4. (2024·秦淮区月考)如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90^{\circ}$.
(1)分别作其内角$∠ ACB$与外角$∠ DAC$的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点$E$，如图，则$∠ E =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
(2)分别作$∠ EAB$与$∠ ECB$的平分线，且两条角平分线交于点$F$，如图①.求$∠ AFC$的度数；
(3)在(2)的条件下，射线$FM$在$∠ AFC$的内部且$∠ AFM = \dfrac{1}{3}∠ AFC$，设$EC$与$AB$的交点为$H$，射线$HN$在$∠ AHC$的内部且$∠ AHN = \dfrac{1}{3}∠ AHC$，射线$HN$与$FM$交于点$P$，若$∠ FAH$，$∠ FPH$和$∠ FCH$满足的数量关系为$∠ FCH = m∠ FAH + n∠ FPH$，请直接写出$m$，$n$的值.
(1)分别作其内角$∠ ACB$与外角$∠ DAC$的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点$E$，如图，则$∠ E =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
(2)分别作$∠ EAB$与$∠ ECB$的平分线，且两条角平分线交于点$F$，如图①.求$∠ AFC$的度数；
(3)在(2)的条件下，射线$FM$在$∠ AFC$的内部且$∠ AFM = \dfrac{1}{3}∠ AFC$，设$EC$与$AB$的交点为$H$，射线$HN$在$∠ AHC$的内部且$∠ AHN = \dfrac{1}{3}∠ AHC$，射线$HN$与$FM$交于点$P$，若$∠ FAH$，$∠ FPH$和$∠ FCH$满足的数量关系为$∠ FCH = m∠ FAH + n∠ FPH$，请直接写出$m$，$n$的值.
答案：
4. (1) 45
(2) 解: $ \because CE $ 平分 $ ∠ ACB, \therefore ∠ ACE=∠ BCE $.
$ \because CF $ 平分 $ ∠ ECB, \therefore ∠ ECF=\frac{1}{2} ∠ ECB=\frac{1}{2} ∠ ACE $.
$ \because ∠ E+∠ EAF=∠ F+∠ ECF $,
$ \therefore 45^{\circ}+∠ EAF=∠ F+\frac{1}{2} ∠ ACE $, ①
同理可得 $ ∠ E+∠ EAB=∠ B+∠ ECB $,
$ \therefore 45^{\circ}+2 ∠ EAF=90^{\circ}+∠ ACE $,
$ \therefore ∠ EAF=\frac{45^{\circ}+∠ ACE}{2} $, ②
把②代入①, 得 $ 45^{\circ}+\frac{45^{\circ}+∠ ACE}{2}=∠ F+\frac{1}{2} ∠ ACE $,
$ \therefore ∠ F=67.5^{\circ} $,
即 $ ∠ AFC=67.5^{\circ} $.
(3) 解: 如答图, 设 $ ∠ FAH=α $,
$ \because AF $ 平分 $ ∠ EAB, \therefore ∠ FAH=∠ EAF=α $.
$ \because ∠ AFM=\frac{1}{3} ∠ AFC=\frac{1}{3} × 67.5^{\circ}=22.5^{\circ} $,
又 $ \because ∠ E+∠ EAF=∠ AFC+∠ FCH $,
$ \therefore 45^{\circ}+α=67.5^{\circ}+∠ FCH, \therefore ∠ FCH=α-22.5^{\circ} $. ①
$ \because ∠ AHN=\frac{1}{3} ∠ AHC=\frac{1}{3}(∠ B+∠ BCH)=\frac{1}{3}(90^{\circ}+2 ∠ FCH)=30^{\circ}+\frac{2}{3} ∠ FCH $,
又 $ \because ∠ FAH+∠ AFM=∠ AHN+∠ FPH $,
$ \therefore α+22.5^{\circ}=30^{\circ}+\frac{2}{3} ∠ FCH+∠ FPH $, ②
把①代入②, 得 $ ∠ FPH=\frac{α+22.5^{\circ}}{3} $.
$ \because ∠ FCH=m ∠ FAH + n ∠ FPH $,
$ \therefore α-22.5^{\circ}=m α+n · \frac{α+22.5^{\circ}}{3} $,
解得 $ m=2, n=-3 $.
4. (1) 45
(2) 解: $ \because CE $ 平分 $ ∠ ACB, \therefore ∠ ACE=∠ BCE $.
$ \because CF $ 平分 $ ∠ ECB, \therefore ∠ ECF=\frac{1}{2} ∠ ECB=\frac{1}{2} ∠ ACE $.
