一、选择题(每小题3分，共24分)
1. (2025·张掖期中)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(
A.$(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9$
B.$a^2 - 4a + 4 = a(a - 4) + 4$
C.$5ax^2 - 5ay^2 = 5a(x + y)(x - y)$
D.$a^2 - 2a - 8 = (a - 2)(a + 4)$
1. (2025·张掖期中)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(
C
)A.$(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9$
B.$a^2 - 4a + 4 = a(a - 4) + 4$
C.$5ax^2 - 5ay^2 = 5a(x + y)(x - y)$
D.$a^2 - 2a - 8 = (a - 2)(a + 4)$
答案：1. C 解析：A.不是因式分解的形式，故选项A错误；B.$a^{2}-4a+4=(a-2)^{2}$，故选项B错误；C.$5ax^{2}-5ay^{2}=5a(x^{2}-y^{2})=5a·(x+y)(x-y)$，故选项C正确；D.$(a-2)(a+4)=a^{2}+2a-8$，和原式不符，故选项D错误.故选C.
2. 多项式$m^2 - m$与多项式$2m^2 - 4m + 2$的公因式是(
A. $m - 1$
A
)A. $m - 1$
答案：2. A 解析：$m^{2}-m=m(m-1)$，$2m^{2}-4m+2=2(m-1)(m-1)$，$m^{2}-m$与多项式$2m^{2}-4m+2$的公因式是$(m-1)$，故选A.
3. 要使$x^2 + mx + 4 = (x + 2)^2$成立，那么$m$的值是(
A.4
B.-4
C.2
D.-2
A
)A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案：3. A 解析：$\because(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$，$\therefore m=4$，故选A.
4. 下列多项式：①$x^2 - 2xy + 4y^2$；②$a^2 - 2a + 3$；③$x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2$；④$m^2 - (-n)^2$。其中能进行因式分解的有(
A.①②
B.③④
C.①③④
D.①②③
B
)A.①②
B.③④
C.①③④
D.①②③
答案：4. B 解析：①$x^{2}-2xy+4y^{2}$不能分解；②$a^{2}-2a+3$不能分解；③$x^{2}+xy+\frac{1}{4}y^{2}=(x+\frac{1}{2}y)^{2}$；④$m^{2}-(-n)^{2}=(m+n)(m-n)$，故选B.
5. (2025·宁波期末)关于$x$的代数式$3x^2 + mx - 8$分解因式得$(x - 2)(nx + 4)$，则$n^m$的值为(
A.3
B.9
C.$\frac{1}{9}$
D.-2
C
)A.3
B.9
C.$\frac{1}{9}$
D.-2
答案：5. C 解析：由题意得$3x^{2}+mx-8=(x-2)(nx+4)=nx^{2}+(4-2n)x-8$，$\therefore n=3$，$m=4-2n=4-2×3=-2$，$\therefore n^{m}=3^{-2}=\frac{1}{9}$.故选C.
6. (2025·武威期末)若$n$为任意整数，$(n + 11)^2 - n^2$的值总可以被$k$整除，则$k$等于(
A.11
B.22
C.11或12
D.11的倍数
A
)A.11
B.22
C.11或12
D.11的倍数
答案：6. A 解析：$(n+11)^{2}-n^{2}=(n+11+n)(n+11-n)=11(2n+11)$.$\because11(2n+11)$是11的倍数，$\therefore(n+11)^{2}-n^{2}$可以被11整除，$\therefore k=11$.故选A.
7. 设$a = 7^3×1412$，$b = 932^2 - 480^2$，$c = 515^2 - 191^2$，则数$a$，$b$，$c$的大小关系是(
A.$c ＜ b ＜ a$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$a ＜ c ＜ b$
B
)A.$c ＜ b ＜ a$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$a ＜ c ＜ b$
答案：7. B 解析：$a=7^{3}×1412=1412×343$，$b=(932+480)×(932-480)=1412×452$，$c=515^{2}-191^{2}=(515+191)×(515-191)=706×324=1412×162$.$\because452＞343＞162$，$\therefore1412×452＞1412×343＞1412×162$，即$b＞a＞c$.故选B.
