1. (2024·苏州期末)解三元一次方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x - y - z = 12,②\\x + y + 2z = 6,③\end{cases}$若先消去$z$，组成关于$x$，$y$的方程组，则应对方程组进行的变形是( )
A.①$-$②，②$+$③
B.①$×2+$③，②$×2+$③
C.①$+$②，②$×2+$③
D.①$+$③，②$+$③
A.①$-$②，②$+$③
B.①$×2+$③，②$×2+$③
C.①$+$②，②$×2+$③
D.①$+$③，②$+$③
答案：1. C
解析：
①+②得：$5x - 2y = 16$，
②×2+③得：$5x - y = 30$，
组成关于$x$，$y$的方程组，
应对方程组进行的变形是①+②，②×2+③，
答案选C。
②×2+③得：$5x - y = 30$，
组成关于$x$，$y$的方程组，
应对方程组进行的变形是①+②，②×2+③，
答案选C。
2. 由方程组$\begin{cases}2x + y = 7,\\2y + z = 8,\\2z + x = 9,\end{cases}$可以得到$x + y + z$的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
A.8
B.9
C.10
D.11
答案：2. A
解析：
将三个方程相加：$2x + y + 2y + z + 2z + x = 7 + 8 + 9$，化简得$3x + 3y + 3z = 24$，两边同时除以3，得$x + y + z = 8$。
A
A
3. (2024·玄武区月考)若$x + 2y + 3z = 10$，$4x + 3y + 2z = 15$，则$x + y + z$的值为
5
.答案：3. 5
解析：
解：已知$x + 2y + 3z = 10$，$4x + 3y + 2z = 15$，将两式相加得：
$(x + 2y + 3z) + (4x + 3y + 2z) = 10 + 15$
$5x + 5y + 5z = 25$
两边同时除以$5$得：$x + y + z = 5$
5
$(x + 2y + 3z) + (4x + 3y + 2z) = 10 + 15$
$5x + 5y + 5z = 25$
两边同时除以$5$得：$x + y + z = 5$
5
4. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}x + 2y + 3z = 4,\\y + z = 1,\\3x + 2z = 3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}a:b:c = 2:3:4,\\3a + b - 4c = - 14;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x - 2y = - 9,\\y - z = 3,\\2z + x = 47;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3x - y + z = 4,\\2x + 3y - z = 12,\\x + y + z = 6;\end{cases}$
(5)$\begin{cases}\dfrac{x + y}{2} = \dfrac{z + x}{3} = \dfrac{y + z}{4},\\x + y + z = 18;\end{cases}$
(6)$\begin{cases}3x - y + 2z = 3,\\2x + y - 3z = 11,\\x + y + z = 12.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x + 2y + 3z = 4,\\y + z = 1,\\3x + 2z = 3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}a:b:c = 2:3:4,\\3a + b - 4c = - 14;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x - 2y = - 9,\\y - z = 3,\\2z + x = 47;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3x - y + z = 4,\\2x + 3y - z = 12,\\x + y + z = 6;\end{cases}$
(5)$\begin{cases}\dfrac{x + y}{2} = \dfrac{z + x}{3} = \dfrac{y + z}{4},\\x + y + z = 18;\end{cases}$
(6)$\begin{cases}3x - y + 2z = 3,\\2x + y - 3z = 11,\\x + y + z = 12.\end{cases}$
答案：4. 解: (1) $\begin{cases}x + 2y + 3z = 4,①\\y + z = 1,②\\3x + 2z = 3,③\end{cases}$
① - ②×2，得 $x + z = 2$，④
③ - ④×2，得 $x = -1$。
将 $x = -1$ 代入④，得 $z = 3$，
将 $z = 3$ 代入②，得 $y = -2$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = -1,\\y = -2,\\z = 3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}a:b:c = 2:3:4,①\\3a + b - 4c = -14,②\end{cases}$
设 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，
将 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$ 代入②，
得 $6k + 3k - 16k = -14$，解得 $k = 2$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases}a = 4,\\b = 6,\\c = 8.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 2y = -9,①\\y - z = 3,②\\2z + x = 47,③\end{cases}$
③ - ①，得 $2z + 2y = 56$，④
②×2 + ④，得 $4y = 62$，
解得 $y = \frac{31}{2}$。
将 $y = \frac{31}{2}$ 代入②，得 $z = \frac{25}{2}$。
将 $z = \frac{25}{2}$ 代入③，得 $x = 22$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 22,\\y = \frac{31}{2},\\z = \frac{25}{2}.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x + 3y - z = 12,②\\x + y + z = 6,③\end{cases}$
① + ③，得 $2x + z = 5$，④
①×3 + ②，得 $11x + 2z = 24$，⑤
⑤ - ④×2，得 $7x = 14$，