$ \because ∠ E+∠ EAF=∠ F+∠ ECF $,
$ \therefore 45^{\circ}+∠ EAF=∠ F+\frac{1}{2} ∠ ACE $, ①
同理可得 $ ∠ E+∠ EAB=∠ B+∠ ECB $,
$ \therefore 45^{\circ}+2 ∠ EAF=90^{\circ}+∠ ACE $,
$ \therefore ∠ EAF=\frac{45^{\circ}+∠ ACE}{2} $, ②
把②代入①, 得 $ 45^{\circ}+\frac{45^{\circ}+∠ ACE}{2}=∠ F+\frac{1}{2} ∠ ACE $,
$ \therefore ∠ F=67.5^{\circ} $,
即 $ ∠ AFC=67.5^{\circ} $.
(3) 解: 如答图, 设 $ ∠ FAH=α $,
$ \because AF $ 平分 $ ∠ EAB, \therefore ∠ FAH=∠ EAF=α $.
$ \because ∠ AFM=\frac{1}{3} ∠ AFC=\frac{1}{3} × 67.5^{\circ}=22.5^{\circ} $,
又 $ \because ∠ E+∠ EAF=∠ AFC+∠ FCH $,
$ \therefore 45^{\circ}+α=67.5^{\circ}+∠ FCH, \therefore ∠ FCH=α-22.5^{\circ} $. ①
$ \because ∠ AHN=\frac{1}{3} ∠ AHC=\frac{1}{3}(∠ B+∠ BCH)=\frac{1}{3}(90^{\circ}+2 ∠ FCH)=30^{\circ}+\frac{2}{3} ∠ FCH $,
又 $ \because ∠ FAH+∠ AFM=∠ AHN+∠ FPH $,
$ \therefore α+22.5^{\circ}=30^{\circ}+\frac{2}{3} ∠ FCH+∠ FPH $, ②
把①代入②, 得 $ ∠ FPH=\frac{α+22.5^{\circ}}{3} $.
$ \because ∠ FCH=m ∠ FAH + n ∠ FPH $,
$ \therefore α-22.5^{\circ}=m α+n · \frac{α+22.5^{\circ}}{3} $,
解得 $ m=2, n=-3 $.
5. (2024·南京期末)【初步认识】
(1)如图①，线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$，$BC$. 求证：$∠ A+∠ D = ∠ B+∠ C$.
【继续探索】
(2)如图②，$∠ A = m^{\circ}$，$∠ C = n^{\circ}$，$∠ ABC$，$∠ ADC$的平分线$BP$，$DP$相交于点$P$.
①若$m = 40$，$n = 32$，求$∠ P$的度数；
②用$m$，$n$表示$∠ P$的度数为
(3)如图③，$∠ ABC$，$∠ ADC$的平分线$BP$，$DP$相交于点$P$，$∠ DAB$，$∠ DCB$的平分线$AQ$，$CQ$相交于点$Q$. 若$∠ P = ∠ Q$，判断$AD$与$BC$的位置关系并说明理由.
(1)如图①，线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$，$BC$. 求证：$∠ A+∠ D = ∠ B+∠ C$.
【继续探索】
(2)如图②，$∠ A = m^{\circ}$，$∠ C = n^{\circ}$，$∠ ABC$，$∠ ADC$的平分线$BP$，$DP$相交于点$P$.
①若$m = 40$，$n = 32$，求$∠ P$的度数；
②用$m$，$n$表示$∠ P$的度数为
$(\frac{m+n}{2})^{\circ}$
.(3)如图③，$∠ ABC$，$∠ ADC$的平分线$BP$，$DP$相交于点$P$，$∠ DAB$，$∠ DCB$的平分线$AQ$，$CQ$相交于点$Q$. 若$∠ P = ∠ Q$，判断$AD$与$BC$的位置关系并说明理由.
答案：5. (1) 证明: 由题意, 在 $ △ AOD $ 中, $ ∠ A+∠ D+∠ AOD=180^{\circ} $,
所以 $ ∠ A+∠ D=180^{\circ}-∠ AOD $.
在 $ △ BOC $ 中, $ ∠ B+∠ C+∠ BOC=180^{\circ} $, 所以 $ ∠ B+∠ C=180^{\circ}-∠ BOC $.
又 $ ∠ AOD=∠ BOC $, 所以 $ ∠ A+∠ D=∠ B+∠ C $.
