5. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}5x + 1 ＞ 3(x - 1), \\ \frac{1}{2}x ≤ 8 - \frac{3}{2}x + 2a\end{cases}$恰好有两个整数解，求$a$的取值范围.
答案：解: 解不等式 $ 5x + 1 ＞ 3(x - 1) $，得 $ x ＞ -2 $，解不等式 $ \frac{1}{2}x ≤ 8 - \frac{3}{2}x + 2a $，得 $ x ≤ 4 + a $，
则不等式组的解集为 $ -2 ＜ x ≤ 4 + a $。因为不等式组恰好有两个整数解，所以这两个整数解为 $ -1 $ 和 $ 0 $，所以 $ 0 ≤ 4 + a ＜ 1 $，解得 $ -4 ≤ a ＜ -3 $。
则不等式组的解集为 $ -2 ＜ x ≤ 4 + a $。因为不等式组恰好有两个整数解，所以这两个整数解为 $ -1 $ 和 $ 0 $，所以 $ 0 ≤ 4 + a ＜ 1 $，解得 $ -4 ≤ a ＜ -3 $。
6. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如，方程$2x - 6 = 0$的解为$x = 3$，不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\ x ＜ 4\end{cases}$的解集为$1 ＜ x ＜ 4$. 因为$1 ＜ 3 ＜ 4$，所以称方程$2x - 6 = 0$是不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\ x ＜ 4\end{cases}$的关联方程.
(1)若不等式组$\begin{cases}3x + 6 ＞ x + 1, \\ x ＞ 3(x + 1)\end{cases}$的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是$x + m = 0$，则常数$m =$ ______ .
(2)是否存在整数$m$，使得方程$\frac{x + 3}{2} = 1$和$\frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3}$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2\end{cases}$的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数$m$的值；若不存在，请说明理由.
(1)若不等式组$\begin{cases}3x + 6 ＞ x + 1, \\ x ＞ 3(x + 1)\end{cases}$的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是$x + m = 0$，则常数$m =$ ______ .
(2)是否存在整数$m$，使得方程$\frac{x + 3}{2} = 1$和$\frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3}$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2\end{cases}$的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数$m$的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1) 2
(2) 解: 不存在。
理由: 解 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $，得 $ x = -1 $；
解 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $，得 $ x = 2 $。
解不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 得 $ 2 - m ＜ x ≤ \frac{2 - 3m}{2} $，
假如方程 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $ 和 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $ 都是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 的关联方程，
则 $ 2 - m ＜ -1 $ 且 $ \frac{2 - 3m}{2} ≥ 2 $，解不等式组 $ \begin{cases} 2 - m ＜ -1, \\ \frac{2 - 3m}{2} ≥ 2, \end{cases} $ 无解，
所以不存在整数 $ m $，使得方程 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $ 和 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $ 都是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 的关联方程。
(2) 解: 不存在。
理由: 解 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $，得 $ x = -1 $；
解 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $，得 $ x = 2 $。
解不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 得 $ 2 - m ＜ x ≤ \frac{2 - 3m}{2} $，
假如方程 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $ 和 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $ 都是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 的关联方程，
则 $ 2 - m ＜ -1 $ 且 $ \frac{2 - 3m}{2} ≥ 2 $，解不等式组 $ \begin{cases} 2 - m ＜ -1, \\ \frac{2 - 3m}{2} ≥ 2, \end{cases} $ 无解，
所以不存在整数 $ m $，使得方程 $ \frac{x + 3}{2} = 1 $ 和 $ \frac{x + 2}{2} + 1 = \frac{x + 7}{3} $ 都是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + m ＞ 2, \\ 2x + 3m ≤ 2 \end{cases} $ 的关联方程。
7. (2024·淮安区期末)阅读材料：如果$x$是一个有理数，我们把不超过$x$的最大整数记作$[x]$. 例如，$[3.2] = 3$，$[5] = 5$，$[-2.1] = -3$. 那么，$x = [x] + a$，其中$0 ≤ a ＜ 1$. 例如，$3.2 = [3.2] + 0.2$，$5 = [5] + 0$，$-2.1 = [-2.1] + 0.9$.
请解答下列问题：
(1)$[4.8] =$
(2)如果$[x] = 3$，那么$x$的取值范围是
(3)如果$[3.5x - 2] = 2x + 1$，求$x$的值；
(4)如果$x = [x] + a$，其中$0 ≤ a ＜ 1$，且$2a = [x] - 1$，求$x$的值.
请解答下列问题：
(1)$[4.8] =$
4
，$[-6.5] =$-7
；(2)如果$[x] = 3$，那么$x$的取值范围是
$3 ≤ x ＜ 4$
；(3)如果$[3.5x - 2] = 2x + 1$，求$x$的值；
(4)如果$x = [x] + a$，其中$0 ≤ a ＜ 1$，且$2a = [x] - 1$，求$x$的值.
答案：(1) 4 $ -7 $
(2) $ 3 ≤ x ＜ 4 $
(3) 解: 因为 $ [3.5x - 2] = 2x + 1 $，所以 $ 2x + 1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2 $，解得 $ 2 ≤ x ＜ \frac{8}{3} $。
因为 $ 2x + 1 $ 是整数，所以 $ x $ 的值为 2 或 2.5。
(4) 解: 因为 $ x = [x] + a $，其中 $ 0 ≤ a ＜ 1 $，所以 $ [x] = x - a $。
因为 $ 2a = [x] - 1 $，所以 $ a = \frac{[x] - 1}{2} $。
因为 $ 0 ≤ a ＜ 1 $，所以 $ 0 ≤ \frac{[x] - 1}{2} ＜ 1 $，所以 $ 1 ≤ [x] ＜ 3 $，
所以 $ [x] = 1 $ 或 $ [x] = 2 $。当 $ [x] = 1 $ 时，$ a = 0 $，$ x = 1 $；
当 $ [x] = 2 $ 时，$ a = \frac{1}{2} $，$ x = 2.5 $，所以 $ x $ 的值为 1 或 2.5。
(2) $ 3 ≤ x ＜ 4 $
(3) 解: 因为 $ [3.5x - 2] = 2x + 1 $，所以 $ 2x + 1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2 $，解得 $ 2 ≤ x ＜ \frac{8}{3} $。
因为 $ 2x + 1 $ 是整数，所以 $ x $ 的值为 2 或 2.5。
(4) 解: 因为 $ x = [x] + a $，其中 $ 0 ≤ a ＜ 1 $，所以 $ [x] = x - a $。
因为 $ 2a = [x] - 1 $，所以 $ a = \frac{[x] - 1}{2} $。
因为 $ 0 ≤ a ＜ 1 $，所以 $ 0 ≤ \frac{[x] - 1}{2} ＜ 1 $，所以 $ 1 ≤ [x] ＜ 3 $，
所以 $ [x] = 1 $ 或 $ [x] = 2 $。当 $ [x] = 1 $ 时，$ a = 0 $，$ x = 1 $；
当 $ [x] = 2 $ 时，$ a = \frac{1}{2} $，$ x = 2.5 $，所以 $ x $ 的值为 1 或 2.5。