解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入④，得 $z = 1$。
将 $x = 2$，$z = 1$ 代入③，得 $y = 3$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 1.\end{cases}$
(5) 设 $\frac{x + y}{2} = \frac{z + x}{3} = \frac{y + z}{4} = k$，
则 $x + y = 2k$，$z + x = 3k$，$y + z = 4k$，
$x + y + z + x + y + z = 9k$，
$2x + 2y + 2z = 9k$，
$x + y + z = \frac{9}{2}k$。
因为 $x + y + z = 18$，
所以 $\frac{9}{2}k = 18$，解得 $k = 4$，
则 $x + y = 8$，$z + x = 12$，$y + z = 16$，
解得 $z = 10$，$y = 6$，$x = 2$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 6,\\z = 10.\end{cases}$
(6) $\begin{cases}3x - y + 2z = 3,①\\2x + y - 3z = 11,②\\x + y + z = 12,③\end{cases}$
① + ②，得 $5x - z = 14$，④
① + ③，得 $4x + 3z = 15$，⑤
④×3 + ⑤，得 $15x + 4x = 57$，解得 $x = 3$。
将 $x = 3$ 代入④，得 $15 - z = 14$，解得 $z = 1$。
将 $x = 3$，$z = 1$ 代入③，得 $3 + y + 1 = 12$，
解得 $y = 8$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 3,\\y = 8,\\z = 1.\end{cases}$
① - ②×2，得 $x + z = 2$，④
③ - ④×2，得 $x = -1$。
将 $x = -1$ 代入④，得 $z = 3$，
将 $z = 3$ 代入②，得 $y = -2$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = -1,\\y = -2,\\z = 3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}a:b:c = 2:3:4,①\\3a + b - 4c = -14,②\end{cases}$
设 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，
将 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$ 代入②，
得 $6k + 3k - 16k = -14$，解得 $k = 2$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases}a = 4,\\b = 6,\\c = 8.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 2y = -9,①\\y - z = 3,②\\2z + x = 47,③\end{cases}$
③ - ①，得 $2z + 2y = 56$，④
②×2 + ④，得 $4y = 62$，
解得 $y = \frac{31}{2}$。
将 $y = \frac{31}{2}$ 代入②，得 $z = \frac{25}{2}$。
将 $z = \frac{25}{2}$ 代入③，得 $x = 22$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 22,\\y = \frac{31}{2},\\z = \frac{25}{2}.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x + 3y - z = 12,②\\x + y + z = 6,③\end{cases}$
① + ③，得 $2x + z = 5$，④
①×3 + ②，得 $11x + 2z = 24$，⑤
⑤ - ④×2，得 $7x = 14$，
解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入④，得 $z = 1$。
将 $x = 2$，$z = 1$ 代入③，得 $y = 3$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 1.\end{cases}$
(5) 设 $\frac{x + y}{2} = \frac{z + x}{3} = \frac{y + z}{4} = k$，
则 $x + y = 2k$，$z + x = 3k$，$y + z = 4k$，
$x + y + z + x + y + z = 9k$，
$2x + 2y + 2z = 9k$，
$x + y + z = \frac{9}{2}k$。
因为 $x + y + z = 18$，
所以 $\frac{9}{2}k = 18$，解得 $k = 4$，
则 $x + y = 8$，$z + x = 12$，$y + z = 16$，
解得 $z = 10$，$y = 6$，$x = 2$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 6,\\z = 10.\end{cases}$
(6) $\begin{cases}3x - y + 2z = 3,①\\2x + y - 3z = 11,②\\x + y + z = 12,③\end{cases}$
① + ②，得 $5x - z = 14$，④
① + ③，得 $4x + 3z = 15$，⑤
④×3 + ⑤，得 $15x + 4x = 57$，解得 $x = 3$。
将 $x = 3$ 代入④，得 $15 - z = 14$，解得 $z = 1$。
将 $x = 3$，$z = 1$ 代入③，得 $3 + y + 1 = 12$，
解得 $y = 8$。
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 3,\\y = 8,\\z = 1.\end{cases}$
5. (2024·鼓楼区开学)已知方程组$\begin{cases}x + y - 5z = 0,\\x - y + z = 0,\end{cases}$其中$x$，$y$，$z$均不等于$0$，则$x:y:z =$( )
A.$2:3:1$
B.$1:2:3$
C.$1:4:1$
D.$3:2:1$
A.$2:3:1$
B.$1:2:3$
C.$1:4:1$
D.$3:2:1$
答案：5. A
解析：
$\begin{cases}x + y = 5z \\x - y = -z\end{cases}$
两式相加：$2x = 4z ⇒ x = 2z$
代入$x + y = 5z$：$2z + y = 5z ⇒ y = 3z$
$x:y:z = 2z:3z:z = 2:3:1$
A
两式相加：$2x = 4z ⇒ x = 2z$
代入$x + y = 5z$：$2z + y = 5z ⇒ y = 3z$
$x:y:z = 2z:3z:z = 2:3:1$
A