(2) ① 解: 由题意, 结合 (1) 可得 $ ∠ A+∠ ADC=∠ ABC+∠ C, ∠ A+∠ ADP=∠ P+∠ ABP $.
$ \because DP $ 平分 $ ∠ ADC, BP $ 平分 $ ∠ ABC $,
$ \therefore ∠ ADP=\frac{1}{2} ∠ ADC, ∠ ABP=\frac{1}{2} ∠ ABC $,
$ \therefore ∠ A+\frac{1}{2} ∠ ADC=∠ P+\frac{1}{2} ∠ ABC $,
$ \therefore 2 ∠ A+∠ ADC=2 ∠ P+∠ ABC $.
又 $ \because ∠ A+∠ ADC=∠ ABC+∠ C $,
$ \therefore ∠ A=2 ∠ P-∠ C, \therefore ∠ P=\frac{∠ A+∠ C}{2} $.
又 $ \because ∠ A=m^{\circ}=40^{\circ}, ∠ C=n^{\circ}=32^{\circ} $,
$ \therefore ∠ P=\frac{40^{\circ}+32^{\circ}}{2}=36^{\circ} $.
② $ (\frac{m+n}{2})^{\circ} $
(3) 解: $ AD // BC $. 理由如下:
由题意, 根据 (2) ① 可得 $ ∠ P=\frac{∠ DAB+∠ DCB}{2} $,
同理可得 $ ∠ Q=\frac{∠ ABC+∠ ADC}{2} $.
又 $ \because ∠ P=∠ Q, \therefore \frac{∠ DAB+∠ DCB}{2}=\frac{∠ ABC+∠ ADC}{2} $,
$ \therefore ∠ DAB+∠ DCB=∠ ABC+∠ ADC $.
又 $ \because ∠ DAB+∠ ADC=∠ DCB+∠ ABC $,
$ \therefore 2 ∠ DAB+∠ DCB+∠ ADC=2 ∠ ABC+∠ DCB+∠ ADC $,
$ \therefore ∠ DAB=∠ ABC $,
$ \therefore AD // BC $.
所以 $ ∠ A+∠ D=180^{\circ}-∠ AOD $.
在 $ △ BOC $ 中, $ ∠ B+∠ C+∠ BOC=180^{\circ} $, 所以 $ ∠ B+∠ C=180^{\circ}-∠ BOC $.
又 $ ∠ AOD=∠ BOC $, 所以 $ ∠ A+∠ D=∠ B+∠ C $.
(2) ① 解: 由题意, 结合 (1) 可得 $ ∠ A+∠ ADC=∠ ABC+∠ C, ∠ A+∠ ADP=∠ P+∠ ABP $.
$ \because DP $ 平分 $ ∠ ADC, BP $ 平分 $ ∠ ABC $,
$ \therefore ∠ ADP=\frac{1}{2} ∠ ADC, ∠ ABP=\frac{1}{2} ∠ ABC $,
$ \therefore ∠ A+\frac{1}{2} ∠ ADC=∠ P+\frac{1}{2} ∠ ABC $,
$ \therefore 2 ∠ A+∠ ADC=2 ∠ P+∠ ABC $.
又 $ \because ∠ A+∠ ADC=∠ ABC+∠ C $,
$ \therefore ∠ A=2 ∠ P-∠ C, \therefore ∠ P=\frac{∠ A+∠ C}{2} $.
又 $ \because ∠ A=m^{\circ}=40^{\circ}, ∠ C=n^{\circ}=32^{\circ} $,
$ \therefore ∠ P=\frac{40^{\circ}+32^{\circ}}{2}=36^{\circ} $.
② $ (\frac{m+n}{2})^{\circ} $
(3) 解: $ AD // BC $. 理由如下:
由题意, 根据 (2) ① 可得 $ ∠ P=\frac{∠ DAB+∠ DCB}{2} $,
同理可得 $ ∠ Q=\frac{∠ ABC+∠ ADC}{2} $.
又 $ \because ∠ P=∠ Q, \therefore \frac{∠ DAB+∠ DCB}{2}=\frac{∠ ABC+∠ ADC}{2} $,
$ \therefore ∠ DAB+∠ DCB=∠ ABC+∠ ADC $.
又 $ \because ∠ DAB+∠ ADC=∠ DCB+∠ ABC $,
$ \therefore 2 ∠ DAB+∠ DCB+∠ ADC=2 ∠ ABC+∠ DCB+∠ ADC $,
$ \therefore ∠ DAB=∠ ABC $,
$ \therefore AD // BC $.