1. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…计算 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2}+13^{2}$ 这样的算式时有简便方法吗？明明遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼在一起进行研究。
（1）观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。
$1^{2}=1×2 - 1$
$1^{2}+2^{2}=2×3 - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2}+13^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
（2）若按此规律继续拼图形，则序号为（
（1）观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。
$1^{2}=1×2 - 1$
$1^{2}+2^{2}=2×3 - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2}+13^{2}=(\quad)×(\quad) - 1$
（2）若按此规律继续拼图形，则序号为（
⑦
）的图形面积是 713。答案：1.(1)3 5 5 8 13 21 (2)⑦ 解析：观察图形和算式发现，拼成的图形可看成一个长方形减去一个边长为1的正方形，假设补上一个边长为1的正方形，这个图形就成为一个长方形，长方形的宽等于这一列数最后一个数，长方形的长等于这一列数最后一个数与倒数第二个数的和，那么求这一列数的平方和就相当于求长方形的面积，所以图中所求图形面积分别为$1^2 + 2^2 + 3^2 = 3 × 5 - 1$，$1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 = 5 × 8 - 1$，$1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 = 13 × 21 - 1$。观察这组数1,1,2,3,5,8,13······可发现，后一个数是前两个数的和，由此可知，这组数继续往后写为1,1,2,3,5,8,13,21······$21 × (13 + 21) - 1 = 713$，即$1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 + 21^2 = 21 × 34 - 1$，所以序号为⑦。
解析：
（1）3 5；5 8；13 21
（2）⑦
（2）⑦
2. A、B、C、D、E 五位运动员参加羽毛球循环赛，每两位之间都比一场，每场比赛规定胜者得 2 分，负者得 0 分，已知比赛结果如下：
（1）A 与 B 并列第一名。
（2）C 是第二名。
（3）D 与 E 并列第三名。
求 C 的得分。
（1）A 与 B 并列第一名。
（2）C 是第二名。
（3）D 与 E 并列第三名。
求 C 的得分。
答案：2.C得了4分。 解析：根据题意可知，比赛的场数共为$5 × (5 - 1) ÷ 2 = 10$(场)，由于A、B并列第一名，所以A、B不可能都赢4场，最多赢3场；D、E并列第三名，所以D、E不可能都输4场，至少赢1场。根据名次可知，5人得了3种不同的分数，可以确定10场比赛A、B各赢了3场，C赢了2场，D、E各赢了1场，则C得了4分。
解析：
比赛总场数：$5×(5-1)÷2=10$场，总分为$10×2=20$分。
A、B并列第一，最多各赢3场（若赢4场则需胜其他4人，A、B间比赛必有一负，矛盾），各得$3×2=6$分，共$6×2=12$分。
D、E并列第三，至少各赢1场（若赢0场则全负，得分相同但名次应在最后，与C是第二名矛盾），各得$1×2=2$分，共$2×2=4$分。
C的得分为$20-12-4=4$分。
C的得分是$4$分。
A、B并列第一，最多各赢3场（若赢4场则需胜其他4人，A、B间比赛必有一负，矛盾），各得$3×2=6$分，共$6×2=12$分。
D、E并列第三，至少各赢1场（若赢0场则全负，得分相同但名次应在最后，与C是第二名矛盾），各得$1×2=2$分，共$2×2=4$分。
C的得分为$20-12-4=4$分。
C的得分是$4$分。
3. 有 9 个大小、颜色都相同的玻璃球，其中有一个次品比其他正品的质量轻些。用一台天平(不用砝码)，至少要称(
2
)次就可以把次品挑出来。答案：3.2 解析：第一次：在天平两端各放3个玻璃球，若平衡，则次品在剩下的3个玻璃球中；若不平衡，则轻的一端的3个玻璃球中有次品。第二次：从含有次品的3个玻璃球中取2个分别放在天平两端，若平衡，则剩下的玻璃球是次品；若不平衡，则轻的一端是次品。
4. 从下面 5 组积木中选取 3 组积木可以拼成下面的正方体，正确的是(
A.①②③
B.①③④
C.②③⑤
D.③④⑤
B
)。A.①②③
B.①③④
C.②③⑤
D.③④⑤
答案：4.B