8. 已知$a^2(b + c) = b^2(a + c) = 2025$，且$a ≠ b$，则$-abc$的值为(
A.2025
B.-2025
C.4050
D.-4050
A
)A.2025
B.-2025
C.4050
D.-4050
答案：8. A 解析：因为$a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=2025$，所以$a^{2}b+a^{2}c-b^{2}a-b^{2}c=0$，整理，得$ab(a-b)+c(a^{2}-b^{2})=0$，则$ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0$，即$(a-b)(ab+ac+bc)=0$.因为$a≠ b$，所以$ab+ac+bc=0$，即$ab+bc=-ac$.由$b^{2}(a+c)=2025$，得$b(ab+bc)=2025$，所以$-abc=2025$.故选A.
二、填空题(每小题3分，共30分)
9. (2025·东营中考)分解因式：$2m^3 - 12m^2 + 18m =$
9. (2025·东营中考)分解因式：$2m^3 - 12m^2 + 18m =$
$2m(m-3)^{2}$
。答案：9. $2m(m-3)^{2}$ 解析：原式$=2m(m^{2}-6m+9)=2m(m-3)^{2}$.
解析：
$2m(m-3)^{2}$
10. (2025·成都中考)多项式$4x^2 + 1$加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
$4x$（答案不唯一）
(填一个即可)。答案：10. $4x$（答案不唯一） 解析：加上$4x$后，$4x^{2}+4x+1=(2x+1)^{2}$，符合题意.
知识拓展 本题需列举所有情况，可以设加上的单项式为$m$，从以下思路考虑：
①当$4x^{2}$和1是平方项时，则$m=\pm2×2x×1=\pm4x$；
②当$m$和1是平方项时，则$4x^{2}=\pm2×\sqrt{m}×1$，得$m=4x^{4}$.
若本题中的各式不限定为整式，则还可以从以下思路考虑：
③当$4x^{2}$和$m$是平方项时，则$1=\pm2×2x×\sqrt{m}$，得$m=\frac{1}{16x^{2}}$.
知识拓展 本题需列举所有情况，可以设加上的单项式为$m$，从以下思路考虑：
①当$4x^{2}$和1是平方项时，则$m=\pm2×2x×1=\pm4x$；
②当$m$和1是平方项时，则$4x^{2}=\pm2×\sqrt{m}×1$，得$m=4x^{4}$.
若本题中的各式不限定为整式，则还可以从以下思路考虑：
③当$4x^{2}$和$m$是平方项时，则$1=\pm2×2x×\sqrt{m}$，得$m=\frac{1}{16x^{2}}$.
11. (2025·内江中考)已知实数$a$，$b$满足$a + b = 2$，则$a^2 - b^2 + 4b =$
4
。答案：11. 4 解析：$\because a+b=2$，$\therefore a^{2}-b^{2}+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)=2×2=4$.
12. 将$x^n - y^n$分解因式的结果为$(x^2 + y^2)(x + y)·(x - y)$，则$n$的值为
4
。答案：12. 4 解析：$(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)=(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=x^{4}-y^{4}$.故$n$的值为4.
13. 若$\vert m - 1\vert + \sqrt{n^2 - 18n + 81} = 0$，将$mx^2 - ny^2$分解因式得
$(x+3y)(x-3y)$
。答案：13. $(x+3y)(x-3y)$ 解析：由题意可得，$m-1=0$且$n^{2}-18n+81=0$，即$m=1$，$(n-9)^{2}=0$，$\therefore n=9$，则$mx^{2}-ny^{2}=x^{2}-9y^{2}=(x+3y)(x-3y)$.
