1. (2024·滨湖区期中)下列各式中计算正确的是(
A.$(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
B.$(a + 4b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
D.$(-m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$
A
)A.$(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
B.$(a + 4b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
D.$(-m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$
答案：1. A
2. (2024·常州期中)已知$(x + y)^{2}=25$，$xy = 6$，则$x^{2}+y^{2}$的值是(
A.5
B.13
C.12
D.24
B
)A.5
B.13
C.12
D.24
答案：2. B
解析：
因为$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，已知$(x + y)^2 = 25$，$xy = 6$，所以$x^2 + y^2=(x + y)^2-2xy=25-2×6=25 - 12=13$。
B
B
3. (2024·江阴期中)若$(a + 2b)^{2}=(a - 2b)^{2}+N$，则代数式$N$是(
A.$4ab$
B.$8ab$
C.$-4ab$
D.$-8ab$
B
)A.$4ab$
B.$8ab$
C.$-4ab$
D.$-8ab$
答案：3. B
解析：
$(a + 2b)^{2} = a^{2} + 4ab + 4b^{2}$，
$(a - 2b)^{2} = a^{2} - 4ab + 4b^{2}$，
由$(a + 2b)^{2} = (a - 2b)^{2} + N$，得
$a^{2} + 4ab + 4b^{2} = a^{2} - 4ab + 4b^{2} + N$，
移项可得$N = (a^{2} + 4ab + 4b^{2}) - (a^{2} - 4ab + 4b^{2}) = 8ab$。
B
$(a - 2b)^{2} = a^{2} - 4ab + 4b^{2}$，
由$(a + 2b)^{2} = (a - 2b)^{2} + N$，得
$a^{2} + 4ab + 4b^{2} = a^{2} - 4ab + 4b^{2} + N$，
移项可得$N = (a^{2} + 4ab + 4b^{2}) - (a^{2} - 4ab + 4b^{2}) = 8ab$。
B
4. 当一个正方形的边长增加 $5$ cm 时，它的面积增加 $85$ cm²，则原来正方形的边长是
6
cm.答案：4. 6
解析：
设原来正方形的边长为$x$ cm。
边长增加$5$ cm后，新正方形的边长为$(x + 5)$ cm。
原来正方形的面积为$x^2$ cm²，新正方形的面积为$(x + 5)^2$ cm²。
根据面积增加$85$ cm²，可列方程：
$(x + 5)^2 - x^2 = 85$
展开得：$x^2 + 10x + 25 - x^2 = 85$
化简得：$10x + 25 = 85$
移项得：$10x = 85 - 25$
计算得：$10x = 60$
解得：$x = 6$
6
边长增加$5$ cm后，新正方形的边长为$(x + 5)$ cm。
原来正方形的面积为$x^2$ cm²，新正方形的面积为$(x + 5)^2$ cm²。
根据面积增加$85$ cm²，可列方程：
$(x + 5)^2 - x^2 = 85$
展开得：$x^2 + 10x + 25 - x^2 = 85$
化简得：$10x + 25 = 85$
移项得：$10x = 85 - 25$
计算得：$10x = 60$
解得：$x = 6$
6
5. 计算：
(1) $(-x-\dfrac{1}{4})^{2}$；
(2) $(-\dfrac{1}{3}+3b)^{2}$；
(3) $(\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{3}b)^{2}$；
(4) $(-x^{2}+3y^{2})^{2}$；
(5) $(-a^{2}-2b)^{2}$；
(6) $(0.2x + 0.5y)^{2}$.
(1) $(-x-\dfrac{1}{4})^{2}$；
(2) $(-\dfrac{1}{3}+3b)^{2}$；
(3) $(\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{3}b)^{2}$；
(4) $(-x^{2}+3y^{2})^{2}$；
(5) $(-a^{2}-2b)^{2}$；
(6) $(0.2x + 0.5y)^{2}$.
答案：5. 解：(1) 原式$=x^{2}+\frac {1}{2}x+\frac {1}{16}$．
(2) 原式$=\frac {1}{9}-2b+9b^{2}$．
(3) 原式$=\frac {1}{16}a^{2}-\frac {1}{6}ab+\frac {1}{9}b^{2}$．
(4) 原式$=x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4}$．
(5) 原式$=a^{4}+4a^{2}b+4b^{2}$．
(6) 原式$=0.04x^{2}+0.2xy+0.25y^{2}$．
(2) 原式$=\frac {1}{9}-2b+9b^{2}$．
(3) 原式$=\frac {1}{16}a^{2}-\frac {1}{6}ab+\frac {1}{9}b^{2}$．
(4) 原式$=x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4}$．
(5) 原式$=a^{4}+4a^{2}b+4b^{2}$．
(6) 原式$=0.04x^{2}+0.2xy+0.25y^{2}$．
6. 运用完全平方公式计算：
(1) $(6\dfrac{1}{6})^{2}$；
(2) $9.8^{2}$.
(1) $(6\dfrac{1}{6})^{2}$；
(2) $9.8^{2}$.
答案：6. 解：(1) 原式$=(6+\frac {1}{6})^{2}=6^{2}+2×6×\frac {1}{6}+(\frac {1}{6})^{2}=36+2+\frac {1}{36}=38\frac {1}{36}$．
(2) 原式$=(10-0.2)^{2}=10^{2}-2×10×0.2+0.2^{2}=100-4+0.04=96.04$．
(2) 原式$=(10-0.2)^{2}=10^{2}-2×10×0.2+0.2^{2}=100-4+0.04=96.04$．
7. (2024·兴化月考)如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证的等式是(
A.$x^{2}-y^{2}=(x - y)(x + y)$
B.$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$
C.$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$
D.$(x - y)^{2}+4xy=(x + y)^{2}$
C
)A.$x^{2}-y^{2}=(x - y)(x + y)$
B.$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$
C.$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$
D.$(x - y)^{2}+4xy=(x + y)^{2}$
答案：7. C
解析：
解：大正方形的边长为$x + y$，面积为$(x + y)^2$。
大正方形由两个边长为$x$、$y$的小正方形和两个长为$x$、宽为$y$的长方形组成，面积为$x^2 + 2xy + y^2$。
由面积恒等得$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
答案：C
大正方形由两个边长为$x$、$y$的小正方形和两个长为$x$、宽为$y$的长方形组成，面积为$x^2 + 2xy + y^2$。
由面积恒等得$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
答案：C
8. (2025·南京一模)多项式 $9x^{2}+16$ 加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
$24x$（答案不唯一）
.(填一个即可)答案：8. $24x$（答案不唯一）
9. 如图，长方形 $ABCD$ 的周长为 $8$，分别以长方形的长和宽为一边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为 $10$，则长方形 $ABCD$ 的面积是
3
.答案：9. 3
解析：
解：设长方形$ABCD$的长为$a$，宽为$b$。
因为长方形周长为$8$，所以$2(a + b)=8$，即$a + b=4$。
两个正方形面积和为$10$，则$a^{2}+b^{2}=10$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，将$a + b=4$，$a^{2}+b^{2}=10$代入得：$4^{2}=10 + 2ab$，$16=10 + 2ab$，$2ab=6$，$ab=3$。
长方形面积为$ab=3$。
3
因为长方形周长为$8$，所以$2(a + b)=8$，即$a + b=4$。
两个正方形面积和为$10$，则$a^{2}+b^{2}=10$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，将$a + b=4$，$a^{2}+b^{2}=10$代入得：$4^{2}=10 + 2ab$，$16=10 + 2ab$，$2ab=6$，$ab=3$。
长方形面积为$ab=3$。
3