8. (2024·昆山期末)如图,$AB// EF$,设$∠ C = 90^{\circ}$,那么 $x,y$ 和 $z$ 的关系是(
A.$y = x + z$
B.$x + y - z = 90^{\circ}$
C.$x + y + z = 180^{\circ}$
D.$y + z - x = 90^{\circ}$
B
)A.$y = x + z$
B.$x + y - z = 90^{\circ}$
C.$x + y + z = 180^{\circ}$
D.$y + z - x = 90^{\circ}$
答案：8. B
解析：
解：过点$C$作$CG// AB$，过点$D$作$DH// EF$。
因为$AB// EF$，所以$AB// CG// DH// EF$。
则$∠ BCG = x$，$∠ HDE = z$，$∠ CDH = y - z$。
由于$∠ C = 90^{\circ}$，且$∠ BCG + ∠ GCD = 90^{\circ}$，$∠ GCD = ∠ CDH$，
所以$x + (y - z) = 90^{\circ}$，即$x + y - z = 90^{\circ}$。
答案：B
因为$AB// EF$，所以$AB// CG// DH// EF$。
则$∠ BCG = x$，$∠ HDE = z$，$∠ CDH = y - z$。
由于$∠ C = 90^{\circ}$，且$∠ BCG + ∠ GCD = 90^{\circ}$，$∠ GCD = ∠ CDH$，
所以$x + (y - z) = 90^{\circ}$，即$x + y - z = 90^{\circ}$。
答案：B
9. 用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时,应先假设
直角三角形中的两个锐角不互余
.答案：9. 直角三角形中的两个锐角不互余
10. (2024·房山区期末)用一组 $a,b,c$ 的值说明命题“如果 $a ＜ b$,那么 $ac ＜ bc$”是假命题,这组值可以是 $a=$
$ -1 $
, $b=$1
, $c=$0
.答案：10. $ -1 $ 1 0（答案不唯一）
解析：
-1；1；0
11. (2024·滨海县月考)如图,在$△ ABC$ 中,$CD$ 为$△ ABC$ 的高,$AE$ 为$△ ABC$ 的角平分线,$CD$ 交 $AE$ 于点 $G,∠ BCD = 50^{\circ},∠ BEA = 110^{\circ}$,求$∠ ACD$ 的大小.
答案：11. 解：因为 $ CD ⊥ AB $，
所以 $ ∠ ADC = ∠ CDB = 90° $。
因为 $ ∠ BCD = 50° $，
所以 $ ∠ B = 40° $，
所以 $ ∠ BAE = 180° - ∠ B - ∠ AEB = 180° - 40° - 110° = 30° $。
因为 $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $，
所以 $ ∠ DAC = 2 ∠ BAE = 60° $，
所以 $ ∠ ACD = 90° - 60° = 30° $。
所以 $ ∠ ADC = ∠ CDB = 90° $。
因为 $ ∠ BCD = 50° $，
所以 $ ∠ B = 40° $，
所以 $ ∠ BAE = 180° - ∠ B - ∠ AEB = 180° - 40° - 110° = 30° $。
因为 $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $，
所以 $ ∠ DAC = 2 ∠ BAE = 60° $，
所以 $ ∠ ACD = 90° - 60° = 30° $。
12. (2024·通州区期末)如图①,$AB// CD,E,F$ 分别是 $AB,CD$ 上的点,$P$ 是两平行线之间的一点,设$∠ AEP=α,∠ PFC=β$.过点 $E$ 作射线 $EH$ 交 $CD$ 于点 $N$,作射线 $FI$,延长 $PF$ 到点 $G$,使得 $EP,FG$ 分别平分$∠ AEH,∠ DFI$,得到图②.
(1)在图①中,过点 $P$ 作 $PM// AB$,当 $α = 20^{\circ},β = 50^{\circ}$ 时,$∠ EPM=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$∠ EPF=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
(2)在(1)的条件下,求图②中$∠ END$ 与$∠ CFI$ 的度数;
(3)在图②中,当 $FI// EH$ 时,请直接写出 $α$ 与 $β$ 的数量关系.
(1)在图①中,过点 $P$ 作 $PM// AB$,当 $α = 20^{\circ},β = 50^{\circ}$ 时,$∠ EPM=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$∠ EPF=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
(2)在(1)的条件下,求图②中$∠ END$ 与$∠ CFI$ 的度数;
(3)在图②中,当 $FI// EH$ 时,请直接写出 $α$ 与 $β$ 的数量关系.
答案：12. (1) 20 70
(2) 解：$ \because EP $ 平分 $ ∠ AEH $，$ \therefore ∠ AEH = 2α = 40° $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ END = ∠ AEH = 40° $。
又 $ \because FG $ 平分 $ ∠ DFI $，$ \therefore ∠ IFG = ∠ DFG = β = 50° $，
$ \therefore ∠ CFI = 180° - 2β = 80° $。
(3) 解：$ \because FG $ 平分 $ ∠ DFI $，$ \therefore ∠ DFG = ∠ IFG = ∠ PFC = β $，$ \therefore ∠ CFI = 180° - 2β $。
$ \because EP $ 平分 $ ∠ AEH $，$ \therefore ∠ AEH = 2 ∠ AEP = 2α $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ AEN = ∠ END = 2α $，
$ \therefore $ 当 $ FI // EH $ 时，$ ∠ END = ∠ CFI $，
即 $ 2α = 180° - 2β $，
$ \therefore α + β = 90° $。
(2) 解：$ \because EP $ 平分 $ ∠ AEH $，$ \therefore ∠ AEH = 2α = 40° $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ END = ∠ AEH = 40° $。
又 $ \because FG $ 平分 $ ∠ DFI $，$ \therefore ∠ IFG = ∠ DFG = β = 50° $，
$ \therefore ∠ CFI = 180° - 2β = 80° $。
(3) 解：$ \because FG $ 平分 $ ∠ DFI $，$ \therefore ∠ DFG = ∠ IFG = ∠ PFC = β $，$ \therefore ∠ CFI = 180° - 2β $。
$ \because EP $ 平分 $ ∠ AEH $，$ \therefore ∠ AEH = 2 ∠ AEP = 2α $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ AEN = ∠ END = 2α $，
$ \therefore $ 当 $ FI // EH $ 时，$ ∠ END = ∠ CFI $，
即 $ 2α = 180° - 2β $，
$ \therefore α + β = 90° $。