8. 下列语句中,属于定义的是
①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;②只有符号不同的两个数称为互为相反数;③你的作业做完了吗? ④天空真蓝啊! ⑤对顶角相等;⑥如果两个角的度数之和等于 $ 180^{\circ} $,那么这两个角互为补角.
②⑥
.(填序号)①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;②只有符号不同的两个数称为互为相反数;③你的作业做完了吗? ④天空真蓝啊! ⑤对顶角相等;⑥如果两个角的度数之和等于 $ 180^{\circ} $,那么这两个角互为补角.
答案：8. ②⑥
9. 根据绝对值的定义,$ |x| $ 表示数轴上表示数 $ x $ 的点与原点的距离,如果数轴上两点 $ P,Q $ 表示的数分别为 $ x_{1},x_{2} $,那么点 $ P $ 与点 $ Q $ 之间的距离为 $ P Q = |x_{1}-x_{2}| $.若 $ |4|+|m - 8|=20 $,则 $ m $ 的值为
-8或24
.答案：9. -8或24
解析：
因为$|4| = 4$，所以原方程可化为$4 + |m - 8| = 20$，则$|m - 8| = 16$。
当$m - 8 ≥ 0$，即$m ≥ 8$时，$m - 8 = 16$，解得$m = 24$；
当$m - 8 ＜ 0$，即$m ＜ 8$时，$8 - m = 16$，解得$m = -8$。
综上，$m$的值为$-8$或$24$。
当$m - 8 ≥ 0$，即$m ≥ 8$时，$m - 8 = 16$，解得$m = 24$；
当$m - 8 ＜ 0$，即$m ＜ 8$时，$8 - m = 16$，解得$m = -8$。
综上，$m$的值为$-8$或$24$。
10. (2024·太仓模拟)若 $ 10^{x}=N $,则称 $ x $ 是以 10 为底 $ N $ 的对数,记作:$ x=\lg N $.例如,$ 10^{2}=100 $,则 $ 2=\lg 100 $;$ 10^{0}=1 $,则 $ 0=\lg 1 $. 对数运算满足:当 $ M＞0,N＞0 $ 时,$ \lg M+\lg N=\lg (M N) $.例如,$ \lg 3+\lg 5=\lg 15 $,则 $ (\lg 5)^{2}+\lg 5 × \lg 2+\lg 2 $ 的值为
1
.答案：10. 1
解析：
$(\lg 5)^{2}+\lg 5 × \lg 2+\lg 2$
$=\lg 5(\lg 5 + \lg 2) + \lg 2$
$=\lg 5 × \lg (5 × 2) + \lg 2$
$=\lg 5 × \lg 10 + \lg 2$
$=\lg 5 × 1 + \lg 2$
$=\lg 5 + \lg 2$
$=\lg (5 × 2)$
$=\lg 10$
$=1$
$=\lg 5(\lg 5 + \lg 2) + \lg 2$
$=\lg 5 × \lg (5 × 2) + \lg 2$
$=\lg 5 × \lg 10 + \lg 2$
$=\lg 5 × 1 + \lg 2$
$=\lg 5 + \lg 2$
$=\lg (5 × 2)$
$=\lg 10$
$=1$
11. 观察下列整式的次数和项数,找出它们的共同特征,根据特征给整式命名,并作出定义.
$ x^{2}-2 x - 1,2 x^{2}+3 x - 1,x^{2}-2 x y + 2 y^{2},4 a^{2}+4 a b + b^{2} $.
$ x^{2}-2 x - 1,2 x^{2}+3 x - 1,x^{2}-2 x y + 2 y^{2},4 a^{2}+4 a b + b^{2} $.
答案：11. 解：$x^{2}-2x - 1$是二次三项式，$2x^{2}+3x - 1$是二次三项式，$x^{2}-2xy + 2y^{2}$是二次三项式，$4a^{2}+4ab + b^{2}$是二次三项式，所以这些整式的共同特征为最高次数为2，项数都是3，它们都叫作二次三项式.
定义：一个整式的最高次数为2，且含有三个单项式，这样的式子叫作二次三项式.
定义：一个整式的最高次数为2，且含有三个单项式，这样的式子叫作二次三项式.
