x^{2}-3x - 2 = (x - 2)(mx + n) $，解得 $ m = 2 $，$ n = 1 $，于是我们可以得到 $ 2x^{2}-3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) $.
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 $ x = $
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：①$ 2x^{2}+5x + 3 $；②$ x^{3}-7x + 6 $.
(3)已知 $ x^{2}+2x + 1 $ 是多项式 $ x^{3}-x^{2}+ax + b $ 的一个因式，求 $ a $，$ b $ 的值，并将该多项式因式分解.
又如：对于多项式 $ 2x^{2}-3x - 2 $，发现当 $ x = 2 $ 时，$ 2x^{2}-3x - 2 $ 的值为 0，则多项式 $ 2x^{2}-3x - 2 $ 有一个因式 $ (x - 2) $，我们可设 $ 2x^{2}-3x - 2 = (x - 2)(mx + n) $，解得 $ m = 2 $，$ n = 1 $，于是我们可以得到 $ 2x^{2}-3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) $.
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 $ x = $
1(或$-\frac{5}{6}$)
时，多项式 $ 6x^{2}-x - 5 $ 的值为 0，所以多项式 $ 6x^{2}-x - 5 $ 有因式$ x - 1 $(或$ 6x + 5 $)
，从而因式分解 $ 6x^{2}-x - 5 = $$(x - 1)(6x + 5)$
.(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：①$ 2x^{2}+5x + 3 $；②$ x^{3}-7x + 6 $.
(3)已知 $ x^{2}+2x + 1 $ 是多项式 $ x^{3}-x^{2}+ax + b $ 的一个因式，求 $ a $，$ b $ 的值，并将该多项式因式分解.
答案：
13.(1)$1$(或$-\frac{5}{6}$) $x-1$(或$6x+5$) $(x-1)(6x+5)$
解析：当$x=1$时,$6x^{2}-x-5=0$,设$6x^{2}-x-5=(x-1)(mx+n)$,解得$m=6$,$n=5$,所以因式分解$6x^{2}-x-5=(x-1)(6x+5)$.
(2)①当$x=-1$时,$2x^{2}+5x+3=0$,所以$2x^{2}+5x+3=(x+1)(2x+3)$.
②当$x=1$时,$x^{3}-7x+6=0$,所以$x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$.
(3)设$x^{3}-x^{2}+ax+b=(x^{2}+2x+1)(x+m)$,则$x^{3}-x^{2}+ax+b=x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m+1)x+m$,所以$m+2=-1$,$2m+1=a$,$m=b$,解得$a=-5$,$b=-3$,$m=-3$.所以$x^{3}-x^{2}-5x-3=(x^{2}+2x+1)(x-3)=(x+1)^{2}(x-3)$.
知识拓展 利用整式除法进行因式分解
确定多项式的因式后，也可用整式的除法进行因式分解，如下:
已知多项式$x^{3}+2x^{2}-2x-1$,把$x=1$代入发现$x^{3}+2x^{2}-2x-1=0$,则该多项式有因式$(x-1)$,接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其他因式,如图所示,则可得$x^{3}+2x^{2}-2x-1=(x-1)(x^{2}+3x+1)$.
13.(1)$1$(或$-\frac{5}{6}$) $x-1$(或$6x+5$) $(x-1)(6x+5)$
解析：当$x=1$时,$6x^{2}-x-5=0$,设$6x^{2}-x-5=(x-1)(mx+n)$,解得$m=6$,$n=5$,所以因式分解$6x^{2}-x-5=(x-1)(6x+5)$.
(2)①当$x=-1$时,$2x^{2}+5x+3=0$,所以$2x^{2}+5x+3=(x+1)(2x+3)$.
②当$x=1$时,$x^{3}-7x+6=0$,所以$x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$.
(3)设$x^{3}-x^{2}+ax+b=(x^{2}+2x+1)(x+m)$,则$x^{3}-x^{2}+ax+b=x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m+1)x+m$,所以$m+2=-1$,$2m+1=a$,$m=b$,解得$a=-5$,$b=-3$,$m=-3$.所以$x^{3}-x^{2}-5x-3=(x^{2}+2x+1)(x-3)=(x+1)^{2}(x-3)$.
知识拓展 利用整式除法进行因式分解
确定多项式的因式后，也可用整式的除法进行因式分解，如下:
已知多项式$x^{3}+2x^{2}-2x-1$,把$x=1$代入发现$x^{3}+2x^{2}-2x-1=0$,则该多项式有因式$(x-1)$,接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其他因式,如图所示,则可得$x^{3}+2x^{2}-2x-1=(x-1)(x^{2}+3x+1)$.