三、解答题（共 40 分）
11. （20 分）探究与发现：（1）如图①，有一个直角三角尺 $ DEF $ 放置在 $ △ ABC $ 上，三角尺 $ DEF $ 的两条直角边 $ DE $，$ DF $ 恰好分别经过点 $ B $，$ C $. 请写出 $ ∠ BDC $ 与 $ ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD $ 之间的数量关系，并说明理由；
应用：（2）某零件如图②所示，图纸要求 $ ∠ A = 90^{\circ} $，$ ∠ C = 32^{\circ} $，$ ∠ B = 21^{\circ} $，当检验员量得 $ ∠ BDC = 145^{\circ} $ 时，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
11. （20 分）探究与发现：（1）如图①，有一个直角三角尺 $ DEF $ 放置在 $ △ ABC $ 上，三角尺 $ DEF $ 的两条直角边 $ DE $，$ DF $ 恰好分别经过点 $ B $，$ C $. 请写出 $ ∠ BDC $ 与 $ ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD $ 之间的数量关系，并说明理由；
应用：（2）某零件如图②所示，图纸要求 $ ∠ A = 90^{\circ} $，$ ∠ C = 32^{\circ} $，$ ∠ B = 21^{\circ} $，当检验员量得 $ ∠ BDC = 145^{\circ} $ 时，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
答案：11.解:(1) $ ∠ B D C = ∠ A + ∠ A B D + ∠ A C D $.
理由:$ \because ∠ B D C + ∠ D B C + ∠ D C B = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD $.
(2)由(1)可得 $ ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = 143 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ BDC = 145 ^ { \circ } ≠ 143 ^ { \circ } $，
$ \therefore $ 这个零件不合格.
理由:$ \because ∠ B D C + ∠ D B C + ∠ D C B = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD + ∠ DBC + ∠ DCB = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD $.
(2)由(1)可得 $ ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = 143 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ BDC = 145 ^ { \circ } ≠ 143 ^ { \circ } $，
$ \therefore $ 这个零件不合格.
12. （20 分）在 $ △ ABC $ 中，$ BE $ 平分 $ ∠ ABC $，点 $ P $ 在射线 $ BE $ 上.
（1）如图①，若 $ ∠ ABC = 40^{\circ} $，$ CP // AB $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
（2）如图②，若 $ ∠ BAC = 100^{\circ} $，$ ∠ PBC = ∠ PCA $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
（3）如图③，若 $ ∠ ABC = 40^{\circ} $，$ ∠ ACB = 30^{\circ} $，直线 $ CP $ 与 $ △ ABC $ 的一条边垂直，求 $ ∠ BPC $ 的度数.
（1）如图①，若 $ ∠ ABC = 40^{\circ} $，$ CP // AB $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
（2）如图②，若 $ ∠ BAC = 100^{\circ} $，$ ∠ PBC = ∠ PCA $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
（3）如图③，若 $ ∠ ABC = 40^{\circ} $，$ ∠ ACB = 30^{\circ} $，直线 $ CP $ 与 $ △ ABC $ 的一条边垂直，求 $ ∠ BPC $ 的度数.
答案：
12.(1)解:$ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $，$ ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ ABP = \frac { 1 } { 2 } ∠ ABC = \frac { 1 } { 2 } × 40 ^ { \circ } = 20 ^ { \circ } $.
$ \because CP // AB $，$ \therefore ∠ BPC = ∠ ABP = 20 ^ { \circ } $.
(2)设 $ AC $ 与 $ BP $ 交点为 $ O $.
$ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $，$ \therefore ∠ ABP = ∠ CBP $.
$ \because ∠ PBC = ∠ PCA $，$ \therefore ∠ ABP = ∠ PCA $.
在 $ △ ABO $ 和 $ △ CPO $ 中，$ ∠ A + ∠ ABP + ∠ AOB = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ BPC + ∠ PCA + ∠ POC = 180 ^ { \circ } $，
$ \because ∠ AOB = ∠ POC $，$ ∠ ABP = ∠ PCA $，
$ \therefore ∠ BPC = ∠ A = 100 ^ { \circ } $.
(3) $ \because ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，$ BP $ 平分 $ ∠ ABC $，
$ \therefore ∠ PBC = \frac { 1 } { 2 } ∠ ABC = 20 ^ { \circ } $.
① 当 $ CP ⊥ BC $ 时，如答图①，则 $ ∠ BCP = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ PBC = 20 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BPC = 70 ^ { \circ } $.
② 当 $ CP ⊥ AC $ 时，如答图②，则 $ ∠ ACP = 90 ^ { \circ } $，
在 $ △ BCP $ 中，$ ∠ BPC = 180 ^ { \circ } - 20 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $.
③ 当 $ CP ⊥ AB $ 时，设直线 $ CP $ 与 $ BA $ 的延长线交于点 $ G $，
如答图③，则 $ ∠ BGC = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BCG = 50 ^ { \circ } $.
在 $ △ BPC $ 中，$ ∠ BPC = 180 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } - 20 ^ { \circ } = 110 ^ { \circ } $.
综上所述，$ ∠ BPC $ 的度数为 $ 70 ^ { \circ } $ 或 $ 40 ^ { \circ } $ 或 $ 110 ^ { \circ } $.
12.(1)解:$ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $，$ ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ ABP = \frac { 1 } { 2 } ∠ ABC = \frac { 1 } { 2 } × 40 ^ { \circ } = 20 ^ { \circ } $.
$ \because CP // AB $，$ \therefore ∠ BPC = ∠ ABP = 20 ^ { \circ } $.
(2)设 $ AC $ 与 $ BP $ 交点为 $ O $.
$ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $，$ \therefore ∠ ABP = ∠ CBP $.
$ \because ∠ PBC = ∠ PCA $，$ \therefore ∠ ABP = ∠ PCA $.
在 $ △ ABO $ 和 $ △ CPO $ 中，$ ∠ A + ∠ ABP + ∠ AOB = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ BPC + ∠ PCA + ∠ POC = 180 ^ { \circ } $，
$ \because ∠ AOB = ∠ POC $，$ ∠ ABP = ∠ PCA $，
$ \therefore ∠ BPC = ∠ A = 100 ^ { \circ } $.
(3) $ \because ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，$ BP $ 平分 $ ∠ ABC $，
$ \therefore ∠ PBC = \frac { 1 } { 2 } ∠ ABC = 20 ^ { \circ } $.
① 当 $ CP ⊥ BC $ 时，如答图①，则 $ ∠ BCP = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ PBC = 20 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BPC = 70 ^ { \circ } $.
② 当 $ CP ⊥ AC $ 时，如答图②，则 $ ∠ ACP = 90 ^ { \circ } $，
在 $ △ BCP $ 中，$ ∠ BPC = 180 ^ { \circ } - 20 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $.
③ 当 $ CP ⊥ AB $ 时，设直线 $ CP $ 与 $ BA $ 的延长线交于点 $ G $，
如答图③，则 $ ∠ BGC = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ ABC = 40 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BCG = 50 ^ { \circ } $.
在 $ △ BPC $ 中，$ ∠ BPC = 180 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } - 20 ^ { \circ } = 110 ^ { \circ } $.
综上所述，$ ∠ BPC $ 的度数为 $ 70 ^ { \circ } $ 或 $ 40 ^ { \circ } $ 或 $ 110 ^ { \circ } $.