12. (2024·江宁区期末)阅读理解:如图,从 $ ∠ AOB(90^{\circ}＜∠ AOB＜180^{\circ}) $ 的顶点出发,在 $ ∠ AOB $ 的内部作一条射线 $ OC $,将 $ ∠ AOB $ 分得的两个角 $ ∠ AOC $ 和 $ ∠ BOC $,其中至少有一个角与 $ ∠ AOB $ 互为补角,则称该射线 $ OC $ 为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”.请解答以下问题:
(1)若 $ ∠ AOB = 140^{\circ},∠ AOC = 100^{\circ} $,请判断此时 $ OC $ 是否为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”,并说明理由.
(2)若 $ OD $ 平分 $ ∠ AOB,OC $ 为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”.
①当 $ OC $ 与 $ OD $ 重合时,求 $ ∠ AOB $ 的度数;
②当 $ OD $ 为 $ ∠ AOC $ 的“分补线”时,请画出图形并求出此时 $ ∠ AOB $ 的度数.
(1)若 $ ∠ AOB = 140^{\circ},∠ AOC = 100^{\circ} $,请判断此时 $ OC $ 是否为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”,并说明理由.
(2)若 $ OD $ 平分 $ ∠ AOB,OC $ 为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”.
①当 $ OC $ 与 $ OD $ 重合时,求 $ ∠ AOB $ 的度数;
②当 $ OD $ 为 $ ∠ AOC $ 的“分补线”时,请画出图形并求出此时 $ ∠ AOB $ 的度数.
答案：
12. 解：(1)OC是$∠AOB$的“分补线”.
理由：因为$∠AOB = 140^{\circ}$，$∠AOC = 100^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 40^{\circ}$.
因为$∠AOB + ∠BOC = 140^{\circ}+40^{\circ}=180^{\circ}$，所以OC为$∠AOB$的“分补线”.
(2)①因为OC平分$∠AOB$，所以$∠AOC = ∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB$.
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，所以$\frac{1}{2}∠AOB + ∠AOB = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 120^{\circ}$.
②画图如答图.
设$∠BOC = α$，
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，
所以$∠AOB + ∠BOC = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 180^{\circ}-α$.
因为OD平分$∠AOB$，
所以$∠AOD = ∠BOD = \frac{1}{2}(180^{\circ}-α)=90^{\circ}-\frac{α}{2}$，
所以$∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 180^{\circ}-α-α-(90^{\circ}-\frac{α}{2})=90^{\circ}-\frac{3α}{2}$.
因为OD为$∠AOC$的分补线，
所以有两种可能：$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$或$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$.
当$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = 36^{\circ}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$；
当$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{3α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = \frac{180^{\circ}}{7}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{7}=\frac{1080^{\circ}}{7}$.
综上所述，$∠AOB$的度数为$144^{\circ}$或$\frac{1080^{\circ}}{7}$.
12. 解：(1)OC是$∠AOB$的“分补线”.
理由：因为$∠AOB = 140^{\circ}$，$∠AOC = 100^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 40^{\circ}$.
因为$∠AOB + ∠BOC = 140^{\circ}+40^{\circ}=180^{\circ}$，所以OC为$∠AOB$的“分补线”.
(2)①因为OC平分$∠AOB$，所以$∠AOC = ∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB$.
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，所以$\frac{1}{2}∠AOB + ∠AOB = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 120^{\circ}$.
②画图如答图.
设$∠BOC = α$，
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，
所以$∠AOB + ∠BOC = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 180^{\circ}-α$.
因为OD平分$∠AOB$，
所以$∠AOD = ∠BOD = \frac{1}{2}(180^{\circ}-α)=90^{\circ}-\frac{α}{2}$，
所以$∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 180^{\circ}-α-α-(90^{\circ}-\frac{α}{2})=90^{\circ}-\frac{3α}{2}$.
因为OD为$∠AOC$的分补线，
所以有两种可能：$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$或$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$.
当$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = 36^{\circ}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$；
当$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{3α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = \frac{180^{\circ}}{7}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{7}=\frac{1080^{\circ}}{7}$.
综上所述，$∠AOB$的度数为$144^{\circ}$或$\frac{1080^{\circ}}{7}$.