3. 如图，$ AB // EF $，$ ∠ C = 90° $，试探究 $ ∠ B $，$ ∠ CDE $，$ ∠ E $ 之间的数量关系，并说明理由.
答案：
解：∠B + ∠CDE−∠E = 90°. 理由如下：
如答图，作直线CD分别交AB，EF于点G，H，则∠GCB = 90°，∠1 = 90°−∠B.
因为AB//EF，所以∠1 = ∠2 = 90°−∠B.
在△DEH中，由三角形的外角性质，得∠CDE = ∠E + ∠2，即∠CDE = ∠E + 90°−∠B，
所以∠B + ∠CDE−∠E = 90°.
解：∠B + ∠CDE−∠E = 90°. 理由如下：
如答图，作直线CD分别交AB，EF于点G，H，则∠GCB = 90°，∠1 = 90°−∠B.
因为AB//EF，所以∠1 = ∠2 = 90°−∠B.
在△DEH中，由三角形的外角性质，得∠CDE = ∠E + ∠2，即∠CDE = ∠E + 90°−∠B，
所以∠B + ∠CDE−∠E = 90°.
4. 已知直线 $ AB // CD $，$ P $ 为平面内一点，连接 $ PA $，$ PD $.
(1) 如图①，若 $ ∠ A = 50° $，$ ∠ D = 150° $，求 $ ∠ APD $ 的度数；
(2) 如图②，$ ∠ PAB $，$ ∠ CDP $，$ ∠ APD $ 之间的数量关系为
(3) 如图③，在 (2) 的条件下，$ AP ⊥ PD $，$ DN $ 平分 $ ∠ PDC $，若 $ ∠ PAN + \frac{1}{2} ∠ PAB = ∠ APD $，求 $ ∠ AND $ 的度数.
(1) 如图①，若 $ ∠ A = 50° $，$ ∠ D = 150° $，求 $ ∠ APD $ 的度数；
(2) 如图②，$ ∠ PAB $，$ ∠ CDP $，$ ∠ APD $ 之间的数量关系为
∠CDP + ∠PAB−∠APD = 180°
；(3) 如图③，在 (2) 的条件下，$ AP ⊥ PD $，$ DN $ 平分 $ ∠ PDC $，若 $ ∠ PAN + \frac{1}{2} ∠ PAB = ∠ APD $，求 $ ∠ AND $ 的度数.
答案：
(1) 解：如答图①，过点P作EF//AB.
∵∠A = 50°，
∴∠APE = ∠A = 50°.
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠D + ∠EPD = 180°.
∵∠D = 150°，
∴∠EPD = 180°−∠D = 180°−150° = 30°，
∴∠APD = ∠APE + ∠EPD = 50° + 30° = 80°.
(2) ∠CDP + ∠PAB−∠APD = 180°
(3) 解：如答图②，设PD交AN于点O.
∵AP⊥PD，
∴∠APO = 90°.
∵∠PAN + 1/2∠PAB = ∠APD，
∴∠PAN + 1/2∠PAB = 90°.
∵∠POA + ∠PAN = 90°，
∴∠POA = 1/2∠PAB.
∵∠POA = ∠NOD，
∴∠NOD = 1/2∠PAB.
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN = 1/2∠PDC，
∴∠AND = 180°−∠NOD−∠ODN = 180°−1/2(∠PAB + ∠PDC).
由(2)可得∠CDP + ∠PAB−∠APD = 180°，
∴∠CDP + ∠PAB = 180° + ∠APD = 270°，
∴∠AND = 180°−1/2(∠PAB + ∠PDC) = 180°−1/2×270° = 45°.
(1) 解：如答图①，过点P作EF//AB.
∵∠A = 50°，
∴∠APE = ∠A = 50°.
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠D + ∠EPD = 180°.
∵∠D = 150°，
∴∠EPD = 180°−∠D = 180°−150° = 30°，
∴∠APD = ∠APE + ∠EPD = 50° + 30° = 80°.
(2) ∠CDP + ∠PAB−∠APD = 180°
(3) 解：如答图②，设PD交AN于点O.
∵AP⊥PD，
∴∠APO = 90°.
∵∠PAN + 1/2∠PAB = ∠APD，
∴∠PAN + 1/2∠PAB = 90°.
∵∠POA + ∠PAN = 90°，
∴∠POA = 1/2∠PAB.
∵∠POA = ∠NOD，
∴∠NOD = 1/2∠PAB.
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN = 1/2∠PDC，
∴∠AND = 180°−∠NOD−∠ODN = 180°−1/2(∠PAB + ∠PDC).