解析：
$\because |m - 1| + \sqrt{n^2 - 18n + 81} = 0$，且$|m - 1| ≥ 0$，$\sqrt{n^2 - 18n + 81} ≥ 0$，
$\therefore m - 1 = 0$，$n^2 - 18n + 81 = 0$，
$\therefore m = 1$，$(n - 9)^2 = 0$，
$\therefore n = 9$，
$\therefore mx^2 - ny^2 = x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)$。
$\therefore m - 1 = 0$，$n^2 - 18n + 81 = 0$，
$\therefore m = 1$，$(n - 9)^2 = 0$，
$\therefore n = 9$，
$\therefore mx^2 - ny^2 = x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)$。
14. (2025·郑州期中)把一段长$36cm$的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是$27cm^2$，则这两个正方形的边长相差
3
cm。答案：14. 3 解析：设围成的两个正方形的边长分别为$a\ cm$，$b\ cm(a＞b)$，根据题意，得$4a+4b=36$，$\therefore a+b=9$.$\because$这两个正方形的面积之差是$27\ cm^{2}$，$\therefore a^{2}-b^{2}=27$，$\therefore(a+b)(a-b)=27$，$\therefore9(a-b)=27$，$\therefore a-b=3$，即这两个正方形的边长相差3cm.
解析：
设围成的两个正方形的边长分别为$a\ \mathrm{cm}$，$b\ \mathrm{cm}(a ＞ b)$。
由题意得：$4a + 4b = 36$，化简得$a + b = 9$。
因为两个正方形的面积之差是$27\ \mathrm{cm}^2$，所以$a^2 - b^2 = 27$。
又因为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$a + b = 9$代入可得：$9(a - b) = 27$，解得$a - b = 3$。
3
由题意得：$4a + 4b = 36$，化简得$a + b = 9$。
因为两个正方形的面积之差是$27\ \mathrm{cm}^2$，所以$a^2 - b^2 = 27$。
又因为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$a + b = 9$代入可得：$9(a - b) = 27$，解得$a - b = 3$。
3
15. 甲、乙两人在对$x^2 + ax + b$进行因式分解时，甲看错了$a$，得到的结果为$(x + 4)^2$；乙看错了$b$，得到的结果为$(x + 1)(x + 9)$，则$x^2 + ax + b$因式分解的正确结果为
$(x+2)(x+8)$
。答案：15. $(x+2)(x+8)$ 解析：因为$(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$，所以$b=16$.因为$(x+1)(x+9)=x^{2}+10x+9$，所以$a=10$.则$x^{2}+10x+16=x^{2}+10x+25-25+16=(x+5)^{2}-9=(x+5)^{2}-3^{2}=(x+5+3)·(x+5-3)=(x+2)(x+8)$.
解析：
因为$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$，甲看错了$a$，所以$b = 16$。
因为$(x + 1)(x + 9) = x^2 + 10x + 9$，乙看错了$b$，所以$a = 10$。
则$x^2 + ax + b = x^2 + 10x + 16$，因式分解得$(x + 2)(x + 8)$。
因为$(x + 1)(x + 9) = x^2 + 10x + 9$，乙看错了$b$，所以$a = 10$。
则$x^2 + ax + b = x^2 + 10x + 16$，因式分解得$(x + 2)(x + 8)$。
16. 如图，将一块长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为$m$的大正方形，三块是边长都为$n$的小正方形，七块是长为$m$，宽为$n$的完全相同的小长方形。观察图形，可以发现代数式$2m^2 + 7mn + 3n^2$可以因式分解为$2m^2 + 7mn + 3n^2 =$
$(2m+n)(m+3n)$
。答案：16. $(2m+n)(m+3n)$ 解析：由题图可知，长方形纸板的两条邻边的长分别为$(2m+n)$，$(m+3n)$，$\therefore$长方形纸板的面积为$(2m+n)(m+3n)$.又长方形纸板的面积为$2m^{2}+7mn+3n^{2}$，$\therefore2m^{2}+7mn+3n^{2}=(2m+n)(m+3n)$.
解析：
$(2m+n)(m+3n)$