1. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为"格点",顶点全在格点上的多边形为"格点多边形".格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如,图中的△ABC是格点三角形,其中S=2,N=0,L=6;图中格点多边形DEFGHI所对应的S,N,L分别是S=7,N=3,L=10.经探究发现,任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数,则当N=82,L=38时,S的值为
(
A.44
B.43
C.100
D.99
(
C
)A.44
B.43
C.100
D.99
答案：1. C 点拨:由题意得四边形 FGHI 是格点四边形，$S = 4$，$N = 1$，$L = 8$。
∵任意格点多边形的面积$S = aN + bL + c$，由图中的格点$△ ABC$，格点多边形 DEFGHI，格点四边形 FGHI，得$\begin{cases}6b + c = 2,\\3a + 10b + c = 7,\\a + 8b + c = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = \dfrac{1}{2},\\c = - 1,\end{cases}$$\therefore S = N + \dfrac{1}{2}L - 1$，将$N = 82$，$L = 38$代入，得$S = 82 + \dfrac{1}{2}×38 - 1 = 100$。
∵任意格点多边形的面积$S = aN + bL + c$，由图中的格点$△ ABC$，格点多边形 DEFGHI，格点四边形 FGHI，得$\begin{cases}6b + c = 2,\\3a + 10b + c = 7,\\a + 8b + c = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = \dfrac{1}{2},\\c = - 1,\end{cases}$$\therefore S = N + \dfrac{1}{2}L - 1$，将$N = 82$，$L = 38$代入，得$S = 82 + \dfrac{1}{2}×38 - 1 = 100$。
2. 如图①,"幻方"源于我国古代夏禹时期的"洛书".把"洛书"用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方,三阶幻方中,要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.小明在如图②的格子中填入了代数式,若它们能满足三阶幻方的要求,则x+y-3=
- 4
.答案：2. $- 4$ 点拨:由题意，得$\begin{cases}-1 + x + x - y = y - 4 + x - y,\\-1 + 2x - 1 = x - 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 1,\end{cases}$$\therefore x + y - 3 = - 2 + 1 - 3 = - 4$。
解析：
解：设三阶幻方每行、每列及对角线上的三个数的和为$S$。
根据三阶幻方性质，可得：
1. 第一列三个数的和：$-1 + a + (2x - 1) = S$（$a$为第一列中间数）
2. 第三列三个数的和：$y + (-4) + (x - y) = S$，化简得$x - 4 = S$
3. 主对角线三个数的和：$-1 + x + (x - y) = S$，即$-1 + 2x - y = S$
4. 第二行三个数的和：$a + x + (-4) = S$
由2得$S = x - 4$，代入3：$-1 + 2x - y = x - 4$，化简得$x - y = -3$ ⑤
由1和4：$-1 + a + 2x - 1 = a + x - 4$，化简得$x - 2 = -4$，解得$x = -2$
将$x = -2$代入⑤：$-2 - y = -3$，解得$y = 1$
则$x + y - 3 = -2 + 1 - 3 = -4$
$-4$
根据三阶幻方性质，可得：
1. 第一列三个数的和：$-1 + a + (2x - 1) = S$（$a$为第一列中间数）
2. 第三列三个数的和：$y + (-4) + (x - y) = S$，化简得$x - 4 = S$
3. 主对角线三个数的和：$-1 + x + (x - y) = S$，即$-1 + 2x - y = S$
4. 第二行三个数的和：$a + x + (-4) = S$
由2得$S = x - 4$，代入3：$-1 + 2x - y = x - 4$，化简得$x - y = -3$ ⑤
由1和4：$-1 + a + 2x - 1 = a + x - 4$，化简得$x - 2 = -4$，解得$x = -2$
将$x = -2$代入⑤：$-2 - y = -3$，解得$y = 1$
则$x + y - 3 = -2 + 1 - 3 = -4$
$-4$
3. 某工厂承接了一批纸箱加工任务,用如图①所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱(加工时接缝材料不计).
(1)若该厂购进正方形纸板1500张,长方形纸板3000张,问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完?
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板80张,长方形纸板a张,全部加工成上述两种纸盒,且150＜a＜171,试求在这一天加工两种纸盒时,a的所有可能值.
(1)若该厂购进正方形纸板1500张,长方形纸板3000张,问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完?
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板80张,长方形纸板a张,全部加工成上述两种纸盒,且150＜a＜171,试求在这一天加工两种纸盒时,a的所有可能值.
答案：3. 解:(1)设加工竖式纸盒$x$个，横式纸盒$y$个，根据题意，得$\begin{cases}x + 2y = 1500,\\4x + 3y = 3000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 300,\\y = 600.\end{cases}$答:加工竖式纸盒 300 个，加工横式纸盒 600 个，恰好能将购进的纸板全部用完。
(2)设加工竖式纸盒$m$个，横式纸盒$n$个，根据题意，得$\begin{cases}m + 2n = 80,\\4m + 3n = a,\end{cases}$$\therefore n = 64 - \dfrac{a}{5}$。
∵$n$，$a$为正整数，
∴$a$为 5 的倍数。又
∵$150 ＜ a ＜ 171$，
∴满足条件的$a$的值为 155，160，165，170。答:在这一天加工两种纸盒时，$a$的所有可能值为 155，160，165，170。
(2)设加工竖式纸盒$m$个，横式纸盒$n$个，根据题意，得$\begin{cases}m + 2n = 80,\\4m + 3n = a,\end{cases}$$\therefore n = 64 - \dfrac{a}{5}$。
∵$n$，$a$为正整数，
∴$a$为 5 的倍数。又
∵$150 ＜ a ＜ 171$，
∴满足条件的$a$的值为 155，160，165，170。答:在这一天加工两种纸盒时，$a$的所有可能值为 155，160，165，170。