由(2)可得∠CDP + ∠PAB−∠APD = 180°，
∴∠CDP + ∠PAB = 180° + ∠APD = 270°，
∴∠AND = 180°−1/2(∠PAB + ∠PDC) = 180°−1/2×270° = 45°.
5. (2024 · 靖江月考) 已知 $ AB // CD $，$ P $ 是平面内一点，过点 $ P $ 作射线 $ PN $，$ PM $，$ PM $ 与 $ AB $ 相交于点 $ B $.
(1) 如图①，若 $ P $ 为直线 $ CD $ 上一点，$ ∠ ABM = 45° $，$ ∠ CPN = 30° $，则 $ ∠ MPN $ 的度数为
(2) 如图②，若 $ P $ 为直线 $ AB $，$ CD $ 之间区域内的一点，射线 $ PN $ 交 $ CD $ 于点 $ E $，$ ∠ ABM $ 和 $ ∠ CEP $ 的平分线交于点 $ F $. 试说明：$ 2 ∠ BFE + ∠ MPN = 180° $；
(3) 如图③，若 $ P $，$ H $ 是直线 $ CD $ 上的点，连接 $ HB $ 并延长交 $ ∠ MPN $ 的平分线于点 $ Q $，射线 $ PN $ 交 $ AB $ 于点 $ G $，当 $ ∠ PHB = ∠ PBH $ 时，试猜想 $ ∠ BGP $ 与 $ ∠ PQH $ 之间的关系，请直接写出你的答案.
(1) 如图①，若 $ P $ 为直线 $ CD $ 上一点，$ ∠ ABM = 45° $，$ ∠ CPN = 30° $，则 $ ∠ MPN $ 的度数为
75°
；(2) 如图②，若 $ P $ 为直线 $ AB $，$ CD $ 之间区域内的一点，射线 $ PN $ 交 $ CD $ 于点 $ E $，$ ∠ ABM $ 和 $ ∠ CEP $ 的平分线交于点 $ F $. 试说明：$ 2 ∠ BFE + ∠ MPN = 180° $；
(3) 如图③，若 $ P $，$ H $ 是直线 $ CD $ 上的点，连接 $ HB $ 并延长交 $ ∠ MPN $ 的平分线于点 $ Q $，射线 $ PN $ 交 $ AB $ 于点 $ G $，当 $ ∠ PHB = ∠ PBH $ 时，试猜想 $ ∠ BGP $ 与 $ ∠ PQH $ 之间的关系，请直接写出你的答案.
答案：
(1) 75°
(2) 解：如答图，过点F作FK//AB，过点P作PR//AB，
∴∠KFB = ∠ABF，∠RPM = ∠ABM.
∵AB//CD，
∴FK//CD，PR//CD，
∴∠KFE = ∠CEF，∠CEP + ∠EPR = 180°.
∵BF平分∠ABM，
∴∠ABM = 2∠ABF，同理可得∠CEP = 2∠CEF.
设∠CEF = x，∠ABF = y，
∴∠KFE = ∠CEF = x，∠CEP = 2∠CEF = 2x，
∠KFB = ∠ABF = y，∠ABM = 2∠ABF = 2y，
∴∠EPR = 180°−∠CEP = 180°−2x，∠RPM = ∠ABM = 2y，
∴∠MPN = ∠EPR + ∠RPM = 180°−2x + 2y = 180°−2(x - y).
∵∠BFE = ∠KFE−∠KFB = x - y，
∴∠MPN = 180°−2∠BFE，
∴2∠BFE + ∠MPN = 180°.
(3) 解：∠PQH = 1/2∠BGP或∠PQH = 90°−1/2∠BGP.
(1) 75°
(2) 解：如答图，过点F作FK//AB，过点P作PR//AB，
∴∠KFB = ∠ABF，∠RPM = ∠ABM.
∵AB//CD，
∴FK//CD，PR//CD，
∴∠KFE = ∠CEF，∠CEP + ∠EPR = 180°.
∵BF平分∠ABM，
∴∠ABM = 2∠ABF，同理可得∠CEP = 2∠CEF.
设∠CEF = x，∠ABF = y，
∴∠KFE = ∠CEF = x，∠CEP = 2∠CEF = 2x，
∠KFB = ∠ABF = y，∠ABM = 2∠ABF = 2y，
∴∠EPR = 180°−∠CEP = 180°−2x，∠RPM = ∠ABM = 2y，
∴∠MPN = ∠EPR + ∠RPM = 180°−2x + 2y = 180°−2(x - y).
∵∠BFE = ∠KFE−∠KFB = x - y，
∴∠MPN = 180°−2∠BFE，
∴2∠BFE + ∠MPN = 180°.
(3) 解：∠PQH = 1/2∠BGP或∠PQH = 90°−1/2∠BGP.